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文档简介
专题11三角形中的特殊模型高分线模型、双(三)垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型,该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。熟悉这些模型可以快速得到角的关系,求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。模型1:高分线模型条件:AD是高,AE是角平分线结论:∠DAE=例1.(2023·辽宁本溪·七年级统考期中)如图,在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分线,∠B=40°,∠C=60°,则∠EAD的度数为(
)A.20° B.10° C.50° D.60°例2.(2023春·河南南阳·七年级统考期末)如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,BG的延长线交AC于点E,F为AB上的一点,CF与AD垂直,交AD于点H,则下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH是△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高A.1个 B.2个 C.3个 D.4个例3.(2022秋·北京朝阳·八年级统考期末)如图,在中,是高,是中线,若,,则的长为(
)A.1 B. C.2 D.4例4.(2023春·河北沧州·七年级统考期末)如图,在中,、分别是的高和角平分线.(1)若,,求的度数;(2)若,,且,请直接写出与,关系.模型2:双垂直模型结论:①∠A=∠C;②∠B=∠AFD=∠CFE;③。例1.(2023·陕西咸阳·统考一模)如图,在中,分别是边上的高,并且交于点P,若,则的度数为()
A. B. C. D.例2.(2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考)如图,在中,,,的边上的高与边上的高的比值是(
)A. B. C.1 D.2例3.(2023春·河南周口·七年级统考期末)如图,在中,,,于点F,于点,与交于点,.(1)求的度数.(2)若,求的长.
模型3:子母型双垂直模型(射影定理模型)结论:①∠B=∠CAD;②∠C=∠BAD;③。例1.(2023·广东广州·七年级校考阶段练习)如图,在中,,于D,求证:.例2.(2023·云南玉溪·八年级校考期中)如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.(1)求证:CD是△ABC的高;(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.例3.(2022秋·北京通州·八年级统考期末)如图,在中,,,垂足为.如果,,则的长为(
)A.2 B. C. D.例4.(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)已知:如图,在中,,、分别在边、上,、相交于点.(1)给出下列信息:①;②是的角平分线;③是的高.请你用其中的两个事项作为条件,余下的事项作为结论,构造一个真命题,并给出证明;条件:______,结论:______.(填序号)证明:(2)在(1)的条件下,若,求的度数.(用含的代数式表示)
课后专项训练1.(2023春·云南·七年级校联考期末)如图,AE,AD分别是的高和角平分线,,,则的度数为(
)A.40° B.20° C.10° D.30°2.(2023·绵阳市八年级月考)如图,在中,平分交于点、平分交于点,与相交于点,是边上的高,若,,则的度数为(
)A. B. C. D.3.(2023春·江苏宿迁·七年级统考期末)如图,在中,,、分别是的高和角平分线,点E为边上一点,当为直角三角形时,则.
4.(2023秋·重庆·八年级专题练习)如图,在中,,平分,若,,则.5.(2023·江苏八年级校考课时练习)已知:如图,AC⊥BC,垂足为C,∠BCD是∠B的余角求证:∠ACD=∠B证明:∵AC⊥BC(已知)∴∠ACB=90°(
)∴∠BCD是∠DCA的余角∵∠BCD是∠B的余角(已知)
∴∠ACD=∠B(
)6.(2023春·河南新乡·七年级校考期末)如图,是直角三角形,,于点D,是的角平分线,过点D作交于点G,求证:.请补全下面的证明过程.证明:∵(已知),∴(_____),∴(直角三角形两锐角互余),∵(已知),∴(直角三角形两锐角互余),∵是的角平分线,,∴(______),∴(______),∵(______),∴(等量代换),∵(已知),∴(______),∴(______).7.(2023春·陕西咸阳·八年级统考期中)如图,在中,,于点D,平分交于点E,交于点F,求证:.
8.(2023春·四川乐山·七年级统考期末)如图,在直角中,,是斜边上的高,,求:
(1)的度数;(2)的度数.对于上述问题,在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)解:(1)∵,(已知),又∵(______),∴(______).(2)∵(______),∴(等式的性质).∵(已知),∴(垂直定义).∴______(等量代换).9.(2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图所示,在中,,平分.(1)求的度数;(2)求的度数;(3)直接写出,,三个角之间的数量关系.10.(2023·上海闵行·七年级校考阶段练习)如图,已知的两条高相交于点,,,求的度数.11.(2022秋·山东威海·七年级校联考期中)如图,是的高,E是上一点,交于F,且有,,试说明.
12.(2022春·江苏·七年级专题练习)如图所示,在中,已知于D,于E,,,求的大小.
13.如图所示,在中,是高,、是角平分线,它们相交于点,,,求、的度数.14.(2022秋·广东东莞·八年级校考期中)如图,在中,为的高,为的角平分线,交于点G,比大,,求的大小.15.(2023秋·山东·八年级专题练习)如图,已知在中,,于点.
(1)尺规作图:作的平分线交于点,交于点;(要求:保留作图痕迹,不写作法,不下结论)(2)在(1)的条件下,求证:.__________又______________________________平分__________.16.(2023春·黑龙江·七年级校考期中)如图,中,,平分,,.(1)求的度数.(2)直接写出图中四对相等的锐角,
17.(2023春·陕西榆林·七年级统考期末)如图,是的角平分线,是的边上的中线.(1)若的周长为13,,,求的长度;(2)若,的面积为10,,求点到的距离.
18.(2023·江苏·七年级统考期末)已知:如图,中,在的延长线上取一点,作于点(1)如图①,若于点,那么是的平分线吗?若是,请说明理由.请完成下列证明并在下面的括号内填注依据解:是,理由如下:(已
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