2025届高三数学一轮总复习 第五章 第二讲 平面向量基本定理及坐标表示配套课件

第二讲平面向量基本定理及坐标表示2025年高考一轮总复习第五章

平面向量与复数1.平面向量基本定理

如果e1，e2

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模3.共线向量及其坐标表示(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线.(3)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.考点一平面向量基本定理的应用图5-2-1【题后反思】利用平面向量基本定理解题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.【变式训练】1.(2023年密云区三模)如图5-2-2，在平行四边形ABCD中，图5-2-2答案：D图5-2-3答案：BC考点二平面向量的坐标运算答案：C图5-2-4

解析：题目条件并未对梯形ABCD中具体线段的长度或角度作明确限制，根据平面向量基本定理，我们可以不妨设梯形ABCD为上底CD＝2、下底AB＝4、高为3的等腰梯形.如图5-2-5所示建立平面直角坐标系.图5-2-5答案：D【题后反思】(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.

(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【变式训练】1.(2023年佛山市二模)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为()A.(1，4)B.(1，5)C.(2，4)D.(2，5)

解析：根据题意，设点D的坐标为(x，y)，在平行四边形ABCD(5－x，6－y)，解可得x＝1，y＝5，即点D的坐标为(1，5).故选B.

答案：B答案：(0，20)考点三平面向量共线的坐标表示考向1利用向量共线求向量或点的坐标[例3]已知点O(0，0)，A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.所以点P的坐标为(3，3).答案：(3，3)考向2利用向量共线求参数[例4](1)(2023年凉山州期末)已知向量a＝(－9，m2)，b＝)(1，－1)，则“m＝3”是“a∥b”的( A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：向量a＝(－9，m2)，b＝(1，－1)，若a∥b，则(－9)×(－1)＝m2，解得m＝±3，故“m＝3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选C.答案：C(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共【题后反思】

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【考法全练】答案：A

2.(考向1)(2023年咸阳市期末)已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，0)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标可以是______________________________.∴点D的坐标为(0，－2)或(2，2)或(－2，2).答案：(0，－2)或(2，2)或(－2，2)⊙三角形中的奔驰定理图5-2-6证明：如图5-2-7，延长OA与BC边交于点D.

图5-2-7【名师点睛】由于例5对应的图象和奔驰车的标志很相似，因此我们把例5的结论称为“奔驰定理”.答案：A

【高分训练】

1.(多选题)如图5-2-8，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，

设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下