数学同步训练：求函数零点近似解的一种计算方法-二分法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—-二分法5分钟训练1.用二分法研究函数f(x）=x3+3x—1的零点时,第一次经计算f（0）<0,f(0。5)>0,可得其中一个零点x0∈______________，第二次应计算______________.以上横线上应填的内容为(）A。(0,0。5）f（0.25）B。（0,1）f(0。25）C.(0.5，1）f（0.75)D。(0,0.5)f（0.125）答案：A解析：∵f(0）〈0,f（0.5）>0，∴函数f（x）的一个零点x0∈（0,0。5).第二次计算f(）=f（0.25)。2.用“二分法"可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A.ε越大，零点的精确度越高B。ε越大，零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD。重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知,ε越大，零点的精确度越低。3。函数f（x)=x3—2x2-x+2的零点个数是(）A。0B.1C答案：D解析：考虑分解因式降次.∵f(x）=x2（x—2)—（x—2)=（x-2)(x+1)(x-1)，∴f(x）有三个零点.4。电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏,在限定时间内（如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了,以猜对或到时为游戏结束.如猜一种品牌的电风扇,过程如下:游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元,低了，280元，低了,290元，高了，285元，低了，288元,你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是_________________（只写出一个正确答案）。答案:二分法（或综合法等)10分钟训练1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）答案：C解析:只有函数的变号零点才能用二分法求.2.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是(）A.1B.2C。0答案：B解析：分析条件a·c<0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向;c=f(0)。∴a·c=af（0)〈0，由此得解.∵c=f（0）,∴ac=af（0)<0,即a与f(0)异号,即∴函数必有两个零点.3.已知连续函数y=f(x),有f（a)·f（b）<0(a<b)，则y=f(x）(）A.在区间［a,b]上可能没有零点B.在区间［a,b]上至少有一个零点C。在区间［a,b］上零点个数为奇数个D。在区间[a，b]上零点个数为偶数个答案:B4。用二分法求方程x3—2x-5=0在区间［2,3］内的实根,取区间中点x0=2。5，那么下一个有根区间是______________.答案:［2，2.5］解析：由计算器计算得f(2）=23—2×2-5=—1，f(2.5)=15。625>0，∴f（2)·f(2.5）<0,∴下一个有根区间是[2，2。5].5.如果一个立方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长（精确到0.01)约为______________.答案：6。05解析：设立方体的边长为x，则V=x3,S=6x2.∵V=S+1,∴x3=6x2+1。不妨设f（x）=x3—6x2—1,应用二分法得方程的根约为6.05.6。已知函数f（x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f(x)136。13615。552—3.9210。88—52。488-232.064函数f（x)在哪几个区间内有零点?为什么？解:由x、f(x）的对应值表，可得f(2）·f(3)<0，f（3)·f（4）〈0,f(4）·f（5)〈0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f(b)〈0,那么，函数y=f(x）在区间（a,b）内有零点”,可知函数f(x）分别在区间（2,3）,(3，4)，(4,5)内有零点.30分钟训练1.（创新题）在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平，请问:最多需要称几次就可以发现这枚假币（）A。3B。4C.5答案：B解析：可利用二分法的思想方法去解决.2.若函数f(x)唯一的一个零点在区间（0,24），（0，12),（0,6），(0，3）内,则下列命题正确的是()A.函数f（x)在区间（0，2）内有零点B。函数f（x)在区间(0,2）或(2，3)内有零点C。函数f(x）在区间（3,24）内无零点D。函数f（x)在区间（2,24)内无零点答案:C3.若方程2ax2-x-1=0在（0,1）内恰有一解，则a的取值范围是(）A.a<—1B。a〉1C.—1<a<1答案:B解析：令f（x)=2ax2-x—1，a=0时显然不适合,a≠0时，则有f（0)f（1）=-1×(2a-2)〈0，∴a〉1。4。已知函数f(x）=mx2+(m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）A。（0,1］B.（0，1）C.（-∞，1)D。(—∞，1]答案：D解法一：取m=0有f（x)=-3x+1的根x=〉0，即m=0应符合题设，所以排除A、B。当m=1时，f（x）=x2—2x+1=(x—1）2，它的根是x=1,符合要求，排除C,故选D.解法二：直接法。∵f（0)=1，∴（1）当m<0时，必成立,排除A、B。（2）当m>0时,要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则∴0〈m≤1。（3）当m=0时根为x=〉0。故选D。5。（探究题)已知y=x(x-1）（x+1）的图象如图所示,今考虑f（x)=x（x-1）（x+1)+0。01,则函数f(x）：①当x〈—1时,恰有一零点(有一零点且仅有一零点）;②当—1<x<0时,恰有一零点；③当0<x<1时，恰有一零点;④当x〉1时,恰有一零点.其中正确命题的个数为（）A.0B。1C。2答案：B解析:∵f（—2)=-2×（-3）×（—1）+0。01=—5。99〈0，f（—1)=0.01>0,即f（-2)·f(—1)〈0,∴在（—2,-1)内有一零点。结合函数图象,函数在(—∞,-1）上，恰有一个零点，∴①正确。又∵f（0)=0.01>0,结合图象,知函数f（x）在（-1,0）上没有零点,∴②不正确。又∵f（0.5）=0。5×（-0.5)×1。5+0。01=-0.365<0，f(1)=0.01>0,即f(0.5）·f（1）〈0,∴函数f（x）在（0.5，1）上必有一个零点,且f(0)·f(0。5）〈0.∴函数f（x）在（0,0。5)上也有一个零点.∴函数f（x）在（0，1）上有两个零点，③不正确。由f（1)〉0,结合图象，知函数f（x)在(1，+∞）上没有零点,∴④不正确。6。定义在R上的偶函数y=f（x），当x>0时,y=f(x)是单调递增的,f（1)·f(2）〈0,则函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数是______________.答案：2解析：∵f（1）·f（2)〈0，∴在（1,2)上函数y=f(x)有零点。又∵y=f（x）在（0,+∞）上是单调增函数，∴函数y=f(x)在(0,+∞）上有且只有一个零点.由函数为偶函数可知，函数在（-∞,0）上也有一个零点。7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a，b）(b—a=0。1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点（精确到0。0001）的近似值，那么将区间（a,b）等分的次数至多是_______________.答案：108。求函数f（x）=x3+2x2—3x-6的一个为正数的零点（精确到0。1）.解：∵f（1）=—6<0,f(2）=4〉0，∴存在x1∈（1,2），使f(x1）=0。用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标端点或中点函数值取区间f（1）=—6〈0,f（2)=4〉0（1,2）x1==1。5f（1.5)=-2.625<0（1。5，2)x2==1.75f(1。75）=0.2344>0（1.5，1。75）x3==1。625f（1.625）=—1。3027〈0（1.625，1。75）x4==1.6875f（1。6875）=—0.5618〈0（1。6875,1.75)x5==1.71875f（1。71875)=-0。177<0(1.71875，1.75）x6==1.734375f(1。734375)=0。3038〉0(1。71875，1。734375）∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，∴所求的正数零点为1。7。9。某方程有一无理根在区间D内，若用二分法求此根的近似值,那么:（1）区间D=(1,3）时，将D等分n次后,所得近似解可精确到多少?（2)一般情况，是否有必要尽可能多地将区间D等分？解：(1)设无理根为x0，将D等分n次后的长度为dn.包含x0的区间为（a,b），于是d1=1,d2=,d3=,d4=,…,dn=。所以｜x0—a|≤dn=,即近似值可精确到。（2)由于随n的增大而不断地趋向于0，故对于事先给定的精确度ε,总有自然数n,使得≤ε。所以，只需将区间D等分n次就可以达到事先给定的精确度ε.所以，一般情况下，不需尽可能多地将区间D等分。10.设函数f(x)=-x2-3x—2.(1）若g(x）=2-［f(x)］2，求g(x)的解析式；(2)借助计算器或计算机,画出函数g（x）的图象；(3）求出函数g（x）的零点(精确到0。1).解：(1）由题设有g(x）=2-［f（x）］2=2—(x2+3x+2)2=—x4—6x3-13x2—12x-2。(2）函数图象如下图所示.(3）由图象可知，函数g（x）分别在区间(-3,-2)和区间(—1,0)内各有一个零点。取区间（-3，—2)的中点x1=-2.5，用计算器可算得g（—2。5)=0。1875.因为g（—3)·g（-2.5）<0,所以x0∈(—3,—2.5)。再取（-3，-2。5)的中点x2=-2。75,用计算器可算得g（—2.75)≈0。28。因为g(-