第二十章一次函数（7个知识归纳20类题型突破）

第二十章一次函数（7个知识归纳+20类题型突破）1.掌握一次函数的概念、图象与性质；2.掌握一次函数与方程、不等式之间的关系；3.掌握一次函数的实际问题的解决；知识点1：函数一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.

是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.

函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。3.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。画函数图像的步骤：第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。知识点2：一次函数的概念一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.一次函数有三种表示方法，如下：1、解析式法用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。2、列表法把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。3、图像法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。知识点3：一次函数的图像与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3.、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4.两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0：经过第一、二、三象限k>0，b<0：经过第一、三、四象限k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k<0，b>0：经过第一、二、四象限k<0，b<0：经过第二、三、四象限k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。总结：1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（b/k，0）。3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直。5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。知识点4：待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.知识点5：一次函数与方程用函数的观点看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

要点诠释：

1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.

2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.

3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．

知识点6：一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．知识点7：一次函数的平移将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+bn，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（xn）+b。平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间题型一一次函数的概念1．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义分析即可．【详解】解：①的右边不是整式，不是一次函数；②的右边不是整式，不是一次函数；；③是一次函数；④的自变量的次数是2，不是一次函数；⑤是一次函数．故选B．2．（2023上·江西吉安·八年级校联考期中）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了一次函数的定义，根据“一般形如，（k，b是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，，所以说正比例函数是特殊的一次函数”逐项进行判断即可．【详解】解：①②④是一次函数，③是反比例函数，⑤需要添加这个条件才是一次函数，⑥是二次函数，故选：C．巩固训练：1．（2021下·上海宝山·八年级校考期中）下列函数中，是一次函数的是（

）A． B．C．（、是常数） D．【答案】B【分析】根据形如的函数为一次函数判断即可．【详解】A、不是一次函数，不符合题意；B、是一次函数，符合题意；C、（、是常数），当时，不是一次函数，不符合题意；

D、不是一次函数，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．2．（2022下·上海·八年级专题练习）以下函数中y是x的一次函数的有个．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】4【分析】根据一次函数的定义“一般地，形如（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数”进行解答即可得．【详解】解：①，不是一次函数；②，是一次函数；③，不是一次函数；④，是一次函数；⑤，是一次函数；⑥，是一次函数；综上，②④⑤⑥是一次函数，有4个一次函数，故答案为：4．【点睛】本题考查了一次函数的识别，解题的关键是熟记一次函数的定义．3．（2023下·上海·八年级专题练习）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）；

（2）；

（3）；

（4）．【答案】（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数．【分析】根据一次函数和正比例函数的定义，即可求解．【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数；（2）自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数；（3）自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数；（4）是一次函数，不是正比例函数．所以（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握形如（k、b为常数，且）的形式的函数是一次函数，当时，一次函数（k、b为常数，且）变为，此时的函数称为正比例函数是解题的关键．题型二根据一次函数的定义求参数3．（2023上·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论．【详解】解：一次函数的图象经过，两点，，，，，，，即．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．4．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若函数是一次函数，则的值为（

）A． B． C．2 D．0【答案】A【分析】根据一次函数的定义可知，、为常数，，自变量的次数为1，即可求解．【详解】解：是关于的一次函数，，且，，且，且，．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．巩固训练1．（2023下·上海·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的定义进行解答．【详解】解：由题意得：，∴，故选：A．【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义．2．（2021下·上海闵行·八年级校考期中）如果函数是一次函数，那么的取值范围为．【答案】【分析】根据一次函数的定义得到：，由此求得的值．【详解】解：依题意得：，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的定义．关键是掌握正比例函数的比例系数不等于0．3．（2023下·上海·八年级专题练习）已知．（1）满足什么条件时，是一次函数？（2）满足什么条件时，是正比例函数？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）形如是一次函数，根据一次函数的定义解题；（2）形如是正比例函数，根据正比例函数的定义解题.【详解】（1）：当时为一次函数，解得．（2）：当时为正比例函数，解得．【点睛】本题考查一次函数、正比例函数的定义，其中涉及绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.题型三求一次函数自变量或函数值5．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列各点中在直线上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把各个点的坐标代入一次函数解析式进行验证即可．【详解】解：A、把代入得：，故不在这条直线上；B、把代入得：，故不在这条直线上；C、把代入得：，故在这条直线上；D、把代入得：，故不在这条直线上；故选C．6．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描点、连线．小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（

）…012……035…A． B．0 C．3 D．5【答案】B【分析】本题考查了一次函数的性质，根据表格数据分析，即可求解．【详解】解：根据表格数据可得当增大1时，函数值增大2，而在时，表格中的函数应为，故这个错误的函数值是；故选：B．巩固训练1．（2023下·上海·八年级专题练习）下列各点中，在函数上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把点的坐标代入函数解析式进行判断即可．【详解】解：A.当时，代入可得，故点不在函数的图象上，不符合题意；B.当时，代入可得，故点不在函数的图象上，不符合题意；C.当时，代入可得，故点不在函数的图象上，不符合题意；D.当时，代入可得，故点在函数的图象上，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．（2021下·上海长宁·八年级校考期中）已知一次函数满足，则．【答案】2【分析】将代入函数解析式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，解得．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．3．（2023上·上海松江·八年级统考期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为(1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______；(2)已知正比例函数①这个函数的相关函数为______；②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根据题意把点代入求解即可；（2）①根据相关函数的定义求解即可；②分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可．【详解】（1）解：∵点在正比例函数的相关函数的图象上，，∴把点代入得，，故答案为：；（2）解：①由题意可得，正比例函数的相关函数为，故答案为：；②∵点在这个函数的相关函数的图象上，当时，把点代入得，，∴，当时，把点代入得，，∴，∴或．题型四列一次函数解析式并求值7．（2022下·八年级单元测试）一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（

）A．. B． C． D．【答案】B【分析】温度每增加1℃，电阻增加欧，那么温度从℃到t℃，电阻增加欧，进而可得答案.【详解】解：∵一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，∴电阻欧表示为温度t℃的函数关系为；故选：B.【点睛】本题考查了列出实际问题中的一次函数关系式，正确理解题意、弄清函数关系是解题的关键.8．（2021下·天津和平·八年级校考阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（

）A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3）【答案】B【分析】把一次函数整理为，再令，求出y的值即可．【详解】解：一次函数整理得，∴令，则，∴，∴它的图象一定经过点．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．巩固训练1．（2020上·甘肃兰州·八年级校考期中）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）x0123yA． B． C． D．【答案】B【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入，及求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论．【详解】解：将，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为．当时，；当时，，；当时，．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．2．（2023·上海嘉定·统考二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是．【答案】4【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可．【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，，∴一次函数的“特征值”为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算．3．（2023下·上海·八年级专题练习）下表中，是的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表．－3－2－10164【答案】，3个空依次填写2，0，－2．【分析】因为y是x的一次函数，可设y=kx+b，由图表可知，x=3时y=6，x=2时y=4，然后可得到关于k、b的方程组，进而可求出解析式；把x=1，0，1代入求出相应的y值．【详解】解：∵y是x的一次函数，∴设y=kx+b，又∵由图表可知，x=3时y=6，x=2时y=4∴解得：∴所求的一次函数的解析式为y=2x；∴当x=1时，y=2×（1）=2；当x=0时，y=2×0=0；当x=1时，y=2×1=2；∴一次函数的解析式为y=2x，三个空依次填写2，0，－2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．题型五一次函数的图象9．（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是图的（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据正比例函数的函数值y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】解：正比例函数函数值随x的增大而减小，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故选：B．10．（2024上·甘肃酒泉·八年级校联考期末）已知一次函数，和，函数和的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的．【详解】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，没有正确选项；当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A正确；当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，没有正确选项；当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A正确；故选：A．巩固训练1．（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查正比例函数和一次函数的函数图像，解题的关键在于对进行分情况讨论，找出符合题意的函数图像即可．【详解】当时，正比例函数经过第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限；当时，正比例函数经过第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限；对照各选项中的图象，只有A符合．故选：A．2．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考阶段练习）若点在函数的图像上，则．【答案】【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．据此可得出关于的一元一次方程，求解即可．【详解】解：∵点在函数的图像上，∴，∴．故答案为：．3．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）已知与成正比例，当时，．(1)求出y与x的函数关系式；(2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由．【答案】(1)(2)不在，理由见解析【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键．（1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】（1）解：设，把，代入得，解得，∴，∴y与x的函数关系式为；（2）解：不在．理由如下：∵时，，∴点不在函数的图象上．题型六已知函数经过的象限求参数范围11．（2023上·江苏·八年级专题练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于，当，的图象在第一、二、三象限；当，的图象在第一、三、四象限；当，的图象在第一、二、四象限；当，的图象在第二、三、四象限．根据一次函数图象与系数的关系得到且，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，即图象经过第一、三、四象限或图象经过一、三象限，∴且，∴，．故选：D．12．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）一次函数的图象如图所示，则值可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握、对一次函数的影响是解题的关键，由图可知，即可得到答案．【详解】解：∵图象从左往右逐渐降低，∴，观察A、B、C、D四个选项中，只有B为负数，符合题意，故选：B．巩固训练1．（2024上·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点，若一次函数的图像与射线有交点，则的取值范围是(

)A．或 B．且C．或 D．或，且【答案】D【分析】本题考查了一次函数的性质，根据解析式特点可知为一次函数的定点，再分别将，，代入解析式求出得值，即可得出答案．【详解】可知当时，为一次函数的定点令过点，则令过点，则如图所示，当或，且一次函数的图像与射线有交点，故选：D．2．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若一次函数（k为常数）经过一、三、四象限，则k的值可以是（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键．【详解】解：∵一次函数中的图象经过第一、三、四象限，∴，解得：，故只需写出的任意一个数即可，故答案为：（答案不唯一）．3．（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）已知函数，(1)当m为何值时，该函数图象经过原点；(2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；(3)若该函数图象经过一、二、四象限，求m的取值范围．【答案】(1)2；(2)且；(3)．【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式（方程或不等式组）以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出，解之即可得出结论；（2）由函数图象与y轴交点在x轴上方即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（3）由函数图象经过一、二、四象限结合一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵函数的图象经过原点，∴，解得：．∴当m为2时，该函数图象经过原点；（2）解：∵函数的图象与y轴交点在x轴上方，∴，解得：且．∴若该函数图象与y轴交点在x轴上方，m的取值范围为且；（3）解：∵函数的图象经过一、二、四象限，∴，解得：．∴若该函数图象经过一、二、四象限，m的取值范围为．题型七一次函数图象与坐标轴的交点问题13．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）若函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为2，则下列说法正确的是（

）A．y的值随x的增大而增大 B．该函数图象一定经过第一、二、四象限C．k的值为或 D．在在范围内，y的最大值为1【答案】C【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，分类讨论求解出的值是解题的关键．根据一次函数与y轴交于，结合与坐标轴围成的三角形的面积为2，分与x轴的交点坐标或两种情况讨论，求出k的值，结合一次函数的图象与性质判断是解题的关键．【详解】、当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故错误；、当时，该函数图象一定经过第一、二、四象限；当时，该函数图象一定经过第一、二、三象限；故错误；、时，，所以直线与y轴的交点坐标为，当时，该函数图象一定经过第一、二、四象限，又直线与坐标轴围成的三角形的面积为2，∴该直线与轴的交点坐标为即解得；当时，该函数图象一定经过第一、二、三象限，此时该直线与x轴的交点坐标为，∴，解得，故正确；、当时，当时，取最大值，当时，当时，取最大值，故错误；故选：．14．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若将直线向左平移3个单位长度后与y轴的交点在点的上方，则k的值可以为（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的平移，平移规律为“上加下减，左加右减”，根据一次函数的图象左平移3个单位长度k不变，可得平移后的函数解析式为：，结合交点的意义即可得到k的范围．【详解】解：∵若将一次函数的图象左平移3个单位长度，∴平移后的函数解析式为：，整理可得∵函数与y轴的交点在点的上方，∴∴解得：，结合选项，只有C选项的2符合，故选：C．巩固训练1．（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）一次函数的图象与y轴的交点是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．令，求出y值，即可得解．【详解】解：令，，一次函数的图象与y轴的交点是，故选：C．2．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知一次函数经过、两点，，且该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，则k的值是．【答案】【分析】本题考查一次函数解析式的确定及其与坐标轴围成面积的计算方法，由函数解析式确定与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，然后根据函数图象与坐标轴的面积为4列出方程是解题的关键．【详解】解：∵一次函数经过、两点，，∴随的增大而减小，∴，∵在中，当时，；当时，，∴的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，由题意可得：，解得：（舍去）或．故答案为：．3．（2023上·宁夏银川·八年级校考期中）已知：一次函数，图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．(1)在直角坐标系内画出该函数的图象．(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．（1）根据题意可知点A、B的坐标，然后再图象上描出点A、B，进而问题可求解；（2）根据（1）可直接进行求解的面积．【详解】（1）解：列表表示当，时函数的对应值：x002过点与点画一条直线，如图即是函数的图象．（2）解：由图可知，，，为直角三角形，∴，，∴，∴的面积为4．题型八一次函数的平移问题15．（2024上·福建三明·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线l是函数的图象，将直线l平移后得到直线，则下列平移方式正确的是(

)A．将直线l向上平移2个单位长度 B．将直线l向下平移2个单位长度C．将直线l向左平移2个单位长度 D．将直线l向右平移2个单位长度【答案】A【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．【详解】解：设将直线向左平移a个单位后得到直线（），∴，解得：，故将直线向左平移1个单位后得到直线，同理可得，将直线向上平移2个单位后得到直线，观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．16．（2024上·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，把直线沿y轴向上平移2个单位长度后，得到的直线的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象平移上加下减是解题的关键．根据上加下减进行求解作答即可．【详解】解：由题意知，平移后的直线的函数表达式为，故选：B．巩固训练1．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线平移后的解析式有这样的规律“左加右减，上加下减”，熟记一次函数平移规律是解题的关键．根据平移规律可得，直线向下平移6个单位后得，然后把代入即可求出k的值．【详解】直线向下平移6个单位平移后所得解析式为，平移后的直线正好经过点，，解得：故选：A2．（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）若直线与直线平行，在y轴上的截距为5，则一次函数的解析式为．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，两直线平行，则一次项系数相同，据此可得，一次函数与y轴的截距即为解析式中常数项的值，则，据此可得答案．【详解】解：∵直线与直线平行，∴，∵直线在y轴上的截距为5，∴，∴直线的解析式为，故答案为：．3．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）设一次函数（k，b是常数，且）．(1)若，此函数的图象过下列哪个点______．A

B

C

D(2)若点在该一次函数的图象上，把点P先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到点，也在该函数图象上，求k的值；(3)若，点（）在该一次函数图象上，求k的取值范围．【答案】(1)B(2)(3)【分析】（1）把代入得，即可判断此函数的图象过点；（2）求得点，然后利用待定系数法即可求得k的值；（3）由点（）在该一次函数图象上得到，即，根据可知，即可求得．【详解】（1）解：若，此函数的图象过点，故答案为：B；（2）点，把点P先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到点，∵和点都在（k，b是常数，且）的图象上．∴，解得．（3）∵点在一次函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能够明确题意，利用一次函数的性质是解题的关键．题型九一次函数与方程的关系17．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可．【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，，∴直线的图象一定经过点，故选：C．【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．18．（2023下·全国·八年级专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标．【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．巩固训练1．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标即可求解．【详解】解：方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标，∵直线过点，∴方程的解是，故选：B．2．（2023上·山西太原·八年级统考阶段练习）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：由图象得：方程的解是，故答案为：．3．（2023上·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．

【答案】关于x的方程的解为．【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可．【详解】解：∵一次函数的图象经过点，，∴，解得，∴关于x的方程为，∴，故关于x的方程的解为．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键．题型十一次函数与不等式的关系19．（2023上·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）一次函数与的图像如图所示，由图像可知不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．直接利用函数图象，结合，得出的取值范围．【详解】解：如图所示：不等式的解集为：．故选：C．20．（2023上·广东梅州·九年级校考开学考试）一次函数与的图像如图，则下列结论①；②；③；④当时，中，正确的是（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断．【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，，所以①错误，③正确；∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方，，所以②错误；当时，，即所以④正确．故选：A．巩固训练1、（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图象（如图），当时，y的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解．【详解】解：由图象可知：当时，y的取值范围是；故选：A．2．（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是．【答案】/【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可．【详解】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是，故答案为：．3．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：(1)关于x的方程的解是；(2)关于x的方程的解是；(3)当时，y的取值范围是．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；（2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可（3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可．【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，，故答案为：；（2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为，故答案为：；（3）根据图象可知：当时，，故答案为：．题型十一求直线围成的图形面积21．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B22．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（

）A．25 B．28 C．30 D．35【答案】C【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线向下平移8个单位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵直线向下平移8个单位长度后的解析式为，令，则，解得：，，∵直线中，当时，，，联立方程，解得，，．故选：C．巩固训练1．（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：令，则，解得，所以，点的坐标为，∵点的纵坐标是，∴点C到轴的距离为，∴的面积．故选：B．【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键．2．（2023下·四川巴中·八年级校考期中）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为．【答案】3【分析】将两一次函数的解析式联立，求出点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出、、的坐标，然后根据的面积的面积的面积求解．【详解】解：由，解得，则．一次函数与的图象与轴分别交于点，，，．点在一次函数的图象上，，解得，．的面积的面积的面积．故答案为：3．

【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．3．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，己知直线与直线交于点A．(1)求点A和点C的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，或【分析】本题考查一次函数的图象与性质；（1）联立两个函数解析式即可求出交点坐标，直线，令，解得，即可得到；（2）先求出，再设，分别求出和，最后列方程求解即可．【详解】（1）联立方程组，解得，∴A点坐标为；直线，令，解得，∴；（2）直线，令，解得,∴，∴，设，∴，，∵，∴，∴点P的坐标为或．题型十二根据一次函数增减性求参数23．（2023上·江苏·八年级专题练习）若一次函数的函数值y随x增大而增大，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数的性质，，当时，函数值随的增大而增大．根据一次函数的性质，可得答案．【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大，，解得，故选：D．24．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）若一次函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正比例函数的增减性，根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．【详解】解：当时，，一次函数的随x的增大而减小，则，解得．故选：C．巩固训练1．（2024上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若点和点都在一次函数（m为常数）的图象上，且当时，，则m的值可能是（

）A．0 B． C． D．3【答案】D【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是利用一次函数增减性，求出．从而可得答案．【详解】解：∵当时，，∴一次函数的y随x的增大而增大∴∴∴m的值可能是3故选：D．2．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则b的值为．【答案】或【分析】本题考查求一次函数解析式，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x随的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果．【详解】解：分两种情况：当时，y随x的增大而增大，当时，对应的函数值y的取值范围是，当时，，时，，，解得；当时，y随x的增大而减小，当时，对应的函数值y的取值范围是，当时，，时，，，解得，综上可知，b的值为或．3．（2023上·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考阶段练习）已知一次函数，其中．(1)若点在y的图象上，求k的值．(2)当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；（1）将点代入关系式，求出，即可求解；（2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．【详解】（1）解：点在的图象上，，解得：；故答案为：；（2）解：①当时，即：，当时，函数的最大值为9，当时，，，解得：，一次函数解析式为；②当时，即：，当时，函数的最大值为9，当时，，，解得：，一次函数解析式为；综上所述：一次函数解析式为或；题型十三比较一次函数值的大小25．（2023上·江苏·八年级专题练习）已知点，都在直线上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，根据，可得随着x的增大而减小，即可解答，熟知，时，y随着x的增大而增大；时，y随着x的增大而减小是解题的关键．【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，又∵点，都在直线上，且，∴．故选：A．26．（2024上·广东河源·八年级统考期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了函数值比较大小，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题意，确定还函数图像的增减性，即可获得答案．【详解】解：对于直线，∵，∴该函数值随的增大而减小，又∵，∴．故选：D．巩固训练1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）点，在一次函数的图像上，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一次函数的性质，由得到随的增大而减小，由即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴随的增大而减小，∵，∴，故选：．2．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）已知，是一次函数（是常数）的图象上的两点，则．（填“>”“<”或“=”）【答案】【分析】本题考查一次函数的性质，根据k值得到一次函数的增减性是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【详解】解：∵一次函数中，，∴y随x的增大而增大．∵，∴．故答案为：．3．（2023上·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．(1)求此函数表达式和自变量x的取值范围．(2)当时，求自变量x的取值范围．(3)若，，对应的函数值分别为，．比较与的大小．【答案】(1)，x为全体实数(2)(3)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，一次函数的性质；（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据得出不等式，解不等式可得答案；（3）根据一次函数的增减性可得答案．【详解】（1）解：设，∵当时，；当时，，∴，解得：，∴，x为全体实数；（2）当时，即，解得：；（3）∵中，，∴y随x的增大而减小，∵，，即，∴．题型十四一次函数的规律探究题27．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围．【详解】解：由题意可得，点A的横坐标为2018，在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，，解得，，故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答．28．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解．【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去，∴与横坐标相同，与纵坐标相同，∴当时，，∴，∴当时，，，同理可得：，，，，…∴的横坐标为，当时，，∴点的横坐标．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．巩固训练1．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的找出规律是解题的关键．点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论．【详解】点，在直线上，，轴，的纵坐标的纵坐标，在直线上，，，，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，∴的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，故选：A．2．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…分别在x轴上，点，，，…分别在直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标为．【答案】【分析】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，根据，是等腰直角三角形，得到和的横坐标为1，根据点在直线上，得到点的纵坐标，结合为等腰直角三角形，得到和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，即可得到点的横坐标．此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键．【详解】解：根据题意得：和的横坐标为1，把代入得：，∴的纵坐标为1，即，∵为等腰直角三角形，∴，∴和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，的横坐标为，故答案为：．3．（2023下·江苏·八年级统考期末）【定义】如果在平面直角坐标系中，点在直线上，我们就把直线叫做点P的“依附线”，点叫做这条直线的“依附点”，叫做点的“依附数”．例如，点在直线上，所以直线为点的“依附线”，点的“依附数”为．【应用】(1)已知点，在，，中，与点的“依附数”相同的点是______；(2)已知矩形中，点，，，．若矩形边上存在两个不同的点，都是直线的“依附点”，求的取值范围；(3)若直线上存在点，且点的“依附数”为，当，时，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)，且【分析】（1）根据题中关于“依附数”的定义可知，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”，分别判断点，，，的依附数即可；（2）设，，根据题意可得，分类讨论即可分别得到的范围和的范围，取其公共部分即可；（3）根据题意列方程组求得，结合，进行求解即可．【详解】（1）解：根据题意可知，点在在直线上，将代入得：，解得，即直线的解析式为；故点是直线的“依附点”，是点的“依附数”，由此可得，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”；∴对于，，故是点的“依附数”，对于，，故是点的“依附数”，对于，，是点的“依附数”，∴与点的“依附数”相同的点是．故答案为：．（2）解：设，，若点，都是直线的“依附点”，即，∵点，是两个不同的点，即点，在不同边上，设点在上，则，，∴，①点在上，则，，∴，故；②点在上，则，，∴，故不存在；③点在上，则，，∴，故；综上，的取值范围为．（3）解：根据题意可知若点的“依附数”为，即直线是点的“依附线”，点在直线上，故点是直线和直线的交点，故整理得：，∵，即，当时，解得：，∵，则，，即，故该情况下无解；当时，解得：，∵，则，，即，故该情况下无解；当时，解得：∵，则，，即，故当，时，的取值范围为，且．【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点与方程的解，求不等式组的解，熟练掌握“依附数”的定义是解题的关键．题型十五一次函数与反比例函数的实际问题29．（2023·河北保定·统考一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（

）A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为【答案】C【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可．【详解】解：∵，∴玻璃加热速度为，故A选项不合题意；由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，，∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，故B选项不合题意；∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，由题可得，在正比例函数图象上，代入点可得，，∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，∴将代入，得，∴将代入，得，∴，∴能够对玻璃进行加工时长为，故C选项符合题意；将代入得，，∴，∴玻璃从降至室温需要的时间为，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．30．（2021上·山西·九年级山西实验中学校考期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案．【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，将（4，8）代入得：8＝4k，解得：k＝2，故直线解析式为：y＝2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，将（4，8）代入得：8＝，解得：a＝32，故反比例函数解析式为：y＝；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3，当y＝6，则6＝，解得：x＝，∵−3＝（小时），∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时故选A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．巩固训练1．（2023上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系．直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图，为了在上午第一节下课时能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用待定系数法求出开机加热时一次函数关系式，进而求出当时的值，再求出关机降温时反比例函数关系式，进而求出当时的值，观察可知饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环内，在及时间段内，水温不超过，最后逐项判断即可．【详解】解：∵开机加热时间每分钟上升，∴从到需要分钟．设一次函数关系式为，将点，代入，得，解得，∴一次函数关系式为，令，则，解得：，设反比例函数关系式为，将点代入关系式，得，解得，∴反比例函数关系式为，将代入，得，∴．令，解得，

∴饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环内，在及时间段内，水温不超过．∵至之间有85分钟，，不在及时间段内，A选项不符合题意；∵至之间有75分钟，，不在及时间段内，B选项不符合题意；∵至之间有60分钟，，在及时间段内，C选项符合题意；∵至之间有45分钟，，不在及时间段内，D选项不符合题意；．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，求自变量的值，从图像中获取信息是解题的关键．2．（2023·山东青岛·统考二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是分钟．

【答案】12【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间．【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为把代入中得；，∴，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为设药物燃烧后y关于x的函数关系式为把代入中得；，∴，∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为把代入，得：，把代入，得：，∵，∴那么此次消毒的有效时间是12分钟，故答案为：12．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．3．（2024上·广东江门·九年级统考期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标；(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．【答案】(1)反比例函数的解析式为，，(2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用：（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标；（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为，当时，，，；（2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：设当时，的解析式为，将、代入得：，解得，的解析式为，在中，当时，，在中，当时，，时，注意力指标都不低于32，∵，陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32．题型十六一次函数与反比例函数的综合31．（2023上·广东茂名·九年级校考阶段练习）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，则不等式的解集是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．利用函数图象得到当一次函数图象不在反比例函数图象上方时x的取值即可．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象不在反比例函数图象上方时，x的取值范围是：或，∴不等式的解集是：或，故选：D．32．（2023·广东梅州·统考一模）已知双曲线与双曲线与直线从左到右依次交于四点，若（为坐标原点），则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，不妨设，，由双曲线的对称关系可知，，则，从而，即可得到答案．【详解】解：根据题意，作出图像，如图所示：，设，，由双曲线的对称关系可知，，，，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，根据题意，作出图像，由图像与性质求出线段长度是解决问题的关键．巩固训练1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．【详解】解：∵把，直线与双曲线交于点和点，∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，∴不等式的解集是：，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．2．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，直线与反比例函数为常数，的图象相交于、两点，其中点的坐标为．（1）的值为；（2）若点是该反比例函数图象上一点，点是直线在第二象限部分上一点，分别过点、作轴的垂线，垂足为点和若时，则的取值范围是．【答案】【分析】根据直线与反比例函数为常数，的图象相交于，可得，进而可求的值；解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标；观察图象即可得出结论．【详解】解：直线与反比例函数为常数，的图象相交于，，，由点的坐标为得所以；故答案为：；解得或，；观察图象可知，若时，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．3．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，．(1)求点坐标和反比例函数关系式；(2)求一次函数的解析式；(3)求的面积。【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，利用割补法求三角形面积．（1）由，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，可得到的值，进而得到的坐标，把的坐标代入即可确定出解析式；（2）把的横坐标代入（1）中求出的反比例解析式，确定的坐标，把和的坐标代入即可确定解析式；（3）令解析式中求出的值，进而得到的长，而把分为两个三角形，底边都为，高为和到轴的距离，根据三角形的面积公式即可求出的面积．【详解】（1）解：（1）由，设，则，又，在中，根据勾股定理得：，即，解得或（舍去），所以，，则的坐标为，把的坐标代入反比例解析式得：，则反比例函数的解析式为；（2）（2）把的横坐标代入反比例解析式得：，所以的坐标为，又，将和的坐标代入解析式得：，解得：，则一次函数解析式为：；（3）令，解得，即，则．题型十七一次函数的应用之分配方案问题33．（2022·全国·八年级假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：甲（元/个）乙（元/个）原料成本128销售单价1812生产提成10.6设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800【答案】A【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解．【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680，故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式．34．（2020下·湖北黄冈·八年级统考期末）某公司话费收费有套餐（月租费元，通话费每分钟元）和套餐（月租费元，通话费每分钟元）两种．当月通话时间为（

）时，，两种套餐收费一样．A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】C【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可．【详解】A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15；B套餐的收费方式：y2＝0.15x；由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300，故选C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．巩固训练1．（2020下·山东潍坊·七年级校考阶段练习）一辆甲种车每次可运货物3吨，一辆乙种车每次可运货物2吨，某公司有20吨货物，计划同时租用两种车一次运完，且每辆车都装满货物，一共有（

）种租车方案．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设租用甲种车x辆，即乙种车辆，根据x，均为正整数求出所有的租车方案即可．【详解】设租用甲种车x辆，即乙种车辆∵x，均为正整数∴当成立故存在3种租车方案故答案为：C．【点睛】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键．2．（2021上·广东茂名·八年级统考期末）本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租公司．【答案】甲【分析】由题意可知x=3500>1500，此时观察图像，则此时甲省钱．【详解】根据图象可知当x>1500时，，此时甲省钱．∵x=3500>1500，此时，∴此时甲省钱．故答案为：甲．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据两个一次函数的交点判断出与的大小是解答本题的关键．3．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）馇酥是陕西省咸阳市乾县的著名小吃，被列为陕西省第二批非物质文化遗产项目之一，作为当地的民间食品，有着悠久的历史和文化背景，因其油多而不腻、糖多而不厌、滋养而不过补，深受省内外人们的喜爱．王英去咸阳旅游，准备带些馇酥回家给家人品尝，她发现甲、乙两家食品超市都在销售相同品质的馇酥，且标价均为12元/千克，经询问，两家超市均给出了优惠方案，甲超市的优惠方案是：无论购买多少，一律按标价的8折付款；乙超市的优惠方案是：若一次性购买不超过5千克，按标价付款，若一次性购买超过5千克，则超过部分按标价的5折付款．设王英购买的数量为x（）千克，在甲超市购买需付款元，在乙超市购买需付款元．(1)分别求、与x之间的函数关系式；(2)若王英一次性购买9千克，请计算并说明，王英在哪家超市购买较划算？【答案】(1)，(2)王英在乙超市购买较划算，见解析【分析】本题考查一次函数的实际应用．（1）根据各自得优惠方案，列出函数关系式即可．（2）将代入两个函数解析式，求出函数值，比较大小后，进行判断即可．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得；；（2）当时，，，∵，∴王英在乙超市购买较划算．题型十八一次函数的应用之最大利润问题35．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（

）A．200元 B．300元 C．350元 D．500元【答案】B【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润．【详解】解：设与的一次函数关系式为，由图可得，解得，所以与的一次函数关系式为，把代入可得，所以销售利润为（元）．故选B．【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．36．（2021下·山东济南·七年级统考期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（

）销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040A．63 B．59 C．53 D．43【答案】D【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解．【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b，将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：，解得，∴y＝﹣x+180，将x＝137代入可得y＝43，故选：D．【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定