第十二章实数（单元重点综合测试）-2023-2024学年七年级数学下册单元速记巧练

第十二章实数单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023下·上海·七年级校考期中）下列运算一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查算术平方根，有理数的的乘方，分数指数幂的知识，解题的关键是掌握算术平方根，有理数的的乘方，分数指数幂的定义和运算，即可．【详解】A、，不符合题意；B、无意义，不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，不符合题意．故选：C．2．（2023下·上海·七年级校考期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数．【详解】∵，，∴无理数为：（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）．故选：A．3．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）估算的值是在（

）A．0和1之间 B．和0之间 C．和之间 D．和之间【答案】C【分析】先估算出的值，再求解、辨别．【详解】解：，，故选：C．【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识进行估算、求解．4．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知三个实数在数轴上对应的点如图所示，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数轴可得，，进而化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解．【详解】解：根据数轴可得，，∴，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，数形结合是解题的关键．5．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．，都是正整数），当时，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】本题考查了新定义下实数的混合运算，先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根据x和y的取值求出的最大值即可．【详解】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，，，；将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，，，，，，，，，又，都是正整数，最大为6时，最大，此时，故选：B．6．（2023下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）已知：（n是自然数）．那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算再求解再化简再计算即可得到答案.【详解】解：由题意得：，∴，则∴．故选D．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023下·上海·七年级专题练习）若是的整数部分，则．【答案】3【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．根据，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分即可．【详解】解：∵，∴，又∵是的整数部分，∴；故答案为：3．8．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）的算术平方根为．【答案】【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．【详解】，9的算术平方根为的算术平方根为．故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．9．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若与互为相反数，则．【答案】9【分析】由题意得，，据此得到这几个非负数都为0列出算式，求出、的值，代入计算即可．【详解】解：由题意得，，∴，，解得，，，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查了非负数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．10．（2023上·上海松江·八年级统考期中）已知函数，则．【答案】1【分析】根据定义，直接代入计算求值即可．【详解】∵，∴，故答案为：111．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）已知a、b均为正整数，如果，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是．【答案】6【分析】估算出，推出，根据“主要值”的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴的主要值是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握“主要值”的定义是解题的关键．12．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）小宝编写了一个程序，如下图．则x为．

【答案】【分析】利用程序图的运算顺序，列出方程，利用算术平方根，立方根和倒数的意义逐步求解即可．【详解】解：由图可知：，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了立方根与算术平方根的意义，熟练掌握立方根与算术平方根的意义是解题的关键．13．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）已知，那么．【答案】0【分析】首先利用偶次方以及算术平方根的非负性得出a，b的值，即可得出答案．【详解】∵∴，∴，∴．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了偶次方以及算术平方根的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键．14．（2023下·上海·八年级专题练习）大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是．【答案】8【分析】此题主要考查了立方根，直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案，正确得出各条棱长是解题的关键．【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为，∴大立方体的棱长为，小立方体的棱长为，∴这个物体的最高点到地面的距离是：，故答案为：8．15．（2023上·上海奉贤·七年级统考期末）一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是．【答案】【分析】本题主要考查新定义下的含乘方有理数混合运算，根据数的生成规则，找到第三个数为x和y的三个数，利用规则计算求得x和y即可求得答案．【详解】解：根据从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是，∵∴，解得，∵，∴，则．故答案为：．16．（2023下·上海静安·七年级上海市市西初级中学校考期中）如果，那么在；；；这四个数中，最大的是．【答案】【分析】利用进行逆用，分别求这四个数的六次方，并比较其结果，即可求解．【详解】解：，，，，，最大的数是；故答案：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，幂的乘方公式的逆用，掌握比较方法是解题的关键．17．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）已知，且，则的值为．【答案】/【分析】根据题意得出，再根据完全平方公式计算，得出答案即可．【详解】解：∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式，无理数的估算．正确变形是解题的关键．18．（2023上·辽宁大连·七年级校考阶段练习）已知，，，，…，按此规律，．【答案】【分析】由题意得从1开始个连续的奇数的和等于，求出连续奇数的个数即可解决问题．【详解】解：，从1开始连续2个奇数相加；，从1开始连续3个奇数相加；，从1开始连续4个奇数相加；连续整数的个数为：4045个，其中奇数的个数比偶数的个数多1个，中，奇数有2023个，偶数有2023个，，故答案为：．【点睛】本题是规律型的，从1开始连续2个奇数和等于，连续3个奇数的和为，连续4个奇数的和为，可以得出连续个奇数的和为的规律，解题的关键是求出连续奇数的个数．三、解答题（9小题，共64分）19．（2023下·上海·七年级校考期中）计算：【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根，平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：．20．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值．【答案】1【分析】根据算术平方根和立方根的表示列出方程组，求出x，y的值，从而得到A，B，再求的立方根．【详解】解：由题意可得：，，

解得：，∴，，∴，∴的立方根的值为1．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，解题的关键是根据相应的表示方法得到关于x，y的方程组．21．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”．(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．(2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值．【答案】(1)是“完美组合数”，理由见解析(2)．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可．【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵，，，∴，，这三个数是“完美组合数”；（2）解：∵，∴分两种情况讨论：①当时，，∴；②当时，，∴（不符合题意，舍）；综上，．【点睛】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．22．（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）阅读下列材料并解答问题∶对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数．如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4．(1)计算25的根整数，得_____________________．(2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2．若对2023进行连续求根整数，则第________________次可得结果为2．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据题中所给运算进行求解即可；（2）根据题中所给运算对2023进行连续求解即可．【详解】（1）解：∴故答案为：（2）对2023进行连续求根整数，第一次：第二次：第三次：∴第四次：∴第四次可得结果为故答案为：2【点睛】此题考查了新定义运算以及算术平方根的求解，解题的关键是掌握算术平方根的求解，并理解题中所给运算．23．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．阅读材料：“无理数”的由来为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数．再设，其中m是整数，就有：，也就是：，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，因为：______________，所以：是一个无理数．【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾【分析】仿照题干方法进行证明即可．【详解】假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：，所以：，可得：，所以：，因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾，所以：是一个无理数．【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键．24．（2023下·上海杨浦·七年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：．（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝，n＝．【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．【详解】解：（1）由定义可得，，，．故答案为：2；．（2），，即，整数的值为1、2、3．故答案为：1、