专题02几何思想之平行四边形综合-2021-2022学年八年级数学下册专题训练

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做58题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题02几何思想之平行四边形综合（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．下列命题中，假命题是（）A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形【标准答案】D【思路指引】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．【详解详析】观察图形：分别为的中点，根据中位线定理：A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误．故答案选：D．【名师指路】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键．2．（2021·上海宝山·三模）下列命题中正确的是（）A．对角线相等的梯形是等腰梯形B．有两个角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形一定是梯形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【标准答案】A【思路指引】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．【详解详析】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，∵四边形ABCD为梯形，∴DC∥AB，过C作CE∥DB交AB延长线于E，∴四边形BECD为平行四边形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确；B、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：A．【名师指路】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．3．（2021·上海奉贤·八年级期中）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF【标准答案】B【详解详析】【思路指引】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.【详解详析】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AFCE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴AECF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B.【名师指路】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.4．下列四个命题中，真命题是()A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形【标准答案】A【思路指引】根据平行四边形的判定进行判断即可．【详解详析】A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题．故选：A．【名师指路】本题考查了命题与定理和平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．5．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【标准答案】C【详解详析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，∵▱ABCD的周长为20cm，∴AD+DC=10cm，又∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm，故选C.【名师指路】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是()①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF;A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】C【详解详析】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴FC=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故选C．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题的关键．7．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）如图,平行四边形ABCD中,P是形内任意一点,△ABP,△BCP,△CDP,△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（）A．S1+S2＞S3+S4 B．S1+S2=S3+S4 C．S1+S2＜S3+S4 D．S1+S3=S2+S4【标准答案】D【思路指引】由平行四边形的性质得出S1+S3=平行四边形ABCD的面积，S2+S4=平行四边形ABCD的面积，即可得出结论．【详解详析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∴S1+S3=平行四边形ABCD的面积，S2+S4=平行四边形ABCD的面积，∴S1+S3=S2+S4，故选D．【名师指路】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如果平行四边形两条对角线的长度分别为，那么边的长度可能是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可．【详解详析】设平行四边形ABCD的对角线交于O点，∴OA=OC=4，OB=OD=6，∴64＜BC＜6+4，∴2＜BC＜10，∴6cm符合，故选B．【名师指路】考查了三角形的三边关系及平行四边形的性质，解题的关键是确定对角线的一半并根据三边关系确定边长的取值范围，难度不大．9．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A． B． C． D．【标准答案】D【详解详析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE．∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形．∴PEAB．，∵四边形BDEF是平行四边形，∴EFBD．∴EF∥AB．∴P，E，F共线．设BD=a，∵，∴PE=AB=4a．∴PF=PE﹣EF=3a．∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC．∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形．∴BH=PF=3a．∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4．故选D．10．（2019·上海市张江集团中学八年级月考）如图，在中，，依次是上的五个点，并且，在三个结论：（1）；（2）；（3）之中，正确的个数是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】先根据平行四边形性质和等腰三角形性质可得是的角平分线，是的角平分线，结论（2）正确．再利用结论（2）可得，即可判断结论（1）（3）错误，【详解详析】解：设，则，，，，，在中，，，∴，，同理可得：，，∴，，故（2）正确；∵，，∴，即，∴所以与不垂直，故（1）不正确；∵，，∴，即，∴故（3）不正确；故选：．【名师指路】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，证明是的角平分线，是的角平分线是解题关键．二、填空题11．如图，B(5，－5)，C(7，0)，以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为__________．

【标准答案】【思路指引】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．【详解详析】解：设A坐标为（x，y），

∵B（5，5），C（7，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，

∴x+7=0+5，y+0=05，

解得：x=2，y=5，即A（2，5），

设过点A的反比例解析式为y=，

把A（2，5）代入得：k=10，

则过点A的反比例函数解析式为y=，

故答案为：y=．【名师指路】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．12．（2021·上海宝山·八年级期末）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为．已知，那么的面积为_________．【标准答案】【思路指引】过点E作EH⊥BC，垂足为H，依据平行四边形的性质和折叠的性质证明△EBC≌△FGC，得到的面积等于的面积，求出EH，即可计算结果．【详解详析】解：过点E作EH⊥BC，垂足为H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，∠D=∠B，AD=BC，由折叠可得，∠A=∠ECG，∠B=∠G，AD=CG，∴∠BCD=∠ECG，BC=CG，∴∠BCD∠ECF=∠ECG∠ECF，∴∠ECB=∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA），∴的面积等于的面积，∵∠B=60°，∴∠BEH=30°，∴BH=BE=1，∴EH==，又BC=4，∴S△FCG=S△BCE==，故答案为：．【名师指路】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用相关性质证明三角形全等．13．（2021·上海杨浦·八年级期中）在▱ABCD中，AB＝5，BC＝7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是__________________．【标准答案】或【思路指引】如图，连接CA′，根据旋转的性质可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可求AA′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．【详解详析】解：如图，连接CA′，∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，∴△AOA′是等腰直角三角形，∴△AA′C是等腰直角三角形，∠AA′C=90°，设,在中，,解得：或∴在中AC＝或．故答案为：或．【名师指路】此题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）如图，在中，，，点在边上，以、为边作平行四边形，则的度数为____________．【标准答案】70°【思路指引】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【详解详析】解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，

∴∠C=（180°40°）÷2=70°，

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴∠E=70°．

故答案为：70°．【名师指路】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是求出∠C的度数．15．（2021·上海市进才中学北校八年级期中）如图，中，，于，交于，若，则的大小是________．

【标准答案】【思路指引】由，可做辅助线，取的中点，连接，根据平行四边形的性质，可得是，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是等腰三角形，进而可得，根据直角三角形的两锐角互余即可求得【详解详析】取的中点，连接，四边形是平行四边形，即故答案为：【名师指路】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，添加辅助线是解题的关键．16．如图，平行四边形的对角线、交于点，过点的线段与、分别交于点、，如果，，，那么四边形的周长为__．【标准答案】12【思路指引】根据平行四边形的性质知，AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF=OE=，CF=AE，于是可得到结论．【详解详析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，

∴△OAE≌△OCF（AAS），

∴OF=OE=，CF=AE，

∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE

=ED+AE+CD+OE+OF

=AD+CD+OE+OF

=4+5++

=12．

故答案为12．【名师指路】本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再由全等三角形的性质，转化边的关系后求解．17．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是A（0，0）、B（3，0）、D（1，），则顶点C的坐标是_____．【标准答案】C（5，）【思路指引】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．【详解详析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，0）、B（3，0）、∴DC＝AB=4，∵D（1，），∴C（5，）.【名师指路】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AB的长是解题关键．18．（2021·上海静安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为____．【标准答案】【思路指引】如图，连接交于．首先证明四边形是平行四边形，再证明，可得结论．【详解详析】解：如图，连接交于．，，四边形是平行四边形，，，关于对称，，BP=PQ，AP⊥BQ，∴∠PBQ=∠PQB，BQ⊥CR，∴∠PQB+∠PQC=∠PBQ+∠PQC=90°，∠PBQ+∠BCQ=90°，∴∠PQC=∠PCQ，，在中，，，，．故答案为：．【名师指路】本题考查直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是证明，由，推出．19．（2021·上海·上外附中八年级期末）四边形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠COB＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积为___．【标准答案】【思路指引】作对角线的辅助线，通过平行四边形ACED证明△ABD≌△CDE，从而将梯形的面积转化为直角三角形的面积．【详解详析】解：过点作交的延长线于点，于，，，四边形为平行四边形，，是等腰三角形，，，，，，．在和中，，，四边形的面积等于的面积，即．故答案为：．【名师指路】此题主要是平移对角线，构造一个平行四边形和等腰三角形，把梯形的面积转化为三角形的面积是解题关键．20．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为_______．【标准答案】8【思路指引】过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案．【详解详析】解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AD∥BC，∵DF∥AC，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AC=DF，AD=CF，∴BD=DF，∵，∴DF⊥BD，∴△BDF是等腰直角三角形，∵DE⊥BF，∴∴，即梯形的中位线是8cm，故答案为：8．【名师指路】此题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线是解题的关键．三、解答题21．（2021·上海崇明·八年级期末）如图，在中，，点D是斜边AC上的一点，，点F是AB的中点，过点C作交FD的延长线于点E．（1）求证：四边形CBDE是平行四边形；（2）联结BE、AE，如果，求证：．【标准答案】（1）见解析；（2）见解析【思路指引】（1）由等腰直角三角形的性质得出，进而得出，由平行四边形的判定则可得出结论；（2）由三角形中位线定理得出，得出，由角平分线的定义证得，则可得出结论．【详解详析】解：证明：（1），是等腰三角形，点是的中点，，，，，，，四边形是平行四边形；（2），点是的中点，垂直平分，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，，．【名师指路】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．22．（2021·上海奉贤·八年级期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7．（1）如图1，联结BD，当∠A＝60°时，求BD的长；（2）如图2，当∠D＝2∠B时，求CD的长．【标准答案】（1）；（2）3【思路指引】（1）过A作DE⊥AB，垂足为E，利用直角三角形的性质得到AE，利用勾股定理求出DE2，再次利用勾股定理求出BD即可；（2）过点D作DF∥BC，交AB于F，证明四边形BCDF是平行四边形，得到BF=CD，根据角的关系证明AD=AF=4，从而可得结果．【详解详析】解：（1）过D作DE⊥AB，垂足为E，∵DE⊥AB，∠A=60°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=2，∴DE2=AD2AE2=12，BE=ABAE=5，∴BD2=DE2+BE2=37，∴BD=；（2）过点D作DF∥BC，交AB于F，∵AB∥CD，∴BF∥CD，∠2=∠3，又DF∥BC，∴四边形BCDF是平行四边形，∴∠2=∠B，CD=BF，∵∠ADC=2∠B=2∠2=∠1+∠2，∴∠1=∠2=∠3=∠B，∵∠1=∠3，∴AF=AD=4，∴BF=ABAF=3，∴CD=BF=3．【名师指路】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是掌握图形的性质定理，熟练掌握线段和角的关系转化．23．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是CD的中点，EF//BA，交BC于点F，求证：BF＝（AD+BC）（括号里只需写本学期所学的定理）．【标准答案】见解析【思路指引】在BF上取FG=FC，连接DG，根据中位线定理得到EFDG，且EF=DG，再证明四边形ABGD是平行四边形，得到AD=BG，根据线段的关系可得结论．【详解详析】解：证明：在BF上取FG=FC，连接DG，∵E为CD中点，FG=FC，（已知）∴EF为△CDG的中位线，（中位线的定义）∴EFDG，且EF=DG，（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）又∵EFAB，（已知）∴ABDG，（平行于同一条直线的两直线平行）又∵ADBD，（已知）∴四边形ABGD是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴AD=BG，（平行四边形对边相等）∴AD+BC=BG+BG+FG+FC=2BF，（等量代换）∴BF=（AD+BC）．（等式的性质）【名师指路】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．24．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，已知四边形是平行四边形，将边延长至点，使，联结、，与交于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求证：四边形是矩形．【标准答案】（1）见解析；（2）见解析．【思路指引】（1）先根据四边形ABCD是平行四边形可得AB=CD，即BE//CD,再证即可证明；（2）先证明，再结合四边形BECD是平行四边形即可证明．【详解详析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，，即BE//CD．∴四边形BECD是平行四边形．（2）．，，，，∵四边形BECD是平行四边形∴四边形是矩形．【名师指路】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定，灵活应用相关性质定理和判定定理是解答本题的关键．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），∠CPQ的角平分线与AC相交于点D．（1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；（2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）4或或【思路指引】（1）根据角平分线的性质得到∠CPD=∠QPD，由DQ=PB=PQ得到∠QDP=∠QPD推出DQ∥BP，再根据DQ=BP推出四边形BQDP是平行四边形；（2）先根据勾股定理求出AB=10，过点P作PH⊥AB于H，证明△BHP∽△BCA，求出BH=，HP=，根据同位角相等证明PD∥AB得到CD=，过点Q作QE⊥AC于E，利用三角函数求出QE=，再根据即可求出函数解析式，根据图形中各边都大于0得到不等式组求出x的取值范围；（3）设PB=a，过点P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，则AQ=10，分三种情况：①当AD=DQ时，②当AQ=DQ时，③当AD=AQ=10时，分别求出a即可.【详解详析】（1）∵∠CPQ的角平分线与AC相交于点D，∴∠CPD=∠QPD，∵DQ=PB=PQ，∴∠QDP=∠QPD，∴∠QDP=∠CPD，∴DQ∥BP，∵DQ=BP，∴四边形BQDP是平行四边形；（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，过点P作PH⊥AB于H，∴∠BHP=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BHP∽△BCA，∴，∴，∴BH=，HP=，∴BQ=2BH=，∵PB=PQ，∴∠B=∠BQP，∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP，∴∠CPQ=∠B，∴PD∥AB，∴，∴，∴CD=，∴，过点Q作QE⊥AC于E，∵AQ=10，∴QE=，∴==∵，解得，∴；（3）设PB=a，过点P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，∴AQ=10，①当AD=DQ时，如图，过点D作DF⊥AB于F，则AF=，∴，∴CD=，∵PD∥AB，∴,∴，解得a=4，②当AQ=DQ时，过点Q作QM⊥AC于M，∴AM===，∴AD=2AM=，∴CD=6AD=,∵PD∥AB，∴,∴,解得a=；③当AD=AQ=10时，则CD=6AD=4，∵PD∥AB，∴,∴，解得a=.【名师指路】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，是一道较难的综合题，解题中注意分类讨论的解题方法的运用.26．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）若四边形ADEG是正方形，请直接写出AC与AB的数量关系（不用写证明过程）【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝AB【思路指引】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC；（2）由△BDE≌△BAC，可得DE=AG．然后利用正方形性质和周角=360推知∠EDA+∠DAG=180，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC=AB．【详解详析】（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE是正方形．∴BD＝BA，BE=BC，∠DBA＝∠EBC＝＝90．∴∠DBE+∠EBA=90，∠ABC+∠EBA=90．∴∠DBE＝∠ABC．∴△BDE≌BAC．（2）证明：∵△BDE≌BAC．∴DE＝AC＝AG．∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线．∴∠BDA＝∠BAD＝45．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45．∠DAG＝360﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD．＝360﹣90﹣∠BAC﹣45．＝225﹣∠BAC．∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45+225﹣∠BAC＝180．∴DE∥AG．∵DE=AG．∴四边形ADEG是平行四边形．（3）∵当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，∠DAG=90，且AG=AD．

则∠BAC=360°∠BAD∠DAG∠GAC=360°45°90°90°=135°，

即当∠BAC=135°∴当∠DAG=90时，∠BAC=135．

∵四边形ABDI是正方形．

∴AD=AB．

又∵四边形ACHG是正方形．

∴AC=AG．

∴AC=AB．

∴当∠BAC=135，且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．所以AC与AB的数量关系：AC=AB．【名师指路】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360．27．已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．【标准答案】（1）见解析；（2）当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．证明见解析．【详解详析】（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME．∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．∴∠MEC=∠NCD．∵，∴．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．∴．又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．∴MN∥BC．证法二：延长CD到F，使得，联结AF．∵，，∴．∵，∴MC∥AF．∵MC∥DN，∴ND∥AF．又∵，∴．∴MN∥BC．（2）解：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．证明如下：∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．∵∠ACB=90°，，∴．∵，∴BMDN．∴四边形BDNM是等腰梯形．28．如图，某环形路是平行四边形，米，米，现有1号、2号两车分别从A地同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿此环形路连续循环行驶，环形路上的人员可以随时乘车(上、下车的时间忽略不计).由于地段上人员的稠密程度，车的行驶速度不同，在这段路上行驶时，速度是200米/分；在这三段路上行驶时，速度是400米/分．小明和小华在路段上的学校地要去地铁口地，此时恰好1号车经过地．探究从地到地，1号车用时________分，2号车用时_______分；各自行驶一周用时________分．发现在地小明乘坐了1号车，小华步行，步行速度为50米/分，结果两人同时到达地，求的长．拓展若两人在地等候并乘2号车去往地，最快到达地需要多长时间（包括等候和乘车时间）．【标准答案】探究：10，17.5，27.5；发现：1100米；拓展：29.5分钟【思路指引】根据路程速度时间，即可解决探究问题；发现：设的长为米，构建方程即可解决问题；拓展：分别求出两车从到达的时间，即可判断；【详解详析】解：探究：从地到地，1号车用时分，2号车用时分；各自行驶一周用时27.5分，故答案为：10，17.5，27.5；发现：设的长为米，由题意得到：，解得，即米；拓展：1号车从到的时间分，这时2号车行驶到段，到达地需要：分，所以2号车再到达地的时间分，乘坐2号车从到的时间分，所以，两人在地等候并乘2号车去往地，最快到达地需要29.5分钟．【名师指路】本题考查平行四边形的性质、行程问题等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．29．（2021·上海普陀·八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P．（1）求直线AQ的表达式；（2）在y轴上取一点F，当四边形BPFO为是梯形时，求点F的坐标；（3）点D为直角坐标平面内一点，如果以Q、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．【标准答案】（1）y＝x+2；（2）F（0，4）；（3）（6，2）或（2，﹣2）或（﹣2，6），见解析．【思路指引】（1）求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得；（2）四边形BPFO为是梯形，则，联立两直线解析式求得点P坐标，即可求解；（3）分别以当PD//QB和BD//QP、当PB//QD和PQ//BD、当PD//BQ和PB//DQ三种情况进行分类讨论即可求得点D的坐标．【详解详析】解：（1）∵直线AQ在y轴上的截距为2，∴OQ＝2．∵∠Q