第四章图形的相似单元检测卷（A卷）（北师大版）

20222023学年九年级数学上册第四单元检测卷（A卷）（考试时间：60分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；D、＝，则xy＝30，故此选项错误；故选：B．2．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∴，故选：C．3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，∴AC：BC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：B．4．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．5．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（）A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上【答案】B【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，则∠BPD一定是钝角，∠BPD＝∠BAC，又BA＝2，AC＝2，∴BA：AC＝1：，∴BP：PD＝1：或BP：PD＝：1，只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．故选：B．6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元【答案】C【解答】解：3m×2m＝6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080元，故选：C．7．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，故选：D．8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．若△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF＝1：4，则点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）【答案】A【解答】解：∵△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF＝1：4，∴△OE′F′与△OEF的相似比为1：2，∵点E的坐标为（﹣4，2），∴点E′的坐标为（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：A．9．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x＝，∴正方形CDEF的边长为．故选：B．10．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A． B．﹣1 C． D．【答案】C【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，∵BF＝FC，BC＝AD＝2，∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1，∴AF＝＝＝，∵△ADN∽△FBN，∴＝＝2，即AN＝2FN，∴NF＝AF＝，∵OH∥AE，∴＝＝，∴OH＝AE＝，∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴＝＝，∴AM＝AF＝，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴＝＝2，∴AN＝2NF＝，∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．故选：C．填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。27．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的相似比为．【答案】【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的相似比为．故答案为：．29．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝．【答案】4：3【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD的值为：4：3，故答案为：4：3．30．如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件使得△ABP∽△ACB．【答案】∠ABP＝∠C（答案不唯一）【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP＝∠C，故答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）．28．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚Cm．【答案】2.5【解答】解：∵AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，∴＝，CD＝CE+ED＝4+5＝9，AC＝BC+AB＝BC+2，∴＝．解得BC＝2.5．故答案为：2.5．33．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为m．【答案】【解答】解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，∴另一直角边长为：＝2（m），则斜边长为：＝2.5，设点C到AB的距离为h，则S△ABC＝×2.5h＝1.5，解得：h＝1.2，∵正方形GFDE的边DE∥GF，∴△ACB∽△DCE，＝，即＝，解得：x＝，故答案为：．34．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．【答案】s或【解答】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，∵∠PBC＝∠ABC，∴当＝时，△BPC∽△BAC，即＝，解得t＝，当＝时，△BPC∽△BCA，即＝，解得t＝，即当t＝s或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．故答案为s或．三、解答题（本题共6题，17、18题6分，1922题10分）。17．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴＝（）2＝，又∵BC＝6，∴CE＝9．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝2，CD＝4．求BD的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∵AD＝2，CD＝4，∴＝，∴BD＝8．19．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．20．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，∴＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．21．如图，已知在▱ABCD中，AE：EB＝1：2．（1）求△AEF与△CDF的周长之比；（2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，DC∥AB．∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE．∴△AEF∽△CDF．∵AE：EB＝1：2，∴AE：AB＝AE：CD＝1：3．∴△AEF与△CDF的周长之比为1：3．（2）∵△AEF∽△CDF，AE：CD＝1：3，∴S△AEF：S△CDF＝1：9．∵S△AEF＝6cm2，∴S△CDF＝54cm2．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．【解答】（1）证明：∵DO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOA＝90°，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△DOB∽△ACB；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC＝DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），∴AC＝AO＝6，设BD＝x，则DC＝DO＝8﹣x，OB＝A