广西2025届高三第一次教学质量监测（一模） 数学试卷（含答案解析）

广西2025届高三第一次教学质量监测数学 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 2024.10注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、.准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2i-1A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i2.已知集合A=0,2,4,6,B=x|0<3ˣ≤81,则A∩B=A.{0,2,4}B.{2,4}C.{2}D.{2,3,4}3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|bA.3B.3c.7D.14.某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩(单位：分)整理如下：成绩[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数52530201010根据表中数据，下列结论正确的是A.100名学生成绩的极差为60分B.100名学生成绩的中位数大于70分C.100名学生成绩的平均数大于60分D.100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%5.一动圆与圆x²+y²+4x=0外切，同时与圆.x²+y²-4x-60=0内切，则动圆圆心的轨迹方程为A.x29+y25=16.圆锥的顶点为S，AB为底面直径，若AB=2,∠ASB=πA.4π3B.16π37.设函数fx=aeˣ+e⁻ˣ²,gx=4x²+2a-1,A.-2B.-1C.1D.2高三数学第1页共4页8.黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具。小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金；方案二是每次购入一定金额的黄金。已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同。现假设他两次购入的单价分别为a₁，a₂，且a₁≠a₂，则下列说法正确的是A.当且仅当a₁>a₂时，方案一的平均购买成本比方案二更低B.当且仅当a₁>a₂时，方案二的平均购买成本比方案一更低C.无论a₁，a₂的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低D.无论a₁，a₂的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列函数中，对称中心为(1，0)的有A.y=sinπxB.y=cos(x-1)C.y=12x-10.已知抛物线(C:y²=2pxp0),过C的焦点F作直线l:x=ty+1,若C与l交于A,B两点,A.p=2B.|AF|=3C.t=22或-22D.线段AB中点的横坐标11.下列关于函数f(x)=x-xlnx的说法,正确的有A.x=1是f(x)的极大值点B.函数f(x)有两个零点C.若方程f(x)=m有两根x₁,x₂,则x₁+x₂>eD.若方程f(x)=m有两根x₁,x₂,则x₁+x₂<e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲、乙、丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为90%，乙加工的正品率为80%，丙加工的正品率为85%，加工出来的零件混放在一起。已知甲、乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的40%。现任取一个零件，则它是正品的概率为.13.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，若双曲线的左支上一点P满足sin∠PF1F14.已知a>0,函数fx=|x-ax|x0).若曲线y=f(x)与直线y=2交于A,B两点,设A,B的横坐标分别为x₁，x₂，写出x₁，x₂与a的一个关系式：；分别过点A，B作x轴的垂线段AA₁,BB₁,垂足分别为A₁,B₁,则四边形AA高三数学第2页共4页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知1+(1)求∠A;(2)若c=3,且△ABC的面积为33,求△ABC16.(15分)中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：男女合计了解20不了解2040合计(1)将列联表补充完整；(2)根据α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联?(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：χ2=nP(x²≥k₀)0.1000.0500.0100.001ko2.7063.8416.63510.82817.(15分)如图,在三棱柱.ABC-A₁B₁C₁中，△AB₁C为正三角形，四边形.AA₁B₁B为菱形.(1)求证:AB₁⊥(2)若AC=BC=4,且AC⊥BC,E为(CC₁的中点，求平面.AB₁E与平面ABC的夹角的余弦值.高三数学第3页共4页18.(17分)已知数列{an}满足a₁=1,点aₙaₙ₊₁在直线(1)设bn=a(2)求数列aₙ的前n项和(3)设1an的前n项和为Tn，证明：19.(17分)已知:①定积分的定义:设y=f(x)为定义在[a，b]上的连续非负函数，为求.y=fx、将区间[a，b]分为n个小区间，每个小区间长度为b-an,每个区间即可表示为a+b-ani-1a+b-a当n→+∞时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替(一般用区间端点的函数值)，将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由.y=fx、x=a、x=b、x轴围成的曲边梯形的面积，即S=limn→∞∑t=1n②定积分的计算：abf根据以上信息，回答以下问题：(1)已知0<α<π2,(2)将x=1、x=2(3)试证明:1高三数学第4页共4页原卷扫描版原卷扫描版2025届高三第一次教学质量监测数学参考答案一、单选题1.选B.解析:2i-1=2i+12.选A.解析:A={0,2,4,6},B={x|x≤4},所以A∩B={0,2,4},故选A.3.选C.解析:由b-a⟂∴|a+b4.选C.解析:对于A,极差最大为:100-40=60,最小为:90-50=40,故A错误;对于B,根据频数分布表可知:5+25+30=60>50,所以中位数不超过70分,故B错误;对于C，由频数分布表可得，平均值为：11005×45+25×55+30×65+20×75+10×85+10×95=68.5,对于D，成绩大于60分的频数为：30+20+10+10=70，所以大于60分的人数所占比例为：70100=70%,所以D错误；5.选C.解析：两圆的标准方程为：C₁:C₂:设动圆圆心为C，半径为r，由外切：|CC₁|=2+r;由内切：|CC₂|=8-r,所以|CC₁|+|CC₂|=10,即动圆C是以C₁，C₂为焦点，10为长轴长的椭圆，且c=2,a=5,b=52-22=216.选B.解析:设圆锥底面圆心为O₁,外接球球心为O,半径为R,则Rt△SO₁A在中,AO1=1,∠ASO1=30∘,∴SO1=37.选B.解析：由题意得：方程：aeˣ+e⁻ˣ²=4x²+2a-1有一根，化简得：ae²ˣ+e⁻²ˣ=4x²-2有一根.设hx=e²ˣ+e⁻²ˣ,则hx=2e²ˣ-2e⁻²ˣ.令h¹x=0.得x=0.易得当a>0时,ah(x)与φ(x)有交点;当a<0时，ah(x)开口向下，若只有一个公共点，则ah(0)=φ(0),即2a=-2,解得a=-1.故选B.数学答案第1页共7页8.选D.解析：方案一：设每次购买数为x，则总量为2x，总价为a₁x+a₂x,∴平均购买成本为W方案二：设每次购买的金额为y，则总量为ya1+∴平均购买成本为W因为a1+a2≥2∴即W₁>W₂.所以无论a₁，a₂的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.故选D.二、多选题9.选ACD.解析:对于A:令πx=kπ,k∈Z.则x=k,当k=1时,(1,0)为对称中心,故A正确;对于B:令x-1=π2+kπ,k∈Z.则x=1+π2+kπ,没有整数k能使对于C：直线上任意一点皆为直线的对称中心，而y=12x-12对于D：因为2-x)³-32-x+2-x+1=-x³+3x²-x-1=-y∴故D10.选ABD.解析:对于A：因为C:y²=2pxp0),∴F在x轴正半轴上，又因为直线l恒过点(1，0)，∴F(1,0),∴p=2,故对于B：由1|AF|+1|BF|=2p,对于C:设A(x₁,y₁),则由|AF|=3得A到准线:x=-1的距离为3.∴x₁=2.代入C的方程得y1=±22.∴对于D:设.B(x₂,y₂).由yx1+x2=ty1+y数学答案第2页共7页11.选AD.解析：对于A:由f(x)=x-xlnx得.f'x=-lnx,当f'x>0时,0<x<1;当f'x<0时,x>1,即f(x)在(0,1)上递增,在(l,+∞)上递减,所以对于B:令x-xlnx=0,方程在(0,+∞)上只有一根x=e,故B错误;对于CD:由于x=1是f(x)的极大值点,不妨设x₁<1<x₂<e,则lnx1<0,ex2≠1.因为x₁,x₂是方程f(x)=mx1<x11-lnx1=x21-lnx2=x2lnex2,故选AD.三、填空题12.答案:0.85解析：由全概率公式得正品率为：P=0.9×0.3+0.8×0.3+0.85×0.4=0.8513.答案:14解析：因为sin∠PF1F又|PF₂|-|PF₁|=2a,∴|PF₂|=3a,|PF₁|=a.由于以F₂为圆心的圆与F₁P的延长线相切与点M，.∴F₁M⊥F₂M因为F1M=3F1P,∴|F1M|=3a,|PM|=2a..在又在Rt△MF₁F₂中|M14.答案:x₁x₂=a(或此式的合理变形也可)；4解析：不妨设x₁<x₂,贝-两式相减得：-由于x代入②式得：x₂-x₁=2,即|AB|=2,又||A数学答案第3页共7页四、解答题15.解析:(1)由题意得:1+tan所以3+3⇒tan所以A=π(2)由S=12bcsin由余弦定理得：a………………12∴周长为：3+4316.解析:(1)将列联表补充如下：男女合计了解402060不了解202040合计60401()()………………………2(2)零假设为H₀：该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联…………3根据列联表中的数据，经计算得：χ2根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为H₀成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联.………………………9(3)由题意得:X∼B所以，X的分布列为x0l23P8屮丨2一9127………………………12X的期望为EX数学答案第4页共7页17.解析:(1)证明：设AB₁∩A₁B=F,连接CF.因为四边形.AA₁B₁B为菱形，所以.AB₁⊥A₁B,……………………2又因为△AB₁C为正三角形，F为AB₁的中点，所以(CF⊥AB₁,……………4又CF∩A₁B=F,所以AB₁⊥平面A₁BC………5(2)设O,G分别为AC,AB的中点,则OG∥BC,B₁O⊥AC.由(1)得:AB₁⊥平面A₁BC,所以AB₁⊥BC,………………6又AC⊥BC,AB₁∩AC=A,所以BC⊥平面AB₁C,………7所以BC⊥B₁O,,又B₁O⊥AC,BC∩AC=C,所以B₁O⊥平面ABC……8所以OG,OC,OB₁两两垂直,以O为原点,OG,OC,OB1的方向分别为x则A(0,-2,0),C(0,2,0),B₁(0,0,3₃),B(4,2,0)由BB1=CC所以E-2则A设平面AB₁E的法向量为u=x