浙江省杭州市拱墅区北苑教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

北苑教育集团2024年10月初三阶段性测试数学题卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列事件中，属于必然事件的是（）A.掷一枚骰子，朝上一面的点数为5 B.一个三角形三个内角的和大于180°C.任意写一个数，这个数大于 D.两直线平行，同位角相等【答案】D【解析】【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件，故不符合题意；B．一个三角形三个内角的和大于180°是不可能事件，故不符合题意；C．任意写一个数，这个数大于是随机事件，故不符合题意；D．两直线平行，同位角相等是必然事件，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．2.关于二次函数，下列叙述正确的是（）A.当时，有最小值4 B.当时，有最大值4C.当时，有最小值4 D.当时，有最大值4【答案】B【解析】【分析】y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．∵-2＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当时，有最大值4．故选B．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．3.由抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．解：由抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是，即，故选：D．4.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间x（秒）与高度y（公尺）的关系为．若此炮弹在第6秒与第11秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的?（）A.第7秒 B.第8秒 C.第10秒 D.第12秒【答案】B【解析】【分析】根据题意得抛物线的对称轴是，根据8最接近即可得．解：∵炮弹在第6秒与第11秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：，即炮弹在第秒时高度最高，∵8最接近，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．5.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出，，的值，再比较即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．解：∵，，是抛物线上的三点，∴，，，∵，∴，故选：C．6.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验是（）A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4【答案】D【解析】【分析】根据折线统计图可知，随着次数的增多，频率稳定在之间，由此即可求解．解：．“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率为，不符合该实验结果；．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合该实验结果；．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，不符合该实验结果；．掷一个质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为：，符合该实验结果；故答案为：D．【点睛】本题主要考查事件的频率（概率）的计算，掌握频率的计算方法是解题的关键．7.某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本，根据题意得，，故选：A．8.已知，则函数的最大值是（）A. B. C.2 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，由得出二次函数的对称轴为直线，开口向下，即当时，随着的增大而增大，结合计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．解：∵，∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，∴当时，随着的增大而增大，∵，∴当时，最大，为，故选：B．9.对于方程（为常数）有两个不相等且小于1的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数与一元二次方程，由题意得出，令，由方程的两根均小于1，得出在中，当时，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．解：∵方程（为常数）有两个不相等实数根，∴，解得：，令，∵方程的两根均小于1，∴在中，当时，，∴，∴，故选：C．10.抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（）A.x1﹣x2＝m B.x2﹣x1＝m C.m(x1﹣x2)＝n D.m(x1+x2)＝n【答案】B【解析】【分析】根据题意可得抛物线的定点坐标即为（x1，0），代入解析式即可求解．解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11.抛物线的图象的顶点坐标为________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．解：，∴抛物线的顶点．故答案为：．12.小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，她从中随机抽取1个，抽中代数题的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了根据概率公式求概率，先求出总个数，再利用概率所求情况数与总情况数之比计算即可得解．解：∵小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，一共有个，∴她从中随机抽取1个，抽中代数题的概率是，故答案为：．13.如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．【答案】﹣5＜x＜3【解析】【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案为﹣5＜x＜3．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．14.若二次函数：的与的部分对应值如表，则当时，的值为______．353【答案】【解析】【分析】根据表格可知，二次函数图象的对称轴为，进而求出横坐标为1的点关于x=-3的对称点，进而得到答案．解：∵x=-4时y=3，x=-2时y=3，∴二次函数图象的对称轴为直线，∵，∴横坐标为1的点与横坐标为-7的点关于x=-3对称，∴当x=1时，y=-27，故答案为：-27．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据表格数据得到二次函数图象的对称轴．15.抛物线的图象经过、，且对称轴到轴的距离为2，则抛物线的函数表达式是________．【答案】或【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由抛物线对称轴到轴的距离为2得出抛物线的对称轴为直线或，进而得出抛物线与轴的另一个交点为或，再利用待定系数法求解即可．解：∵抛物线对称轴到轴的距离为2，∴抛物线的对称轴为直线或，∵抛物线与轴的一个交点为，∴抛物线与轴的另一个交点为或，设抛物线解析式为或，把代入得，解得：，此时抛物线的解析式为，即；把代入得，解得：，此时抛物线的解析式为，即；综上所述，抛物线的解析式为或，故答案为：或．16.如图，水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为，小武在直线上点（靠点一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球________（填“能”或“不能”）落入桶内．（2）当竖直摆放圆柱形桶至少________个时，网球能落入桶内．【答案】①.不能②.【解析】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题关键．（1）建立直角坐标系，根据题意顶点、点，利用待定系数法可求出函数解析式；当桶的左侧最高点位于抛物线以下，右侧最高点位于抛物线以上时，球才能落入桶内，据此可分别计算和时的值，与桶高比较可知；（2）可设桶个数为，根据（1）中关系列出不等式，即可求出的范围，从而求出的最小值．解：（1）以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图），∴顶点、点，设抛物线的解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为：，，且，，，即点的横坐标是1.5，点的横坐标是1，当时，；当时，；若竖直摆放8个圆柱形桶，则桶高为，，网球不能落在桶内，故答案为：不能；（2）设竖直摆放的圆柱形桶有个时，网球能落入桶内，则，解得：，为整数，值为或，当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球能落入桶内．故答案为：．三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）17.在平面直角坐标系中，函数的图像经过点求的值；求该函数图像的顶点坐标和对称轴；自变量在什么范围内时，随着的增大而增大？【答案】；顶点坐标（1，4），对称轴为；【解析】【分析】(1)函数的图像经过点代入求解即可；(2)把代入配方为顶点式，利用顶点坐标定义，和对称轴公式即可求出；(3)由，开口向下，在对称轴左侧随着的增大而增大，自变量时，随着的增大而增大．解:(1)函数的图像经过点，则，；(2)，该函数图像的顶点坐标(1,4),对称轴x=1；(3)∵，开口向下，在对称轴左侧随着的增大而增大，∴自变量时，随着的增大而增大．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点与对称轴，二次函数的性质，掌握定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点与对称轴，二次函数的性质是解题关键．18.甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3张卡片分别标有数字4、5、6．这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，求抽到的卡片上标有数字为偶数的概率；（2）从甲盒、乙盆里各随机描取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字之和不大于7的概率．【答案】（1）抽到的卡片上标有数字为偶数的概率为（2）抽到的两张卡片上标有数字之和不大于7的概率为【解析】【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）用列表法列出所有等可能的情况，即可得出概率．【小问1详解】甲盒里随机抽取一张卡，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是；【小问2详解】根据题意可列表格如下：乙甲456123总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张卡片数字之和不大于7的有六种：，，，，，，∴．【点睛】本题考查了概率的计算和用列表法或树状图法求概率，掌握计算方法是解题关键．19.已知二次函数的图象经过顶点，且过B0,3．（1）求出此二次函数的解析式和与轴的交点坐标；（2）请在坐标系内画出这个函数图象，若经过点且与轴平行的直线与的图象有公共点，求的取值范围．【答案】（1）二次函数的解析式为，与轴的交点坐标为，（2）【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）由题意得出二次函数的对称轴为直线，再利用待定系数法即可得出二次函数解析式，令，求解即可得出与轴的交点坐标；（2）利用描点法画出函数图象，再结合函数图象即可得解．【小问1详解】解：∵二次函数的图象经过顶点，且过B0,3，∴二次函数的对称轴为直线，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，令，则，解得：，，∴与轴的交点坐标为，；【小问2详解】解：画出函数图象如图：，∵若经过点且与轴平行的直线与的图象有公共点，∴由函数图象可得，．20.在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．（1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．（2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论．【小问1详解】∵函数图象经过点和，∴，解得，∴；【小问2详解】∵，∴顶点，∵图象的顶点在函数的图象上，∴，∴，∴，∴．21.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501001502005008001000合格数4288141176445724901合格率0.840.880.940.880.890.910.90（1）估计任抽一件衬衣是合格品概率是多少？（2）估计出售900件衬衣，其中次品大约有多少件？（3）为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货多少件衬衣？【答案】（1）（2）估计出售900件衬衣，其中次品大约有件（3）为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货件衬衣【解析】【分析】本题考查了由频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据频率估计概率，大量反复试验线频率稳定值即概率；（2）根据总件数乘以次品所占的百分比即可得解；（3）根据总件数初一合格品所占的百分比即可得解．【小问1详解】解：估计任抽一件衬衣是合格品的概率是；【小问2详解】解：（件），故估计出售900件衬衣，其中次品大约有件；【小问3详解】解：（件），故为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货件衬衣．22.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米，现在点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式；（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使、点在拋物线上，、点在地面上，设的横坐标为，求________，________．（用含的代数式表示）（3）为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少？【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得，，再利用待定系数法求解即可；（2）由题意得出，即可得出，由二次函数的性质求出，即可得出的长；（3）由矩形的性质可得，表示出，结合二次函数的性质即可得解．【小问1详解】解：由题意得，，∵顶点坐标，∴设抛物线的解析式为，将代入解析式得出，解得：，∴抛物线的解析式为，即；【小问2详解】解：设的横坐标为，则，∵四边形为矩形，∴，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∴点的横坐标为，即，∴；【小问3详解】解：∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴当时，的值最大，为．23.根据背景素材，探索解决问题．测算拉索桥立柱的高素材1一条桥身形状和抛物线相同的拉索桥，桥的跨径的水平距离为22米，点和点处于同一水平线．素材2（1）桥的两根主立柱和拉出铁索固定桥身，两个立柱中间共有10根拉索（如图）；（2）立柱和铁索与桥身的边境点水平等距分布（即相邻的两个连接点的水平距离相等）；问题解决任务1建立模型以点为原点，水平线为轴，以1米为一个单位长度，建立直角坐标系，根据素材1求桥身模型的函数解析