安徽省长丰县高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题教案 新人教A版选修1-1

安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教案新人教A版选修1-1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：高中数学——导数及其应用

2.教学年级和班级：安徽省长丰县高中，高一年级（1班）

3.授课时间：2022年10月12日

4.教学时数：45分钟

二、教学内容及目标

1.教学内容：

（1）引导学生理解变化率的概念及其在实际问题中的应用；

（2）通过实例讲解，引导学生掌握导数的定义及其计算方法；

（3）培养学生运用导数解决实际问题的能力。

2.教学目标：

（1）了解变化率的概念，能解决简单的变化率问题；

（2）掌握导数的定义，能计算常见函数的导数；

（3）能运用导数解决实际问题，提高数学应用能力。

三、教学步骤

1.导入新课：通过生活中的实例，如物体运动的速度变化，引导学生思考变化率的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解变化率的概念，并通过示例让学生理解变化率在实际问题中的应用。接着引入导数的定义，讲解导数的计算方法，并通过练习让学生熟悉导数的计算。

3.课堂互动：学生在教师的引导下，进行小组讨论，探讨如何运用导数解决实际问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.练习巩固：布置相关的练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

5.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，强调重点知识，学生做好笔记。

四、课后作业

1.复习本节课所学知识，整理笔记；

2.完成课后练习题，深化对导数及其应用的理解。

五、教学评价

1.课后收集学生的练习作业，对学生的学习效果进行评价；

2.在下一节课开始时，进行课堂提问，了解学生对知识的掌握情况。核心素养目标本节课旨在通过导数及其应用的教学，培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算核心素养。使学生能够理解导数在描述变化率方面的作用，提高用数学语言和工具描述和解决实际问题的能力。同时，通过小组讨论和练习巩固，培养学生的合作交流和问题解决能力，使学生能够在解决实际问题时，能够独立思考，克服困难，增强自信心。重点难点及解决办法重点：

1.导数的定义及其几何意义

2.导数的计算方法

3.运用导数解决实际问题

难点：

1.导数的概念理解，特别是极限思想的应用

2.高阶导数的计算

3.实际问题中导数的应用，如优化问题

解决办法：

1.对于导数的定义，通过具体的例子和几何直观，让学生感受导数的含义，利用多媒体展示导数的直观图像，帮助学生理解。

2.针对导数的计算，通过公式、例题和练习，让学生多动笔，多做题，掌握各种类型函数的导数计算方法。

3.对于实际问题，引导学生将问题转化为数学问题，利用导数求解，通过小组讨论和案例分析，提高学生应用导数解决实际问题的能力。

4.对于高阶导数，可通过示例和练习，让学生理解高阶导数的概念及计算方法，引导学生利用归纳法学习高阶导数。

5.对于优化问题，可通过实际案例，引导学生理解优化问题的本质，利用导数求解最优解，提高学生解决问题的能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新人教A版选修1-1》教材，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如变化率的示意图、导数的定义演示视频、实际问题案例等，以丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和理解能力。

3.实验器材：如果涉及实验，如函数图像的绘制实验，需要准备计算机、投影仪、白板等设备，确保实验器材的完整性和安全性，以便于学生进行实验操作和观察。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如设置分组讨论区，提供适当的桌椅和黑板，方便学生进行小组讨论和展示；设置实验操作台，配置计算机、投影仪等设备，以便于学生进行实验操作和观察。

5.练习题及答案：准备与本节课内容相关的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以便于学生进行课后巩固和提高。同时，准备练习题的答案，方便学生自我检查和复习。

6.教学课件：制作教学课件，包括教学内容的讲解、实例分析、练习题等，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。课件应简洁明了，突出重点，便于学生理解和记忆。

7.教学反馈表：准备教学反馈表，以便于学生在课后对课堂教学进行评价，帮助教师了解学生的学习情况，及时调整教学方法和策略。

8.教学指导书：教师准备教学指导书，以便于教师掌握教学内容和教学进度，指导学生学习，提高教学效果。教学流程一、课前准备（5分钟）

1.学生预习教材，了解导数的基本概念和计算方法。

2.教师检查学生的预习情况，收集学生提出的问题和建议。

3.教师准备多媒体教学资源，如图片、图表、视频等。

二、课堂导入（5分钟）

1.教师通过生活中的实例，如物体运动的速度变化，引导学生思考变化率的概念，激发学生的学习兴趣。

2.学生分享预习过程中遇到的问题和困惑。

3.教师总结学生提出的问题，明确本节课的学习目标。

三、新课讲解（20分钟）

1.教师讲解变化率的概念，并通过示例让学生理解变化率在实际问题中的应用。

2.教师引入导数的定义，讲解导数的计算方法，并通过练习让学生熟悉导数的计算。

3.教师引导学生进行小组讨论，探讨如何运用导数解决实际问题，解答学生的疑问。

四、课堂互动（5分钟）

1.学生在教师的引导下，进行小组讨论，探讨如何运用导数解决实际问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

2.学生代表分享小组讨论的成果，其他学生进行评价和补充。

3.教师总结课堂讨论的结果，强调重点知识。

五、练习巩固（5分钟）

1.教师布置相关的练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

2.学生独立完成练习题，教师巡回检查，解答学生的疑问。

3.教师收集学生的练习作业，对学生的学习效果进行评价。

六、课堂小结（5分钟）

1.教师引导学生总结本节课所学知识，强调重点知识，学生做好笔记。

2.学生分享本节课的收获和感受。

3.教师对学生的表现进行评价，给予鼓励和指导。

七、课后作业（课后自主完成）

1.复习本节课所学知识，整理笔记。

2.完成课后练习题，深化对导数及其应用的理解。

八、课后反馈（课后进行）

1.教师收集学生的练习作业，对学生的学习效果进行评价。

2.在下一节课开始时，进行课堂提问，了解学生对知识的掌握情况。

总用时：45分钟知识点梳理1.变化率的概念：变化率是指物体在单位时间内速度的变化量，可以用来描述物体运动的快慢变化。

2.导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率，反映了函数在某一点的局部变化趋势。

3.导数的计算方法：

-基本导数公式：对于常见函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，有对应的导数公式。

-导数的运算法则：包括常数的导数为0、商的导数、链式法则、反函数的导数等。

-高阶导数：导数的导数称为高阶导数，可以通过求导的基本公式和运算法则进行计算。

4.导数在实际问题中的应用：

-优化问题：利用导数求解函数的最值问题，如最短路径、最大利润等。

-物理问题：利用导数描述物体运动的瞬时速度和加速度，解决物理中的运动问题。

-经济学问题：利用导数分析函数的增减性，解决经济中的最优化问题。

5.导数的几何意义：导数表示函数图像上某一点的切线斜率，可以用来分析函数图像的凹凸性和拐点等性质。

6.导数的极限：导数的极限是指当自变量趋近于某一点时，函数的导数趋近于某个值。极限思想是导数计算的基础。

7.导数的符号判断：根据导数的正负符号，可以判断函数的单调性，即函数是递增还是递减。

8.导数与函数的极值：导数为0的点可能是函数的极值点，通过二阶导数可以判断极值的性质，即最大值、最小值或鞍点。

9.导数在经济中的应用：利用导数分析经济函数的增减性，解决经济中的最优化问题，如成本函数的最小化、收益函数的最大化等。

10.导数在物理学中的应用：利用导数描述物体运动的瞬时速度和加速度，解决物理中的运动问题，如位移、速度、加速度等。课后作业1.题目：已知函数f(x)=x^2-4x+5，求f'(x)。

答案：f'(x)=2x-4。

2.题目：已知函数f(x)=(x^3-2x^2+x)/(x^2+x+1)，求f'(x)。

答案：f'(x)=(3x^2-4x+1)/(x^2+x+1)^2。

3.题目：已知函数f(x)=ln(x^2-1)，求f'(x)。

答案：f'(x)=2x/(x^2-1)。

4.题目：已知函数f(x)=e^x*cos(x)，求f'(x)。

答案：f'(x)=e^x*(cos(x)-sin(x))。

5.题目：已知函数f(x)=(1/(x^2+1))，求f'(x)。

答案：f'(x)=-2x/(x^2+1)^2。

这些题目覆盖了本节课的导数计算方法，包括基本导数公式、导数的运算法则、高阶导数等。通过这些题目的练习，学生可以巩固对导数的理解和计算能力，并能够将导数应用到实际问题中。教学反思与改进今天的课堂整体上比较顺利，学生们对导数的概念和计算方法有一定的理解。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。

首先，我发现学生在理解导数的几何意义时，有些学生把握不大。他们能够理解导数表示切线的斜率，但在将实际问题转化为数学问题时，有些学生不知道如何运用导数。因此，我计划在今后的教学中，更多的结合实际问题，让学生通过具体案例来理解导数的几何意义。

其次，学生在计算高阶导数时，容易出错。他们知道高阶导数是导数的导数，但在计算过程中，容易忘记乘以(n-1)。我计划在今后的教学中，加强高阶导数的计算练习，让学生熟练掌握