2024-2025学年新教材高中数学章末综合测评7概率含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE10章末综合测评(七)概率(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是()A．甲、乙两人竞赛，甲胜的概率为eq\f(3,5)，则竞赛5场，甲胜3场B．某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人肯定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%D[概率只是说明事务发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.]2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个电话打给甲的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)B[给三人打电话的依次有6种可能，其中第一个电话打给甲的可能有2种，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选B.]3．从3名女老师和2名男老师中任选2人参与信息技术培训，则选中的2人都是女老师的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.6A[设3名女老师为a1，a2，a3,2名男老师为b1，b2，从中任选2人的样本点有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，选中的2人都是女老师的样本点为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个，因此其概率为P＝0.3，故选A.]4．从一批羽毛球中任取一个，假如其质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是()A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68B[记“取到质量小于4.8g的羽毛球”为事务E，“取到质量不小于4.85g的羽毛球”为事务F，“取到质量在[4.8,4.85)范围内的羽毛球”为事务G.易知事务E，F，G互斥，且E∪F∪G为必定事务，所以P(E∪F∪G)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝0.3＋0.32＋P(G)＝1，即P(G)＝1－0.3－0.32＝0.38.]5．奥林匹克会旗中心有5个相互套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作，每人分得1个，则事务“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A．对立事务 B．不行能事务C．互斥但不对立事务 D．不是互斥事务C[结合互斥事务和对立事务的概念可知C正确．]6．排球竞赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球竞赛中，甲队在每局竞赛中获胜的概率都相等，均为eq\f(2,3)，前2局中乙队以2∶0领先，则最终乙队获胜的概率是()A．eq\f(4,9) B．eq\f(19,27)C．eq\f(11,27) D．eq\f(40,81)B[最终乙队获胜事务含3种状况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最终乙队获胜的概率P＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27)，故选B.]7．现有2名女老师和1名男老师参与说题竞赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)C[记两道题分别为A，B，全部抽取的状况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女老师抽取的题目，第3个表示男老师抽取的题目)，共有8种，其中满意恰有一男一女抽到同一道题目的状况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事务的概率为eq\f(1,2).故选C.]8．设两个独立事务A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事务A发生的概率为()A．2p B．eq\f(p,2)C．1－eq\r(p) D．1－eq\r(2p)C[依据题意设事务A发生的概率为a，事务B发生的概率为b，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a1－b＝p，①,a1－b＝1－ab.②))由②知a＝b，代入①得a＝1－eq\r(p).故选C.]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的是()A．依据古典概型概率计算公式P(A)＝eq\f(nA,n)求出的值是事务A发生的概率的精确值B．依据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事务A发生的次数N1，得到的值eq\f(N1,N)是P(A)的近似值C．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率会越来越稳定在某个常数上，即为概率D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同ABCD[很明显A项命题是正确的；随机模拟中得到的值是概率的近似值，则B项命题正确；频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，C命题正确；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都是eq\f(1,5)，D命题正确；故选ABCD.]10．下列各对事务中，为相互独立事务的是()A．掷一枚骰子一次，事务M“出现偶数点”；事务N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事务M“第一次摸到白球”，事务N“其次次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事务M“第一次摸到白球”，事务N“其次次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲竞赛，事务M“从甲组中选出1名男生”，事务N“从乙组中选出1名女生”ABD[在A中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事务M＝{2,4,6}，事务N＝{3,6}，事务MN＝{6}，∴P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，即P(MN)＝P(M)P(N)．故事务M与N相互独立，A正确．在B中，依据事务的特点易知，事务M是否发生对事务N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事务，B正确．在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事务，C错误．在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事务的发生没有影响，所以它们是相互独立事务，D正确．故选ABD.]11．某高校从参与今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成果作为样本，得到频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230,235)80.16其次组[235,240)①0.24第三组[240,245)15②第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10合计501.00以下结论正确的有()A．表中①位置的数据是12B．表中②位置的数据是0.3C．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行其次轮考核，则第三组抽取2人D．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录用2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5AB[①位置的数据为50－(8＋15＋10＋5)＝12，A正确；②位置的数据为eq\f(15,50)＝0.3，B正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参与考核的人数分别为3,2,1，C错误；设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的全部状况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．记“2人中至少有1名是第四组的”为事务A，则事务A所含的样本点的个数为9.所以P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故2人中至少有1名是第四组的概率为eq\f(3,5)，D错误．故选AB.]12．2024年“国庆节”期间，高速马路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速马路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是()A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B．在该服务区随意抽取一辆车，车速超过80km/h的概率为0.35C．若从车速在[60,70)的车辆中随意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为eq\f(14,15)D．若从车速在[60,70)的车辆中随意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为eq\f(1,3)ABC[在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值eq\f(75＋80,2)＝77.5，A正确；在B中，车速超过80km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为eq\f(14,15)，即车速都在[60,65)内的概率为eq\f(1,15)，故C正确，D错误．故选ABC.]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，假如随机地摸出一个球，记事务A＝{摸出黑球}，事务B＝{摸出绿球}，事务C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.eq\f(8,17)eq\f(9,17)[由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝eq\f(8,17)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(4,17)＋eq\f(5,17)＝eq\f(9,17).]14．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24组随机数：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．eq\f(1,8)[由题意可知，满意条件的随机数组中，前两次抽取的数中必需包含0或1，且0与1不能同时出现，第三次必需出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).]15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．eq\f(1,15)[不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，试验的样本空间有45个样本点，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以“随机选取两个不同的数，其和等于30”的样本点有3个，故概率为eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).]16．如图是一旅游景区供游客行走的路途图，假设从进口A起先到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就起先选择道路自行游玩，并按箭头所指路途行走，最终到出口B集合，设点C是其中的一个岔路口点．则甲经过点C的概率为________．eq\f(1,3)[设“甲从进口A起先到出口B经过点C”为事务M，甲选路途2的概率为eq\f(1,3)，在路途2上从岔路口P到达点C的概率为eq\f(1,2)，这两个事务相互独立，所以选择路途2走到C的概率P1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).同理，选择路途3走到点C的概率P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).因为选择路途2和路途3两个事务彼此互斥，所以P(M)＝P1＋P2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某校在老师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：派出人数2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4个人或5个人培训的概率；(2)求至少有3个人培训的概率．[解](1)设有2人及以下培训为事务A，有3人培训为事务B，有4人培训为事务C，有5人培训为事务D，有6人及以上培训为事务E，所以有4个人或5个人培训的事务为事务C或事务D，A，B，C，D，E为互斥事务，依据互斥事务的概率加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3个人培训的对立事务为有2人及以下培训，所以由对立事务的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：直径(单位：cm)个数直径(单位：cm)个数(6.88,6.89]1(6.93,6.94]26(6.89,6.90]2(6.94,6.95]15(6.90,6.91]10(6.95,9.96]8(6.91,6.92]17(6.96,6.97]2(6.92,6.93]17(6.97,6.98]2从这100个螺母中随意取一个，检验其直径的大小，求下列事务的频率：(1)事务A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；(2)事务B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；(3)事务C：螺母的直径大于6.96.[解](1)螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41，所以事务A的频率为eq\f(41,100)＝0.41.(2)螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为nB＝17＋17＋26＋15＝75.所以事务B的频率为eq\f(75,100)＝0.75.(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，所以事务C的频率为eq\f(4,100)＝0.04.19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种嬉戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事务，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事务，C表示乙至少赢两次的事务，试问B与C是否为互斥事务？为什么？(3)这种嬉戏规则公允吗？试说明理由．[解](1)甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5×5＝25，事务A包括甲、乙出的手指的状况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5种状况，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事务．因为事务B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事务即符合题意．(3)这种嬉戏规则不公允．由(1)知和为偶数的样本点的个数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(12,25).所以这种嬉戏规则不公允．20．(本小题满分12分)A，B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．标号张数箱012A213B212(1)从A，B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；(2)从A，B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．[解](1)记事务A＝{从A，B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．样本点的总个数为6×5＝30，事务A包含样本点的个数为5.由古典概型的概率公式得P(A)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).则x＝2的概率为eq\f(1,6).(2)记事务B＝{从A，B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．事务B包含样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).则x＝0且y＝2的概率为eq\f(1,3).21．(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表供应的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出全部可能的结果；②设事务B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事务B发生的概率．[解](1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10)＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事务B发生的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2