2024届河南省高考考前模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省2024届高考考前模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知复数的模长为1，则的模长是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗设，则，即，又z2所以.故选：A.2.把函数fx=cos5x的图象向左平移A.y=cos5x+1C.y=cos5x-1〖答案〗A〖解析〗由题意新函数〖解析〗式为y=cos故选：A．3.下面四个数中，最大的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，即，所以，，故B，C错误；又，所以.故选：D.4.从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.所以该三位数能被3整除的概率为.故选：D.5.若等差数列的前n项和为S，且满足，对任意正整数，都有则的值为（）A.21 B.22 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗依题意，，则，又，则，，等差数列的公差，因此数列单调递减，，且，即任意正整数，恒成立，所以对任意正整数，都有成立的.故选：C.6.已知的内角的对边分别为若面积则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又由a2+b所以.所以所以，又因为在中，，所以.故选：A.7.椭圆的离心率为e，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A.必在圆内 B.必在圆上C.必在圆外 D.与圆的关系与e有关〖答案〗A〖解析〗根据题目条件有，e=ca由和是方程的两个根，故由韦达定理得，x1x2=-c从而x=a这表明点Px1,x2一定在圆内，A8.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知与交于点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，.因为，故，因为，所以（负值舍去），所以，故.又，则，因为，所以，解得，所以，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（）A.M=B.M=C.M=D.M=〖答案〗ACD〖解析〗根据Venn图可知，对于A，显然，故A正确；对于B，M=x∣-1<x<1,N={x∣x>-1}，则M⊆N，故对于C，M=x∣x>0,N=y∣y>5，则，故C正确；对于D，M=x,y∣y=x则，故D正确.故选：ACD.10.如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（）A.则点运动的轨迹方程为（其中）B.则点运动的轨迹方程为（其中）C.若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米D.若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米〖答案〗BC〖解析〗对于A：点P的轨迹显然是以O为原点，OP为半径的圆，故点P运动轨迹方程为（其中），故A错误；对于B：设，因为PQ平行于x轴，所以，所以，又因为在加圆上，所以点Q的运动轨迹是以为圆心，1.6为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为（其中），故B正确；对于C：若OP绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ达到最高点，此时横杆PQ距水平地面的高度为，故C正确；对于D：因为绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故绕点转动的角度与点绕点转动的角度一样为，所以点Q运动轨迹的长度即为圆（其中）的弧长，等于，故D错误.故选：BC.11.同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.则下列选项中正确的是（）A.若，则B.C.若，则D.若，则〖答案〗AD〖解析〗若，则或，故，故A正确；因为，所以被3除得的余数为1，56被除得的余数为2，故B错误；由得，由得，，被m除得余数为2，而被m除得的余数为3，故C错误；若，则，，，所以，故D正确，故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出函数的一条斜率为正的切线方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，则，取切点为，则斜率为，又，则切线方程为：，即.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.13.已知，，，，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，，∴，，∴．14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________.〖答案〗〖解析〗在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以；根据定义，对于整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式；（2）在中，，，求面积的最大值.解：（1）因为，即，可得，且，则，所以（2）因为，由题意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，面积，因为，当且仅当时，等号成立，则，所以面积的最大值为.16.已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）求证：．（1）解：因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知曲线在点处的切线方程为，所以，解得(负值舍去)，所以.（2）证明：由第1问可知，.要证，即要证，只需证.构造函数，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以，所以.17.如图所示，四边形为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．（1）求证：；（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．（1）证明：如图所示的等腰梯形中，过点，分别作，，垂足为，，则为矩形，，在中，，，所以，则，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可知平面，又，如图建立空间直角坐标系，则A3,0,0，，，，，设，，则，，设平面的一个法向量为，则，取，又平面的一个法向量为，所以，因，，所以，设平面与平面所成的角为，则，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在线段上存在点，使得.18.为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.（1）若.（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；（2）若监测系统在监测识别中，当时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求的范围（精确到0.001）.（参考数据：）解：（1）记事件为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件为“监测区域实际上有珍稀动物活动”，（i）；（ii），则；（2），，由题意可得，即，令，，得，，故，，即，即，则，因为，所以，所以，故，即，所以，故.19.阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：（1）已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；（2）已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）因为椭圆过点P(4,0)，则，得，又，所以，所以，所以椭圆C的方程为.根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；（2）由题意，设点Q的坐标为(,)，因为点Q在直线上运动，所以，联立，得，，该方程无实数根，所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，又QM，QN都与椭圆C相切，所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，将代入，整理得，又因为定点T的坐标与的取值无关，所以，解得，所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.当时，T是线段MN的中点，设，直线MN的斜率为，则，两式相减，整理得，即，所以当时，直线MN的方程为，即.河南省2024届高考考前模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知复数的模长为1，则的模长是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗设，则，即，又z2所以.故选：A.2.把函数fx=cos5x的图象向左平移A.y=cos5x+1C.y=cos5x-1〖答案〗A〖解析〗由题意新函数〖解析〗式为y=cos故选：A．3.下面四个数中，最大的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，即，所以，，故B，C错误；又，所以.故选：D.4.从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.所以该三位数能被3整除的概率为.故选：D.5.若等差数列的前n项和为S，且满足，对任意正整数，都有则的值为（）A.21 B.22 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗依题意，，则，又，则，，等差数列的公差，因此数列单调递减，，且，即任意正整数，恒成立，所以对任意正整数，都有成立的.故选：C.6.已知的内角的对边分别为若面积则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又由a2+b所以.所以所以，又因为在中，，所以.故选：A.7.椭圆的离心率为e，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A.必在圆内 B.必在圆上C.必在圆外 D.与圆的关系与e有关〖答案〗A〖解析〗根据题目条件有，e=ca由和是方程的两个根，故由韦达定理得，x1x2=-c从而x=a这表明点Px1,x2一定在圆内，A8.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知与交于点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，.因为，故，因为，所以（负值舍去），所以，故.又，则，因为，所以，解得，所以，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（）A.M=B.M=C.M=D.M=〖答案〗ACD〖解析〗根据Venn图可知，对于A，显然，故A正确；对于B，M=x∣-1<x<1,N={x∣x>-1}，则M⊆N，故对于C，M=x∣x>0,N=y∣y>5，则，故C正确；对于D，M=x,y∣y=x则，故D正确.故选：ACD.10.如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（）A.则点运动的轨迹方程为（其中）B.则点运动的轨迹方程为（其中）C.若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米D.若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米〖答案〗BC〖解析〗对于A：点P的轨迹显然是以O为原点，OP为半径的圆，故点P运动轨迹方程为（其中），故A错误；对于B：设，因为PQ平行于x轴，所以，所以，又因为在加圆上，所以点Q的运动轨迹是以为圆心，1.6为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为（其中），故B正确；对于C：若OP绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ达到最高点，此时横杆PQ距水平地面的高度为，故C正确；对于D：因为绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故绕点转动的角度与点绕点转动的角度一样为，所以点Q运动轨迹的长度即为圆（其中）的弧长，等于，故D错误.故选：BC.11.同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.则下列选项中正确的是（）A.若，则B.C.若，则D.若，则〖答案〗AD〖解析〗若，则或，故，故A正确；因为，所以被3除得的余数为1，56被除得的余数为2，故B错误；由得，由得，，被m除得余数为2，而被m除得的余数为3，故C错误；若，则，，，所以，故D正确，故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出函数的一条斜率为正的切线方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，则，取切点为，则斜率为，又，则切线方程为：，即.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.13.已知，，，，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，，∴，，∴．14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________.〖答案〗〖解析〗在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以；根据定义，对于整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式；（2）在中，，，求面积的最大值.解：（1）因为，即，可得，且，则，所以（2）因为，由题意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，面积，因为，当且仅当时，等号成立，则，所以面积的最大值为.16.已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）求证：．（1）解：因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知曲线在点处的切线方程为，所以，解得(负值舍去)，所以.（2）证明：由第1问可知，.要证，即要证，只需证.构造函数，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以，所以.17.如图所示，四边形为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．（1）求证：；（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．（1）证明：如图所示的等腰梯形中，过点，分别作，，垂足为，，则为矩形，，在中，，，所以，则，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可知平面，又，如图建立空间直角坐标系，则A3,0,0，，，，，设，，则，，设平面的一个法向量为，则，取，又平面的一个法向量为，所以，因，，所以，设平面与平面所成的角为，则，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在线段上存在点，使得.18.为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.（1）若.（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；（2）若监测系统在监测识别中，当时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动