2023-2024学年贵州省黔东南州高二下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省黔东南州2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则（）A.3 B.2 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为数列满足，，所以，，，，故是周期为2的数列，所以.故选：D2.学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（）A.4种 B.6种 C.8种 D.16种〖答案〗C〖解析〗由题意可知甲、乙不在同一天参加公益活动，则有种方法，然后丙、丁的安排方法有种，所以由分步乘法原理可得共有种不同方法.故选：C.3.已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选：A.4.已知变量和的统计数据如下表：123450.91.31.82.43.1若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（）A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8〖答案〗A〖解析〗，，所以，即，令，解得.故选：A.5.某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，则，所以.故选：C.6.向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.故选：A.7.被9除的余数为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗.因为被9整除，所以被9除的余数为.故选：B8.在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.设底面边长为x，则，则，则.所以正四棱锥的体积为：，则.当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，则.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，且，又，所以A正确，B错误；，故，故C正确；，，故D错误.故选：AC10.在数列中，已知，，则（）A. B.是等差数列C. D.是等比数列〖答案〗BCD〖解析〗，则，因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列，则，则，所以，，所以，所以是首项为3，公比为1的等比数列，所以A错误，B，C，D均正确.故选：BCD11.已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（）A. B.的离心率为C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以为正三角形，且点在以为直径的圆上，所以，即，故A正确．不妨设，则的离心率为，故B错误．，故C正确．设的内切圆半径为，则，，，所以，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点在圆上，则的半径_______.〖答案〗〖解析〗由题可知的圆心坐标为，因为点在圆上，所以圆的半径.故〖答案〗为：13.已知随机变是，则__________.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，则.故〖答案〗为：2.14.已知函数有3个零点，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗，令，得，令，得或，所以在上递增，在上递减，所以的极大值为，的极小值为.因为有3个零点，且当时，，当时，，所以a>0-32+a<0，解得，即的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求与平面所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.因为，分别为的中点，所以，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则有，，即，因为，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以与平面所成角的正弦值为.16.不透明的袋子中装有编号为1，2，3，4的4张卡片，这4张卡片除编号外，其余完全相同.现从袋子中不放回地抽取1张卡片，若这张卡片的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡片的编号为奇数，则再从袋子中不放回地抽取1张卡片，直至抽出编号为偶数的卡片，结束抽取.（1）求恰好抽取2张卡片后结束抽取的概率；（2）若抽出编号为奇数的卡片得1分，抽出编号为偶数的卡片得2分，记抽取结束后的总得分为，求的分布列与期望.解：（1）由题可知，要恰好抽取2张卡片后结束抽取，则需第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，故所求的概率为.（2）由题意可得的可能取值为2，3，4，若第一张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则.若第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则由（1）可知.若前两张被抽出的卡片的编号均为奇数，则第三张被抽出的卡片的编号必是偶数，抽取结束，则.的分布列为234故.17.已知数列满足，其中表示从个元素中任选个元素的组合数.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.解：（1）因为，所以，则，所以，则.（2）因为，所以，则，所以，则，所以.18.已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程．（2）设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点．（ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0．（ⅱ）求面积的最大值．解：（1）因为点在抛物线上，所以，因为，所以，联立，解得，所以抛物线方程为；（2）（ⅰ）设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，不妨设点在第一象限，，由得，所以，所以，所以，故直线与的斜率之和为；（ⅱ）由得，同理可得，直线与轴交于点，则的面积，因为，所以，所以，则，即面积的最大值为12，当且仅当时等号成立.19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当恒成立时，判断的零点个数．解：（1）由知当时，对有，所以在上递增；当时，对有，对有，所以在上递增，在上递减.综上，当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减.（2）当恒成立时，假设，则.从而，这与矛盾，所以一定有.当时，据的单调性有.故对，有，代入表达式知，即.所以对都有，这就得到.故恒成立.综上，的取值范围是.下面来讨论的零点个数：当时，根据的单调性，有，所以没有零点；当时，首先有.而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即.综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.贵州省黔东南州2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则（）A.3 B.2 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为数列满足，，所以，，，，故是周期为2的数列，所以.故选：D2.学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（）A.4种 B.6种 C.8种 D.16种〖答案〗C〖解析〗由题意可知甲、乙不在同一天参加公益活动，则有种方法，然后丙、丁的安排方法有种，所以由分步乘法原理可得共有种不同方法.故选：C.3.已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选：A.4.已知变量和的统计数据如下表：123450.91.31.82.43.1若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（）A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8〖答案〗A〖解析〗，，所以，即，令，解得.故选：A.5.某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，则，所以.故选：C.6.向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.故选：A.7.被9除的余数为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗.因为被9整除，所以被9除的余数为.故选：B8.在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.设底面边长为x，则，则，则.所以正四棱锥的体积为：，则.当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，则.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，且，又，所以A正确，B错误；，故，故C正确；，，故D错误.故选：AC10.在数列中，已知，，则（）A. B.是等差数列C. D.是等比数列〖答案〗BCD〖解析〗，则，因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列，则，则，所以，，所以，所以是首项为3，公比为1的等比数列，所以A错误，B，C，D均正确.故选：BCD11.已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（）A. B.的离心率为C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以为正三角形，且点在以为直径的圆上，所以，即，故A正确．不妨设，则的离心率为，故B错误．，故C正确．设的内切圆半径为，则，，，所以，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点在圆上，则的半径_______.〖答案〗〖解析〗由题可知的圆心坐标为，因为点在圆上，所以圆的半径.故〖答案〗为：13.已知随机变是，则__________.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，则.故〖答案〗为：2.14.已知函数有3个零点，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗，令，得，令，得或，所以在上递增，在上递减，所以的极大值为，的极小值为.因为有3个零点，且当时，，当时，，所以a>0-32+a<0，解得，即的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求与平面所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.因为，分别为的中点，所以，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则有，，即，因为，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以与平面所成角的正弦值为.16.不透明的袋子中装有编号为1，2，3，4的4张卡片，这4张卡片除编号外，其余完全相同.现从袋子中不放回地抽取1张卡片，若这张卡片的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡片的编号为奇数，则再从袋子中不放回地抽取1张卡片，直至抽出编号为偶数的卡片，结束抽取.（1）求恰好抽取2张卡片后结束抽取的概率；（2）若抽出编号为奇数的卡片得1分，抽出编号为偶数的卡片得2分，记抽取结束后的总得分为，求的分布列与期望.解：（1）由题可知，要恰好抽取2张卡片后结束抽取，则需第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，故所求的概率为.（2）由题意可得的可能取值为2，3，4，若第一张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则.若第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则由（1）可知.若