2025届江西省赣州市厚德外国语学校高二上数学期末统考模拟试题含解析

2025届江西省赣州市厚德外国语学校高二上数学期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：，；命题：，使，若“”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则A. B.2C.3 D.3．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）A.2 B.3C.4 D.55．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A.2 B.C. D.6．曲线：在点处的切线方程为A. B.C. D.7．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.8．若直线与直线垂直，则a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.19．设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（）A.5 B.6C.7 D.810．下面三种说法中，正确说法的个数为（）①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若，，，则A.1 B.2C.3 D.011．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.C. D.12．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下．当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是______14．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.15．棱长为的正方体的顶点到截面的距离等于__________.16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（1）求点到平面的的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值；18．（12分）设p：；q：关于x的方程无实根.（1）若q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若是假命题，且是真命题，求实数k的取值范围.19．（12分）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度20．（12分）已知，命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立；（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若为真命题，求a的取值范围21．（12分）已知（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知钝角内角A，B，C的对边长分别a，b，c，若，，．求a的值22．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点，；（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意，判断命题和的真假性，结合判别式与二次函数恒成立问题，即可求解.【详解】根据题意，由为假命题可得“”为真命题，即p、q都为真命题，故，解得故选：D2、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】在中，由正弦定理得，所以，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题3、C【解析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.4、C【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.故选：.5、D【解析】根据抛物线的定义得出当点P在抛物线的顶点时，|PF|取最小值.【详解】根据题意，设抛物线y＝2x2上点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y，其准线方程为y＝－，∴当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.故选：D6、A【解析】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，所以切线方程为，即，选A7、B【解析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，当时，，则有在单调递增，又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故选：B8、C【解析】代入两直线垂直的公式，即可求解.【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或.故选：C9、C【解析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.【详解】由双曲线：可得，，所以，所以，，由双曲线的定义可得，所以，所以，由双曲线的性质可知：，令，则，所以上单调递增，所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，即的最小值为，故选：C.10、A【解析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确；若，，，可知必在交线上，则，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的.故选：A11、D【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.12、B【解析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解【详解】因为，所以，则，故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率【详解】如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路图，以此类推，小球所有的路线情况如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16种情况，其中落入2号位置的有4种，所以每个球落入2号位置的概率为，所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为，故答案为：14、【解析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.由抛物线的定义可知，，同理：,于是，，则抛物线的准线方程为：.故答案为：.15、【解析】根据勾股定理可以计算出，这样得到是直角三角形，利用等体积法求出点到的距离.【详解】解：如图所示，在三棱锥中，是三棱锥的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，设点到的距离为，.故A到平面的距离为故答案为：【点睛】本题考查了点到线的距离，利用等体积法求出点到面的距离.是解题的关键.16、【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.【详解】令可得，若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，即与的图象有三个不同的交点，作出的图象如图：当时，是以为顶点开口向下的抛物线，此时与的图象没有交点，不符合题意；当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；当时，时，与的图象有一个交点，所以时与的图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，可得与的图象有两个不同的交点，令，则，由即可得，由即可得，所以在单调递增，在单调递减，作出其图象如图：当时，，当时，可得与的图象有两个不同的交点，即时，函数有三个零点，所以实数的取值范围为，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用公式计算即可；（2）易得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，再利用计算即可小问1详解】解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的的距离的距离为；【小问2详解】（2）因为平面，取平面的法向量为设平面与平面的夹角为，所以平面与平面夹角的余弦值18、（1）；（2）.【解析】（1）根据命题的真假，结合一元二次方程无实根，列出的不等式，即可求得结果；（2）求得命题为真对应的的范围，结合命题一个为真命题一个为假命题，即可列出的不等式组，求解即可.【小问1详解】若q为真命题，则，解得，即实数k的取值范围为.【小问2详解】若p为真，，解得，由是假命题，且是真命题，得：p、q两命题一真一假，当p真q假时，或，得，当p假q真时，，此时无解.综上的取值范围为.19、（1）不在（2）17.5米【解析】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB方程，判断直线AB与圆O的位置关系即可；（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直线方程即可.【小问1详解】以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系则，观景直道所在直线的方程为依题意得：游客所在点为则直线AB的方程为，化简得，所以圆心O到直线AB的距离，故直线AB与圆O相交，所以游客不在该摄像头监控范围内.【小问2详解】由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过A且恰与圆O相切，①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；②若直线l不垂直于x轴，设，整理得所以圆心O到直线l的距离为，解得或，所以直线l的方程为或，即或，设这两条直线与交于D，E由，解得，由，解得，所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.20、（1）（2）【解析】（1）利用判别式可求的取值范围，注意就是否为零分类讨论；（2）根据题设可得真或真，后者可用参变分离求出的取值范围，结合（1）可求的取值范围.【小问1详解】当p为真命题时，当时，不等式显然成立；当时，解得，故a取值范围为.【小问2详解】当q为真命题时，问题等价于存在，使得不等式成立，即，∵，当且仅当x=1时等号成立，∴因为为真命题，所以真或真，故a的取值范围是21、（1），；（2）2.【解析】(1)利用三角恒等变换公式化简函数，再利用三角函数性质计算作答.(2)由(1)的结论及已知求出角C，再利用余弦定理计算判断作答.【小问1详解】依题意，，则的最小正周期，由，解得，则在上单调递增，所以的最小正周期为，递增区间为.【小问2详解】由(1)知，，即，在中，，，则