数学同步测控：圆中比例线段

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基我达标图1。2—801。如图1.2—80,水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD(单位:cm）为（)A。6B。7C.8解析:延长DO交圆于E点，设CD=x，则CE=26—x,又AC=BC=12cm，由相交弦定理得：AC·BC=CD·CE即12×12=x(26-x)，解得x=8（cm）或18（cm)，由图应舍去x=18cm，故x=8cm.答案:C图1。2—812.如图1。2-81，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OD⊥AB于C,交⊙O于点D，且CD=2,那么AB的长为（)A.4B.6C.8解析：延长DO交圆于E点，设AB=2x，则AC=BC=x，已知CD=2，∴CE=8,由相交弦定理：AC·BC=CD·CE，即x2=2×8,∴x=4,AB=8。答案:C3.如图1。2—82，AB是△ABC中，∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径为（）图1.282A.1cmB。cmC。cmD。2cm解析:连结AD，则AD⊥BC,因为AB=AC，∴D为BC的中点，AD为△ABC的中线，故AD=BC=×2=（cm）。答案：B4。如图1。2—83，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB=2cm,BC=8cm,则PA的长等于…()图1.2—83A.4cmB.16cmC。20cmD。2cm解析：PC=2+8=10(cm),由切割线定理:PA2=PB·PC=2×10，∴PA=2(cm).答案：D5.如图1。2-84,PT切⊙O于T,PB为过圆心的割线，如果PA=3,PT=5，那么⊙O的直径等于(）图1。2—84A.B.C.D.解析:由切割线定理，PT2=PA·PB，∴PB=，⊙O的直径AB=PB-PA=.答案：A6.如图1.2-85，PAB和PCD都是⊙O的割线，且圆心在AB上，已知PA=4cm,PC=5cm，CD=3cm,那么，⊙O的直径是（）图1。2-85A。6cmB。cmC。cmD。10cm解析：由割线定理：PA·PB=PC·PD,得：4×PB=5×8PB=10（cm），直径AB=PB—PA=10-4=6（cm).答案:A7。如图1。2-86，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，它与⊙O的交点是A、B，与直径CT的交点是D，已知CD=2，AD=3,BD=4，那么PB等于…（）图1.2—86A.20B.10C.5解析:由相交弦定理：AD·BD=CD·DT，即3×4=2·DT，∴DT=6,由切割线定理：PT2=PB·（PB+7)①在Rt△PTD中，PT2=(PB+4)2—62②②-①化简可得PB=20.答案:A8。如图1.2-87,若直线PAB、PCD分别与⊙O交于A、B、C、D，则下列各式中，相等关系成立的是（）图1.2—87A.PA：PC=PB：PDB。PA：PB=AC:BDC。PA：PC=PD:PBD。PB:PD=AD:BC解析：由相交弦定理PA·PB=PC·PD，即有PA:PC=PD：PB。答案：C9。如图1.2—88，点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为（）图1.2-88A.1B。C。-1D.解析:过点B作BB′⊥MN.交O于点B′，连结AB′交MN于点P,此时点P使AP+BP取得最小值.易知B与B′点关于MN对称，依题意∠AON=60°，则∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=90°，AB′=。故PA+PB的最小值为。答案：D我综合我发展10.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为(）A。3cmB。6cmC。cmD.9cm解析：过圆内一点最长的弦是该圆的直径，最短的弦是过这点垂直于直径的弦，则OM==3（cm）.答案:A11.如图1.2—89，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，CD⊥AB于D，若BC=3，AC=4,则AD：CD:BD等于…（）图1。2-89A.4：6：3B。6：4：3C。4：4：3解析：由AB是△ABC的直径，可得△ABC是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC2=AD·AB，于是AD=.同理,BD=，CD=,据此即得三条线段的比值.答案:D12。如图1。2—90，在半圆O中，AB为直径，CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，则图中相似三角形一共有（）图1。2-90A.3对B.4对C.5对D。6对解析:由题设，△ABC是直角三角形,CD⊥AB,可知△ACD∽△ABC∽△CBD,这就是3对。又AF平分∠CAB,所以有△CAF∽△DAE,△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似。答案:C13。如图1。2-91,在⊙O中,AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，且AD=DC，则sin∠ACO等于（）图1.2-91A.B.C.D.解析:连结BD、DO,过O作OE⊥AC于E，由AB为直径，有BD⊥AC，由△ABC是直角三角形，AD=CD，得△ABC是等腰直角三角形,然后设AE=x，用x表示出CE,进一步表示出OC，利用三角函数定义即可得到所求的值.答案：A14。如图1。2—92，P是直径AB上一点，且PA=2cm，PB=6cm，CD为过P点的弦,那么下列PC与PD的长度中,符合题意的是（）图1。2—92A.1cm,12cmB。3cm，5cmC。7cm,cmD。3cm,4cm解析:由PA=2cm,PB=6cm,知PA·PB=12，因PA·PB=PC·PD，PD·PC=12,单从这点看A、C、D都符合这一要求，又AB=PA+PB=8是圆内最长的弦,所以只有D符合题意。答案:D15如图1。2—93,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,连结AB，并在其延长线上取点P，过P作⊙O1，⊙O2的切线PC，PD，切点分别为C、D，若PC=6,则PD=__________。解析:=6。答案:6图1。2—93图1.2—9416。如图1.2-94,已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,E为垂足，EF⊥BD，F为垂足，若BF=9，DF=3，则AE=____________.解析:∵CD⊥AB于E，EF⊥BD于F，BD=BF+DF=12，EF是Rt△BED斜边上的高,由射影定理，可求得∴ED=6，BE=63。∴在⊙O中，由相交弦定理推论,有DE2=AE·EB，∴AE=.答案：217。如图1.2—95，⊙O的两条弦AB、CD,延长后相交于点P。已知AB=5,BP=3,CD=2，则DP=____________.解析:由已知,AB=5，BP=3,又CD=2，设PD=x，则有x·(x+2）=3×8，解之,得x=4，即PD=4.答案：4图1.2-95图1.29-618.如图1。2—96,AB是⊙O的切线，B为切点，割线AC交⊙O于E、C两点，与直径BD交于F点.已知DF=2，CF=3，EF=4，那么AE=_______________。解析：∵EF·FC=DF·FB，可求得FB=6,设AE=x.∵AB是⊙O的切线，BD为直径，∴BD⊥AB.由切割线定理,AB2=AE·AC,AB2=AF2-FB2.故有x(x+7)=（x+4）2—62,∴x=20,即AE=20.答案:20我创新我超越图1。2—9719。如图1.2—97,以⊙O上的一点A为圆心作⊙A,分别交⊙O于B、C，过A作弦AF交公共弦于E，交⊙A于D.求证:AD2=AE·AF。解析：由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上,因此不存在相似三角形,所以必须转移其中一条或两条，以构成两个能够相似的三角形，注意到同圆半径相等的性质，所以将AD换成AB，通过等线段代换,可以达到目的.证明:分别连结AB、AC、BF。∵AB=AC，∴.∴∠ABC=∠F.又∠BAF公共，∴△ABE∽△BFA.∴AB2=AE·AF。∵AB=AD，∴AD2=AE·AF.图1.2-9820.如图1.2-98，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知BE2=DE·EA.求证：（1）PA=PD；（2）BP2=AD·DE。解析:(1)中因为PA与PD在同一个三角形中，所以可以通过说明两角相等解决问题；(2）中则运用切割线定理转换线段。证明：（1）连结AB，证明△BED∽△AEB得∠DBE=∠DAB。又可证∠PAD=∠ADP，∴PA=PD。（2）PA2=PB·PC且PD=CD=PC，PA=PD,∴PD=2PB=PB+BD。∴PB=BD=PD.又BD·CD=AD·DE，∴可证得结论，BP2=AD·DE。21.如图1。2-99，P为圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线,A、B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是AB上一点。求证：∠OPC=∠OCM.图1.2-99解析:图形中有两条切线，故运用切割线定理得线段和角的关系,在Rt△OPB中运用射影定理，有OB2=OP·OM，代换其中的OB为OC,可得三角形相似，即得角的相等关系。证明:连结OB，由切线长定理，得PA=PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2=OP·OM，∵OB=OC,∴OC2=OP·OM，即。∴△OCP∽△OMC。∴∠OPC=∠OCM.22.如图1.2—100,PA切⊙O于A，PCB、PDE为⊙O的割线，并且PDE过圆心O,已知∠BPA=30°,PA=2,PC=1，求PD的长。图1。2-100解析：求PD，可使用割线定理PC·PB=PD·PE，∵PA与⊙O相切，∴PA2=PC·PB。可求得PB，因PE=PD+DE，DE为⊙O直径，所以求⊙O的直径成为解题的关键.解:∵PA与⊙O相切,∴PA2=PC·PB。又PB=PC+BC，∴BC=11。连结AO，并延长与⊙O交于K,与CB交于G，则GA=PAtan∠GPA=PAtan30°=2.又Rt△GPA中，∠GPA=30°，∴PG=2GA=4。∴CG=3，GB=8。由相交弦定理GC·GB=AG·GK，可得GK=12，∴直径为14.∴由割线定理有PC·PB=PD·PE，得PD=-7。23。如图1。2-101,PA为⊙O的切线,A为切点，PBC为⊙O的割线，若PA=10,PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于D、E.求AD·AE的值.图1.2—101解析：由切割线定理PA2=PB·PC，由已知条件可得BC长,又通过△ACE∽△ADB,得AD·AE=CA·BA，从而求AD·AE的值。解:连结CE,∵PA2=PB·PC，PA=10，PB=5，∴PC=20。∴BC=15。又PA切⊙O，∴∠PAB=∠ACP,∠P公共.∴△PAB∽△PCA。∴。∵BC为⊙O直径，∴∠CAB=90°.∴AC2+AB2=BC2=225.∴可解得AC=6，AB=3.但AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB，∠ABC=∠E.∴△ACE∽△ADB.∴.∴AD·AE=AB·AC=3×6=90。24.如图1。2—102,已知AB是⊙O的直径,⊙C切⊙O于F,切AB于D，DC的延长线交⊙O于E点。求证：ED2=AB·CD。图1。2—102分析：要证明ED2=AB·CD，观察图形发现，AB·CD等于小圆半径与大圆直径的乘积，而ED与AB垂直，AB是大圆的直径，可以考虑相交弦定理.解决问题的关键是沟通两圆的半径关系,因为两圆相内切，而连心线或圆心距往往可以起到沟通的作用。证法一:连结OF，∵⊙C与⊙O相切，∴O、C、F在一条直线上，∵ED⊥AB，∴ED2=AD·BD，∵AD=AO—OD，BD=BO+OD.∴AD·BD=（AO—OD）·（BO+OD）,∵AO=BO=OF，∴AD·BD=AO2—OD2,在R