2025届山东省七校高三数学上学期9月联考试卷附答案解析

届山东省七校高三数学上学期9月联考试卷

满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A．B．C．D．2．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（

）A． B． C． D．3．已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或84．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（

）A． B．6 C． D．5．将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（

）A． B． C． D．6．定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．7．在的展开式中，含的项的系数是7，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为 B．C． D．的共轭复数为10．对于随机事件A，B，若，，，则（

）A． B． C． D．11．如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（

）A．最大值为；B．在时取得极大值；C．在上单调递增，在上单调递减；D．在上单调递增，在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则.

13．已知数列满足，，，且，则.14．已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)证明：；(2)若，求的取值范围．16．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17．如图，四边形为菱形，平面．

(1)证明：平面平面；(2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．18．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．(1)求的方程；(2)直线与交于两点，（i）求面积的最大值；（ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．19．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数存在正零点，（i）求的取值范围；（ii）记为的极值点，证明：.1．D【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x，分析元素x与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x，则且，即且，所以，阴影部分可表示为.故选：D.2．B【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则，，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，所以三角形面积的最大值.故选：B3．C【分析】由题意得到，，结合得到方程，求出的值.【详解】由题意得，，其中，故，解得或8，故选：C4．A【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离.【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示，则，，，由，有，，，圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长，所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示，质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦，，，有.故选：A5．A【分析】用列举法写出符合题意的填写方法，然后根据概率公式计算．【详解】符合题意的填写方法有如下8种：而9个数填入9个格子有种方法所以所求概率为，故选：A．6．B【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列an的通项公式.【详解】因为数列是“”数列，则，所以，而，，，，，，，，.故选：B7．D【分析】利用多项式乘法法则对式子展开，合并同类项即可得到系数的值.【详解】由题意可知展开式中含的项：∴,故选：D.8．D【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，是偶函数，且在区间单调递减，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范围是.故选：D9．ABD【分析】根据题意，由欧拉公式，利用复数的基本概念，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，其虚部为，所以A正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，则，所以C错误；对于D中，由，故的共轭复数为，所以D正确．故选：ABD．10．BCD【分析】根据条件概率的计算公式，可判断AB的真假，根据和事件概率计算公式，可判断C的真假，结合全概率公式和条件概率计算公式，可判断D的真假.【详解】对A：因为，故A错误；对B：由，故B正确；对C：因为，故C正确；对D：，所以：.所以.故D正确.故选：BCD11．AD【分析】分情况作出截面，求截面的周长和面积，进行判断.【详解】当时，截面为等边三角形，如图：因为，所以，所以：，，.此时，在上单调递增，且，.当时截面为六边形，如图：设，则所以六边形的周长为：为定值；做平面于，平面于.设平面与平面所成的角为，则易求.所以，所以，在上递增，在上递减，所以截面面积的最大值为，此时，即.所以在上递增，在上递减.时，最大，为.当时，易得：，此时，在上单调递减，，.综上可知：AD是正确的，BC错误.故选：AD【点睛】关键点点睛：当时，如果坚持用表示截面的周长和面积，感觉比较麻烦，设，用表示截面的周长和面积就省劲多了.12．##【分析】连接，则，根据给定条件及正八边形的特征，利用数量积的定义求解即可.【详解】在正八边形中，连接，则，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故答案为：13．1【分析】先利用求得的值，再利用递推公式可求.【详解】当得，又得，解得.则，所以.故答案为：1.14．【分析】作出函数y=fx的图象，根据图象分析可知与y=fx有三个交点，可得，，代入可得，令，利用导数求其最值，即可得结果.【详解】根据题意作出函数y=fx令，解得或，令，解得或或，由题意可知：与y=fx有三个交点，则，此时，且，令，可得，则，令，则，可知在内单调递增，则的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明；（2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解．【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，而，则或，即或（舍去），故．（2）因为是锐角三角形，所以，解得，所以的取值范围是，由正弦定理可得：，则，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以的取值范围是．16．(1)，(2)，.【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．【详解】（1）由，则当时两式相减得，所以.将代入得，，所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，所以.（2）.，因为当时，当时，所以当时，，当时，.故.17．(1)证明见详解.(2).【分析】（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直；（2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的的余弦值【详解】（1）∵平面且平面∴，在菱形中，，且平面，∴平面又∵平面∴平面平面.（2）∵平面且平面,平面∴，，即二面角是，∴，取与交点为，设，则，∴，∴，以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，∴.所以所成角的余弦值为.

18．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析，．【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，即可求解；（2）（ⅰ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值；（ⅱ）利用韦达定理，结合向量的坐标公式，表示点的坐标，即可求解定直线方程.【详解】（1）设焦距为，依题意，解得又，所以，所以的方程为．（2）（i）设，因为，所以，，解得，所以，点到直线的距离，的面积当且仅当，即时，面积的最大值为．（ii）设，由，有，即因为，所以，故，于是有，所以点在定直线．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用韦达定理表示弦长，以及坐标.19．(1)单调递减区间是，无单调递增区间(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）（i）求导后借助导数分、及讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理计算即可得；（ii）利用零点定义与极值点定义可得，代入计算可得，再借助时，，即可得，再计算并化简即可得.【详解】（1）由已知可得的定义域为，且，因此当时，，从而f′x<0所以的单减区间是，无单增区间；（2）（ⅰ）由（1）知，，令，当时，单调递减．①当时