专题04 三角函数-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第INET：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：．（2）商数关系：；三、三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．四、两角和与差的正余弦与正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（幂）公式知识点四：半角公式七、辅助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；九、与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【三角函数常用结论】1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、两角和与差正切公式变形；．4、降幂公式与升幂公式；．5、其他常用变式．6、拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、关于三角函数对称的几个重要结论（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为一、单选题1．（2024·江苏南通·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】展开并同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得到关于的方程，解出即可.【详解】展开得，两边同时平方有，即，解得，故选：B.2．（2024·山东济南·三模）若，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，解得或舍，则故选：C4．（2024·浙江·三模）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式展开，即可得到，再两边同除，最后结合两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，即，即，两边同除可得，所以.故选：C5．（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，解得或（舍去），所以．故选：B.6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由，可得，可得则，因为，所以与异号，可得为第二或第四象限，当为第二象限角时，可得；当为第四象限角时，可得.故选：C.7．（2024·山东青岛·三模）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度【答案】A【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】，由诱导公式可知：又则，即只需把图象向右平移个单位.故选：A8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：（1）函数的图象关于点中心对称（2）函数的图象关于直线对称（3）函数在区间内有4个零点（4）函数在区间上单调递增以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于（1），由，所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误；对于（2）中，由，所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误；对于（3）中，令，可得，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确；对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误.故选：A.9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解.【详解】因为，即，所以，整理得，变形得，所以.故选：C10．（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由图像以及题意求出的解析式，从而得，，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由图可知，由可知，故，又由图，故由图，①，由图，②，又，结合①②可得，故，所以.故.故选：D.11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.【详解】由得，即，所以，故选：D12．（2024·江西九江·三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可.【详解】令，则，所以由，得，即，即，得，所以，故选：C.13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是的一个单调增区间B．是的一个对称中心C．在上值域为D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为【答案】C【分析】化简函数由函数，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由函数，对于A中，当，可得，此时函数不是单调函数，所以A错误；对于B中，由，所以函数的一个对称中心为，所以B不正确；对于C中，由，可得，所以，所以，即，所以C正确；对于D中，将的图象向右平移个单位，得到，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为，所以D错误.故选：C.14．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在区间恰有3条对称轴，所以，解得，故选：D.15．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值．【详解】，令得，所以，，因为在区间内没有零点，所以，只需且，解得，令得，得，因为，所以的取值范围，所以周期的最小值是，故选：．二、多选题16．（2024·山东威海·二模）已知函数，则（

）A．在上单调递减B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称C．在上有两个零点D．【答案】BCD【分析】由可知的图象关于对称，可判断AB；整体代入法求出函数零点即可判断C；求出，结合周期可判断D.【详解】对于A，因为，所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；对于B，由上知，的图象关于对称，所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；对于C，由得函数的零点为，令，解得，所以，即在上有两个零点，C正确；对于D，因为，，，所以因为的最小值周期，所以，D正确.故选：BCD17．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（

）A． B．是偶函数C．是函数的一个极值点 D．在单调递增【答案】ABC【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解.【详解】因为的最小正周期大于，所以，即，又关于点中心对称，所以，所以，因为，所以当时，，所以，对于，，故正确；对于，，由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；对于，，令得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数的极大值点，故正确；对于，由，，得，函数的单调递增区间为，，当时，，当时，，显然函数在上不单调，故不正确.故选：.18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于直线对称C．不等式的解集为D．若在区间上单调递增，则的取值范围是【答案】BCD【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围.【详解】对于A，的最大值为，故A错误；对于B，令，得，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C，不等式可化为，则，解得，因此原不等式的解集为，故C正确；对于D，由，，解得.因为在区间上单调递增，所以，所以，解得，故D正确.故选：BCD19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数在上单调递增D．方程的解为，【答案】ABD【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可.【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由，所以，因为，则，则，因为，则，所以，故B正确；对于C，，由，得，而，即时，没有意义，故C错误；对于D，，则，方程，得，即，即，所以或，因为，，所以或，解得或，故D正确.故选：ABD.20．（2024·河南·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．的图象可由的图象平移得到B．在上单调递增C．图象的一个对称中心为D．图象的一条对称轴为直线【答案】BD【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到，由图象平移的性质可得A错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B正确；代入可得C错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D正确；【详解】，因为最小正周期为，所以，所以，A：由以上解析式可得的图象不可由的图象平移得到，故A错误；B：当时，，由余弦函数的单调性可得在上单调递增，故B正确；C：，故C错误；D：当时，，此时为最小值，所以图象的一条对称轴为直线，故D正确；故选：BD.21．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．若，则D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象【答案】AD【分析】对于A，利用周期公式直接计算判断，对于B，将代入函数验证，对于C，由求出，再将代入函数计算，对于D，根据三角函数图象变换规律分析判断.【详解】对于A，的最小正周期为正确.对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，错误.对于C，由，得，所以，C错误.对于D，将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象，D正确.故选：AD22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（

）A．是偶函数； B．是周期为的周期函数；C．在上单调递增； D．的最小值为.【答案】AD【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用周期的定义可判定B，利用复合函数的单调性可判定C，根据周期性及单调性可判定D.【详解】因为，所以是偶函数，故A正确；易知，故B错误；当时，，因为，所以在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故C错误；易知，所以是周期为的周期函数，当时，，显然时，时，则的最小值为，故D正确.故选：AD23．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（

）A．时，在上单调递增B．若，且的最小值为，则C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称【答案】CD【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.【详解】对于A，，当时，，而在不单调，故A是错误的；对于B，，由的最小值为，则函数周期为，所以，解得，故B是错误的；对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知，，解得：，故C是正确的；对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到：，由它关于轴对称，可知：，解得：，当时，，故D是正确的；故选：CD.三、填空题24．（2024·全国·二模）已知，则.【答案】/0.28【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可.【详解】，得，解得或（舍）所以.故答案为：.25．（2024·安徽合肥·三模）已知，则.【答案】【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可.【详解】由，且，得，整理得，解得（舍）或，所以．故答案为：.26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则．【答案】【分析】根据结合两角差的余弦公式即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故答案为：.27．（2024·黑龙江·三模）已知，则.【答案】/【分析】已知，由两角和的余弦公式求得，再由两角和的余弦公式求，倍角公式求.【详解】因为，而，因此，则，所以.故答案为：.28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，则．【答案】3【分析】先结合二倍角的正切与两角和的正切公式及角的取值范围，得到，再利用倍角公式把转化为齐次式求解.【详解】由，得，即，又，所以，从而．故答案为：329．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是.【答案】【分析】根据偶函数的对称性分析可知，即可得结果；结合对称性可知圆面在y轴右侧仅覆盖1个图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为是偶函数，则，且，所以；可得，设的最小正周期为，因为和均关于y轴对称，可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点，对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）；可得，解得，且，则，解得，所以的取值范围是，故答案为：；.30．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的