信号与系统第2版 课件 6离散时间信号与系统的频域分析

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课程目录第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的Z域分析2024/10/162第6章离散时间信号与系统的

频域分析6.1引言6.2周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）6.3非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）6.4周期序列的离散时间傅里叶变换6.5离散时间傅里叶变换的性质6.6离散傅里叶变换（DFT）6.7离散傅里叶变换的性质6.8用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号6.9离散时间系统的频域分析6.10应用实例—电力系统谐波分析习题第6章离散时间信号与系统的频域分析6.1引言2024/10/165应用实例离散系统的频域分析用离散傅立叶变换近似分析连续时间信号离散傅立叶变换（DFT）周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）离散时间信号和系统的频域分析，与连续时间信号与系统的频域分析的思路类似，基本内容包括：6.2周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）2024/10/166时域分析法中，选用的基本信号是单位冲激信号，在频域分析法中，将选用虚指数信号作为基本信号，也就是要将任意信号表示成虚指数信号的线性组合。这就是傅里叶表示。线性时不变系统对基本信号的响应一般都是非常容易求取的，根据系统的线性特性，表示成基本信号的线性组合后的任意信号的响应，也就非常容易得到。线性时不变系统分析的重要任务之一，就是要求取系统对于任意激励信号的响应，为此，需要将任意信号表示成基本信号的线性组合。将所有周期为N的虚指数序列组合起来，可构成一个信号集：在中，由于虚指数序列的周期性而只有N个独立信号，故其是一个完备正交函数集。因此，可以用集中的N个独立的虚指数序列的线性组合来表示一个任一的周期序列，这就是离散傅里叶级数表示。对于离散时间信号x(n)，如果满足：x(n)=x(n+rN)，r、n、N为整数（6-1）则称x(n)为周期信号，且其周期为N（N为正整数）。6.2.1DFS变换式（6-3）虚指数序列

是一个周期为N的周期序列。求取DFS的系数：对（6-4）式两边同乘，并在一个周期内对n求和：2024/10/1686.2.1DFS变换式（6-7）式为DFS正变换式，（6-4）式为DFS反变换式。故：（6-7）可以证明：

（6-4）6.2.1DFS变换式2024/10/169例6-3：

求周期序列，

（a为有界常数）的傅里叶级数分解。解：由式（6-7）有DFS的系数

的这一特性与连续时间周期信号的频谱有着根本的不同。

k从0到N-1的取值部分，称为主值周期。2024/10/1610是以N为周期的(2)(3)6.2.2DFS频谱系数的特征

离散时间傅里叶级数的周期性表明，离散时间周期信号可以而且只能分解为有限个虚指数序列的线性组合，因此其不存在收敛性问题。

由于k只能取整数，因此，周期序列的频谱具有离散性。2024/10/1611

通常，DFS的频谱系数是一个关于k的复函数，当xN(n)为实周期序列信号时，由（6-7）式易得：6.2.2DFS频谱系数的特征

说明，

的模是k的偶函数，其幅角是k的奇函数。说明，

的实部是k的偶函数，其虚部是k的奇函数。2024/10/1612设周期矩形序列：如图6-1所示6.2.3周期矩形序列的频谱（6-12）6.2.3周期矩形序列的频谱2024/10/16131：

时：2024/10/16142：时：6.2.3周期矩形序列的频谱即周期矩形序列的频谱为：（6-15）2024/10/1615n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;k=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;Xk=x*WN.^nk/N;%计算DFS系数X(k)

subplot(2,1,2);stem(k,Xk,'b');%绘制X(k)图xlabel('k');title('X(k):N=20,N1=2');gridon;holdon;plot(k,Xk,'r');%绘制X(k)包络图holdoff;6.2.3周期矩形序列的频谱例%Matlab代码：周期矩形序列频谱

N=20;N1=5;n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;f0=zeros(1,N-N1);f1=ones(1,N1);x=[f0,f1,f0,f1,f0,f1,f0];%产生x(n)

subplot(2,1,1);stem(n,x);%绘制x(n)图xlabel('n');title('周期矩形序列x(n):(N=20,N1=2)');axis([-4040-0.01.1]);2024/10/16166.2.3周期矩形序列的频谱现在，我们来考查

xN(n)的参数对其频谱的影响。首先，固定半脉宽=2不变，改变周期N。分别取N=10、20、40，可分别得其频谱图如图6-3所示：2024/10/16176.2.3周期矩形序列的频谱由图6-3可见，由于

不变，频谱的正/负峰的个数也不变，都等于

个。而随着周期N的增大，一个周期内谱线的数量增多，谱线的间隔减小，且谱线的幅度也减小。再看，固定xN(n)的周期N=40不变，改变半脉宽，分别取N1

=2、3、4，可分别得其频谱图如图6-4所示：可以预见，当周期N趋于无穷大时，周期序列将变为非周期序列，一个周期内谱线的数量无穷增多，谱线的间隔无穷减小，离散频谱将变为连续频谱，且谱线的幅度也无穷减小。6.2.3周期矩形序列的频谱2024/10/1618

由图6-4可见，由于周期N不变，一个周期内谱线的数量不变，也即谱线间隔不变，而随着半脉宽

N1的增大，正/负峰的个数增加，也即频谱包络的主瓣宽度变窄，说明信号的有效带宽变窄，且幅值增大。2024/10/1619在6.2.3节讨论周期矩形脉冲序列的频谱中已经看到，当脉冲宽度不变而增大周期时，其谱线间隔及其幅值都随之减小，但频谱的包络形状仍保持不变。6.3非周期序列的离散时间傅立叶变换因而还用离散时间傅立叶级数来表示其频谱显然是不合适的。为此，需要建立非周期序列的傅里叶表示，此即离散时间傅立叶变换（DTFT）。当周期N趋于无穷大时，周期序列将演变为非周期序列，其谱线将变得无限密集，离散频谱将演变为连续频谱，且谱线的幅度也趋于无穷小量。2024/10/1620设

是周期为N的周期序列，当其周期N趋于无穷大时，将演变为非周期序列

，有：6.3.1离散时间傅立叶正变换即：根据DFS的定义式有：

（6-17）6.3.1离散时间傅立叶正变换2024/10/1621可得：

（6-18）即为非周期序列的离散时间傅立叶正变换式。6.3.1离散时间傅立叶正变换2024/10/1622离散时间傅里叶变换式DTFT也可以直接由连续时间傅里叶变换式推导得出：对x(t)进行理想抽样，再对抽样信号

取傅里叶变换记x(nT)=x(n)，ωT=Ω，即有：可见：

表示的是单位频带内的幅值，是频谱密度函数。可见：

是以

Ω

为变量的周期为2π

的连续周期函数。通常把区间

[-π，π]称为Ω

的主值区间。2024/10/16236.3.1离散时间傅立叶正变换且有：非周期序列的频谱具有连续性的特性。又：有：由

（6-19）6.3.1离散时间傅立叶正变换2024/10/1624幅值频谱和相位频谱。

即：周期序列离散时间傅里叶级数的系数

就是与其对应的非周期序列离散时间傅里叶变换

在

点

处的抽样值。比较（6-7）与（6-18）式可见：（6-20）6.3.1离散时间傅立叶正变换2024/10/1625【例6-5】

对周期矩形序列xN(n)，取其主值周期序列为一新的非周期序列——矩形序列x

(n)。比较离散时间傅里叶级数DFS[xN(n)]与离散时间傅里叶变换DTFT[x

(n)]的关系。解：6.3.2离散时间傅立叶反变换2024/10/1626由DFS反变换式有：即为非周期序列的离散时间傅立叶反变换公式。

即：（6-21）利用（6-20）式有：有：6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换2024/10/1627（1）矩形脉冲序列矩形脉冲序列为：由定义式有：2024/10/1628%Matlab代码：矩形脉冲序列的DTFTN1=2;n=-N1:1:N1;x=1.^n;%产生x(n)dw=2*pi*0.001;w=-4*pi:dw:4*pi;X=x*exp(-j*n'*w);%计算DTFT[x(n)]6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换subplot(2,1,1),stem(n,x,'.');%绘制x(n)axis([-10,10,-0.3,1.3]);title('x(n)');xlabel('n');subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);grid;%绘制X(jΩ)title('X(jΩ)');xlabel('Ω/pi');2024/10/1629（2）单边指数序列6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换单边指数序列为：2024/10/1630（3）双边指数序列6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换双边指数序列为：此信号为n的奇函数，由定义式有：6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换2024/10/1631（4）偶双边指数序列此信号为n的偶函数，由DTFT定义式有2024/10/1632（5）单位样值序列6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换2024/10/16336.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换（6）常数序列时域离散化

频域周期化2024/10/1634（7）符号函数序列可视为双边指数序列当a趋于1时的极限。故：6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换6.3.3典型非周期信号的离散时间傅里叶变换（8）单位阶跃序列由于：有：2024/10/16352024/10/1636由非周期序列的离散时间傅里叶变换定义式可知，由于任一离散时间周期信号均不满足绝对可和条件，因而无法求得其离散时间傅里叶变换。6.4周期序列的离散时间傅里叶变换对离散时间周期序列，将其表示成离散傅里叶级数的形式，即式（6-4）式中，

为周期序列的离散傅里叶级数系数。由式（6-7）有6.4周期序列的离散时间傅里叶变换2024/10/1637考虑连续域里：因此，可以期望，离散域虚指数序列的傅里叶变换应该是在处的冲击。这里，我们把

视为序列长度为无限长的离散时间非周期序列，同样把也视为序列长度为无限长的离散时间非周期序列，欲求周期序列的离散时间傅里叶变换，可对式（6-4）的级数展开式两边取离散时间傅里叶变换，这要遇到求虚指数序列的离散时间傅里叶变换的问题。由：在离散域情况下，时域的离散化导致频域的周期化，周期为2π，2024/10/16386.4周期序列的离散时间傅里叶变换即：（6-36）

其频谱图如图6-13所示。为了验证（6-36）式的正确性，对其求反变换：2024/10/16396.4周期序列的离散时间傅里叶变换（6-38）6.4周期序列的离散时间傅里叶变换2024/10/1640利用（6-38）式，可对（6-4）式求离散时间傅里叶变换：对右边，将l的求和打开看，当l=1时：当l=0时：6.4周期序列的离散时间傅里叶变换2024/10/1641同理可得6.4周期序列的离散时间傅里叶变换2024/10/1642（6-40）故：这就是周期序列的离散时间傅里叶变换式。（6-40）式表明：周期序列

的离散时间傅里叶变换是由一系列冲激组成，各个冲激仅出现在基波频率的各次谐波频率点上，位于处的冲激强度为由于傅里叶级数的系数

是以N为周期的，所以，也是一个周期等于N的周期函数。6.4周期序列的离散时间傅里叶变换2024/10/1643式（6-40）与连续时间周期信号的傅里叶变换式完全对应，其含义也相同。考察周期序列的离散时间傅里叶级数与单周期序列的离散时间傅里叶变换之间的关系，可知既可以用DFS的定义式求取，又可以由DTFT变换式求取。

是周期为N=1的周期单位样值序列，求其离散傅里叶级数及离散时间傅里叶变换。并与

的离散时间傅里叶变换作比较。2024/10/16446.4周期序列的离散时间傅里叶变换【例6-6】解：由【例6-4】知，

的DFS频谱是位于

处周期为2π

强度为1的周期单位样值序列。由周期序列的离散时间傅里叶变换式（6-40）有：2024/10/1645

离散时间傅里叶变换同样有类似于连续时间傅里叶变换的众多的性质，这些性质不仅能深刻揭示变换的本质，而且对于求取信号的正反变换具有重要的作用。6.5离散时间傅里叶变换的性质

离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换

对Ω来说是周期性的，且周期为2π，即：6.5.1周期性6.5.2线性若：则：（6-43）

离散时间傅里叶变换的许多性质与连续时间傅里叶变换既基本相同，又存在明显的差异，因此，要特别注意它们的相似之处和不同之处。这一点与连续时间傅里叶变换有着本质的区别。（6-42）由于x(n)为实序列，故有：

（6-44）6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/1646实部是Ω的偶函数，虚部是Ω的奇函数。6.5.3奇偶性设x(n)为实序列，由DTFT的定义式（6-18）有：x(n)的共轭的DTFT为：将（6-44）式两边写成实部与虚部的形式，有：即：同理：幅度频谱是Ω的偶函数，相位频谱是Ω的奇函数。6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/1647式（6-47）说明，序列时移后，其幅度频谱保持不变，仅相位频谱附加了一个线性相移。（6-47）6.5.5频移特性式（6-48）说明，序列的频移对应于时域的调制。（6-48）6.5.4时移特性6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/1648若：则：式（6-50）表明，序列的时域卷积，对应于序列频域的乘积。（6-50）6.5.6时域卷积特性

进一步利用欧拉公式和傅里叶变换的线性特性，可方便得到

、

的离散时间傅里叶变换。

利用这一性质，可以很方便地求取虚指数序列的离散时间傅里叶变换。（6-36）在求取线性移不变系统的零状态响应时，可将时域卷积运算转化为频域的乘积运算来求解。6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/1649若：则：由DTFT定义式有：上式右端正好为

与的卷积，由于它们都是以2π为周期的周期函数，卷积的积分区间是在一个2π区间内进行，其卷积的结果亦是以2π为周期的周期函数，故称此卷积为周期卷积，记为：（6-51）6.5.7频域卷积特性6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/1650式（6-51）表明，序列的频域卷积，对应于序列时域的乘积。式（6-51）的一个重要应用是序列的时域截短（或加窗），在离散时间信号与系统分析、设计方面具有重要应用。（6-51）6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/16516.5.8时域差分特性6.5.9时域累加特性若：则：若：则：当信号中无直流分量时，6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/16526.5.10频域微分特性若：则：由DTFT定义式有反复利用此式，可得：（6-57）6.5离散时间傅里叶变换的性质2024/10/1653若：则：由DTFT定义式有：（6-59）式（6-59）表明，序列在时域的总能量等于频域的总能量。6.5.11帕塞瓦尔能量定理6.6离散傅里叶变换（DFT）2024/10/1654傅里叶变换建立了信号的时域特性与其频谱特性之间的关系，在信号与系统的分析、处理方面具有鲜明的物理意义及重要的应用作用，是不可或缺的重要分析工具。随着计算机技术的发展及其在工程领域的越来越深入和广泛的应用，自然，我们也希望能用计算机技术完成傅里叶分析。前面我们已经建立了四种形式的傅里叶变换:在第3章，建立了连续时间下的傅里叶级数变换FS和傅里叶变换FT，这两种傅里叶变换中，其时域变量或频域变量两者至少有一个是连续变量。因此，这两种形式的傅里叶变换都是无法利用计算机实现的。在本章，建立了离散时间傅里叶级数变换DFS和离散时间傅里叶变换DTFT。在DTFT中，频域变量是连续的，因此，它也无法利用计算机实现。只有DFS，其时域变量和频域变量都是离散的，具备由计算机实现的可能性。6.6离散傅里叶变换（DFT）2024/10/1655但是，我们考查DFS的变换式不难发现，其无论是时域序列

还是频域序列

，都是无限长序列。计算机是不可能计算无限长序列的，因此，DFS也是无法利用计算机实现的。为了能由计算机完成傅里叶变换，必须寻找新的途径。考查DFS的变换式，虽然其无论是时域序列还是频域序列都是无限长的，但是却都是以N为周期的周期序列。对于周期序列，如果已知一个周期的序列值，则将其以N为周期进行周期扩展，就能得到长度为无限长的周期序列。有鉴如此，我们在计算DFS时，可以不必计算无限长序列值，只要将其一个周期的序列值进行计算，得到了一个周期的序列值，即可通过周期扩展而得到整个序列值。这里通常取主值周期进行计算。令

，

，对

及

只取主值周期，分别变成

及

，得到：式中，

是周期为N的时域序列，

是周期为N的频域序列。2024/10/1656代入上式有：6.6离散傅里叶变换（DFT）由DFS定义式：2024/10/1657引入符号

，称为旋转因子，代入上式有：6.6离散傅里叶变换（DFT）该式称为离散傅里叶变换式，即DFT。它定义了时域的N点有限长序列变换为频域的N点有限长序列的离散傅里叶变换。可见，DFT是将DFS的主值序列提取出来定义的一种变换对，因此其与DFS具有完全相同的形式。DFS是具有严格数学论证的变换对，而DFT是为了适应计算机的运算而建立的时域及频域有限长序列的变换对。DFS是符合实际信号特性的，它反映了信号的客观物理现象，而DFT则不然，DFT实际只是DFS的计算工具。6.6离散傅里叶变换（DFT）2024/10/1658该式表明，X(k)为的N点等间隔采样。可见，有限长序列x(n)的离散时间傅里叶变换可以用DFT来计算，其用DFT计算的X(k)就是的频域抽样。只要满足抽样定理，就可以由X(k)中恢复原连续信号的频谱。因此若对连续时间信号利用抽样得到的序列进行DFT变换，就可以近似分析其频谱。由DFT的定义可知，DFT与DFS存在如下的关系：(2)(3)比较DFT与DTFT的变换式，有：即DFS的主值序列即为DFT的序列，DFT序列以N为周期的周期扩展序列即为DFS的序列。2024/10/16596.6离散傅里叶变换（DFT）【例6-7】

对矩形序列

，求不同点数N（N≥M）的离散傅里叶变换。用MATLAB画出M=4，N=16、32、48时序列的时域及频域图形。解：由DFT定义式（6-62）有2024/10/1660

DFT与DFS具有类似的性质，掌握DFT的性质，对于DFT的运算及应用具有重要作用。6.7离散傅里叶变换的性质6.7.1线性若：则：6.7.2隐含周期性若：则：（1）频域周期性证明：（2）时域周期性若：则：可见，其x(n)与X(k)均具有以N为周期的周期性，此即DFT隐含周期性。2024/10/1661由DFT的定义式有：6.7离散傅里叶变换的性质（6-69）由（6-69）式有：可见，

具有偶函数特性，而

具有奇函数特性。6.7.3奇偶性和对称性（1）将X(k)写为实部与虚部的形式：设x(n)为实序列，对上式两边取共轭：6.7离散傅里叶变换的性质2024/10/1662（2）将

写为模与幅角的形式：类似地可以得到：可见，|X(k)|具有偶函数特性，而arg[X(k)]具有奇函数特性。6.7离散傅里叶变换的性质2024/10/16636.7.4时频互易特性若：则：

（6-78）式（6-78）表明，如果序列

x(n)的DFT为X(k)，则当时域序列的表达式具有X(n)的形状时，其对应的DFT的频域序列则具有x(-k)的形状。6.7.5时域循环移位特性

对有限长序列x(n)的移位序列为x(n-m)，从一般意义讲，这是序列x(n)移位m位后形成的序列，但是，对于DFT来讲，由于DFT具有隐含周期性，故这个移位要用循环移位。记为：6.7离散傅里叶变换的性质2024/10/1664若：则：式（6-79）说明，序列的时域循环移位，对应于频域的移相。6.7.6频域循环移位特性若：则：式（6-80）说明，序列的频域循环移位，对应于时域序列乘上一个虚指数序列，这相当于时域的调制。

（6-79）

（6-80）定义循环卷积为：两个长度均为N的有限长序列

与对于

有：对于

有：设

的长度为L，

的长度为M2024/10/16656.7离散傅里叶变换的性质（1）线性卷积线性卷积的定义式为：由（6-81）式可知：（6-81）将这两个不等式相加，有：（6-82）

可见，线性卷积结果的序列长度是与参与卷积运算的两个有限长序列的长度有关的。（2）循环卷积（6-83）循环卷积的长度是与N有关的，称为N点循环卷积，。6.7.7时域循环卷积特性（重点）因此，要使循环卷积的结果完全包含线性卷积的结果，必须满足：2024/10/16666.7离散傅里叶变换的性质（3）循环卷积与线性卷积的关系对于长度为

L

的序列与长度为

M

的序列其线性卷积的长度为L+M-1，循环卷积的长度为N，（6-84）计算循环卷积是为了得到线性卷积的结果。在满足（6-84）式的条件下，循环卷积的前

L+M-1个值就正好是线性卷积的结果。6.7离散傅里叶变换的性质2024/10/1667（4）时域循环卷积特性若：则：式（6-85）说明，两个有限长序列的循环卷积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的乘积。（6-85）该特性提供了一条利用离散傅里叶变换计算循环卷积的途径。2024/10/16686.7离散傅里叶变换的性质图6-13离散傅里叶变换计算卷积原理框图

利用该特性，可以将求取系统零状态响应的方法由时域的卷积变换到频域的乘积来实现。虽然这样要花费的步骤更多，但是由于DFT具有快速算法

FFT，其实际花费的计算时间却更少，因而使得该方法成为计算机计算零状态响应的重要方法。2024/10/16696.7离散傅里叶变换的性质

例6-8已知4点有限长序列

x1(n)=[1，1，1，1]和3点有限长序列x2(n)=[1，2，3]。（1）求线性卷积m-3-2-10123451111

123321132133216321632153213即：

x(n)=[1，3，6，6，5，3]m012345

111100

1000321

2100033

3210006

0321006

0032105

0003213m01234567

11110000

100000321

210000033

321000006

032100006

003210005

000321003

000032100

0000032106.7离散傅里叶变换的性质2024/10/1670（2）求4点循环卷积m01231111

10326210363210603216（3）求6点循环卷积（4）求8点循环卷积2024/10/1671%Matlabn=0:3;x1=1.^n;subplot(2,3,1);stem(n,x1);%x1(n)波形axis([-08-0.11.2]);xlabel('n');title('x1(n)');%---n=0:2;x2=n+1;subplot(2,3,2);stem(n,x2);%x2(n)波形axis([-08-0.33.5]);xlabel('n');title('x2(n)');

6.7离散傅里叶变换的性质%%(1)线性卷积xc1=conv(x1,x2);n=0:5;subplot(2,3,3);stem(n,xc1);axis([-08-0.77]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n)');

%%(2)N点循环卷积N=4;%N=6;N=8;X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);X=X1.*X2;xc2=ifft(X,N);n=0:N-1;subplot(2,3,4);stem(n,xc2);axis([-08-0.57]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n),N=4');6.7离散傅里叶变换的性质2024/10/1672式（6-86）说明，两个有限长序列时域的乘积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积除以N。长序列矩形加窗或说截短后，频谱发生了改变。若：则：（6-86）6.7.9帕塞瓦尔能量定理若：则：式（6-87）说明，序列的时域能量与频域能量是相等的。（6-87）6.7.8频域循环卷积特性2024/10/16736.7离散傅里叶变换的性质6.7.10IDFT的DFT计算式（6-88）说明，欲计算X(k)的IDFT，可以利用DFT的算法实现。于是，利用DFT算法既可以计算正变换DFT，又可以计算其逆变换IDFT，可以实现DFT程序的通用化。若：则：（6-88）2024/10/16746.8用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号工程实际中遇到的信号，大多为非周期连续时间信号，而且往往也不存在数学表达式。对这样的信号进行DFT分析，具有重要和普遍的工程实际意义。6.8.1近似分析的方法

设连续时间信号为x1(t)，其频谱为X1(jω)，如图6-19（a）。为使x2(n)成为有限长序列，必须截短使其长度为N的序列x3(n)。时域的截短，最简单的方法是将时域序列乘以矩形窗序列，由傅里叶变换的频域卷积特性可知，截短后的信号的频谱是原信号的频谱与矩形窗函数的频谱的卷积。因此截短后的信号的频谱为X3(jω)，如图6-19（c）。由于DFT只能对有限长离散时间信号进行运算，故首先要对x1(t)进行抽样，成为离散时间序列x2(n)，时域的离散化导致频域的周期化，故其频谱为X2(jω)，如图6-19（b）。2024/10/1675由图6-19（c），信号的频谱X3(jω)仍为连续函数，为了能用计算机运算，还必须对频谱进行离散化，也就是进行频域抽样，得到X4(k)，而频域抽样导致时域周期化为x4(n)，如图6-19（d）。6.8.1近似分析的方法只要使序列时域一个周期的点数与其频域一个周期的点数都为N，就可以利用DFT计算两者之间的变换。下面从变换公式对上述过程进行分析。6.8.1近似分析的方法2024/10/1676已知非周期连续时间信号x(t)的连续时间傅里叶变换为：（1）首先对x(t)进行抽样，Ts为抽样周期，fs为抽样频率。（2）再对x

(n)截短为N点长度，有：（6-89）式（6-89）中，dt=(n+1)Ts-nTs=Ts，积分变为求和，有：（6-91）（6-93）（6-90）2024/10/16776.8.1近似分析的方法（3）再对X(jω)进行频域离散化，频域抽样间隔为ω0，有：保证对X(jω)的一个周期宽度抽样N个点，即：，或（6-95）频域抽样导致时域周期化，其周期为

，有：T0=NTs（6-96）于是，（6-94）式可写为：（6-98）即：（6-98）式说明，在已知x(t)的情况下，可用DFT对其频谱近似分析。同理：（6-99）（6-94）2024/10/16786.8.2近似分析出现的问题（1）

频谱混叠频谱混叠现象的出现，导致分析计算的频谱的结果与信号的真实频谱之间出现误差。利用DFT分析连续时间信号的频谱，频谱混叠是不可避免的，我们只能寻找措施尽量减少误差，使其能达到工程要求。由于这三个方面的原因，利用

DFT

分析连续时间信号的频谱，必然出现频谱混叠现象，如图6-19（c）所示。由傅里叶变换特性(见图3-12)，时域有限长信号其频域必为无限宽频谱。为使x(n)为

N

点有限长序列，必须对其进行截短，导致信号为有限长时间信号。由于利用

DFT

对x(t)进行频谱分析时，必须对时域离散化，这必导致频域周期化。2024/10/1679减少混叠误差可采取的措施：6.8.2近似分析出现的问题可以加大连续时间信号的抽样频率。抽样频率越大，频谱周期化时，相邻周期的间隔距离也越大，其频谱混叠造成的影响也会越少。可以对连续时间信号采取抗混叠滤波。实际的工程信号的有效带宽总是有限的，抗混叠滤波实际上就是一个低通滤波器，使该滤波器的截止频率不低于信号的最高有效频率，于是，经抗混叠滤波后的信号，就会近似成为频带有限信号，该信号频谱周期化后，其频谱混叠造成的影响就会减少。6.8.2近似分析出现的问题2024/10/1680抽样频率越高，抗混叠效果越好，当然，这也必然导致同样时间长度内抽样数据点数的增加，要求抽样器件的工作频率越高，抽样数据的存储容量越大，DFT计算的数据量越大，计算所花费的时间越长，造成系统的实时性越低。对抗混叠滤波器及抽样频率的选择，不可盲目追求高性能，而应以工程实际需求为目标，达到工程误差允许即可。抗混叠滤波器越接近理想低通滤波器，效果越好，当然，这必然导致滤波器越复杂，成本越高。2024/10/16816.8.2近似分析出现的问题（2）

频谱泄露

利用DFT分析连续时间信号的频谱，一般在将x(t)抽样为序列后，必须对其截短为长度为

N

的有限长序列。时域序列的截短，最简单的方法就是将时域序列与长度为

N

的矩形序列相乘。由DFT的频域卷积性质可知，时域信号的乘积，对应于其频谱的卷积，即：时域截短不可避免要产生频谱泄露，工程上只能设法减少频谱泄露的影响。影响对微小频谱信号的检测弱化频谱分辨能力2024/10/1682时域矩形窗序列及其频谱如图6-21所示：6.8.2近似分析出现的问题它有主瓣和旁瓣，正是矩形窗的频谱特性引起了频谱泄露。

不论选择什么样的宽度，其主瓣宽度与旁瓣幅度总是对立的，主瓣越窄，其旁瓣越高，反之，旁瓣越低，其主瓣越宽。2024/10/16836.8.2近似分析出现的问题

要想较好地控制频谱泄露，在选择矩形窗截短的情况下，只能在边沿的陡峭性与平坦部分的起伏性之间做选择。要么追求边沿的陡峭性而不计平坦部分的起伏性，要么追求平坦部分的起伏性而不计边沿的陡峭性。要两方面同时最优是不可能的。三角形窗triang(N)、bartlett窗bartlett(N)、hamming窗hamming(N)、hanning窗hanning(N)、blackman窗blackman(N)、chebyshev窗chebwin(N)、kaiser窗Kaiser(N,b)等，如图6-23~6-25所示。常见窗函数时域波形图为了更好地抑制旁瓣，人们发明了不同于矩形窗boxcar(N)的许多窗函数，常见的有：这些窗函数在牺牲主瓣宽度下，能够起到降低旁瓣的作用。2024/10/16846.8.2近似分析出现的问题常见窗函数幅值频谱图常见窗函数对数幅值频谱图6.8.2近似分析出现的问题2024/10/1685（3）

栅栏效应

利用DFT分析连续时间信号的频谱，由于频域的离散性，只在有限个离散的频率点上有序列值，即：栅栏效应同样是利用DFT分析连续时间信号频谱时所无法避免的现象。如需查看被栅栏遮挡的频谱，能采取的办法有两个，一是改变栅栏的位置，使被遮挡的频谱移动到可见的栅栏缝隙处，二是加大栅栏缝隙数量。即DFT只分析了这些离散频点上的频谱值，但是，在这些频率点之间的频谱的情况却是未知的，这就像是透过一个栅栏去看原信号的频谱，只能看到栅栏缝隙透过的频谱，而被栅栏遮挡的频谱就看不到了。这种现象就被形象地称为“栅栏效应”。DFT分析时，其时域序列及频域序列在一个周期内的点数都为N，我们可以通过在时域序列尾部添加零值从而加大N的办法来实现。添加零值的数量可以有两种情况：一是小于N个，二是等于N的整数倍个。前者会改变栅栏的位置，后者会成倍增加栅栏缝隙数量。2024/10/1686（4）

基于DFT分析连续时间信号频谱系统结构图6.8.2近似分析出现的问题抗混叠滤波采样

补零DFTx(t)x’(t)x(n)x’(n)x’’(n)X(k)

加窗图6-26基于DFT分析连续时间信号频谱2024/10/16876.8.3频率分辨率利用DFT分析信号频谱时，其时域与频域的参数对应关系如图6-27所示。2024/10/16886.8.3频率分辨率即X(k)的频率点为：故其离散域相邻频率点之间的间隔为：这就是DFT分析的离散域的频率分辨率。也称为数字频率分辨率。由（6-100）式可见，数字域频率分辨率只与点数N有关，N越大，即一个周期内的点数越多，ΔΩ

就越小，频率分辨率就越高。（6-100）再由图6-27中各参数之间的关系，有：T0=NTs，fs=NF0可得：（6-103）（6-103）式表明，DFT频谱分析的模拟频率分辨率为时域信号采样记录总时间长度T0

的倒数，也即模拟频率分辨率只与时域信号采样记录总时间长度T0

有关，T0越大，F0

越小，模拟频率分辨率越高。6.8.3频率分辨率2024/10/1689

理解（6-100）式及（6-103）式很重要。如果只对x(n)通过补零增加点数N，即一个周期内频谱的数量增加了，使

ΔΩ

减少，这是提高了数字域的频率分辨率，但是从（6-103）式可以看出，其T0并不增加，即F0

并不减少，即模拟频率分辨率并没有提高。因为，在序列x(n)后面补零，实际并没有增加信号的有效记录长度T0

，如果T0

不增加，则F0

也不会减少，当然也就不会提高模拟频率分辨率。例6-10：

设由频率为49Hz和51Hz合成信号为：就取不同点数N比较频谱分析结果。6.8.3频率分辨率2024/10/1690解：采样频率选择为200Hz对x(t)离散化，得到x(n)为：（a）对x(n)只取N=50个点的长度信号，得到x1(n)及其频谱如图6-28（a）所示。6.8.3频率分辨率2024/10/1691（b）对x(n)仍然只取N=50个点的长度信号，但是在后面添加150个零得到x2(n)及其频谱如图6-28（b）所示。6.8.3频率分辨率2024/10/1692（c）对x(n)取满N=200个点的长度信号，得到x3(n)及其频谱如图6-28（c）所示。可以清楚看到两根谱线2024/10/1693在利用DFT分析连续时间信号的频谱时，其分析的结果是近似的，存在频谱混叠、频谱泄露、栅栏效应的问题，还要考虑模拟信号频率分辨率。该如何选择相关参数，才能使分析结果满足工程实际的要求，这是必须要解决的问题。6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择然后，要确定信号频谱分析的模拟频率分辨率F0，这个是分析的目标，一般按工程实际要求给定。对被分析连续时间信号，首先要确定其最高有效频率

fm，这个参数通常情况下会由工程实际给定。也可依实际信号估计，如取信号的最短上升或下降时间td作为最高频率分量的半周期，有：2024/10/1694再依采样定理确定信号的最低采样频率：6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择由模拟频率分辨率确定信号有效记录长度为：进一步可确定采样记录点数为：例6-11对于由频率为49Hz和51Hz合成的信号：确定DFT频谱分析所需参数。6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择2024/10/1695设要分辨49Hz和51Hz两个频点，取模拟频率分辨率为：

F0=1Hz；解：信号的最高频率为：fm=51Hz；可得采样频率为：最后可得采样点数为：可得信号有效记录长度为：6.9离散时间系统的频域分析2024/10/16966.9.1离散时间系统的频率响应

对任意离散周期信号，利用DFS可以将其表示为虚指数信号

的线性组合，如（6-4）式，对任意离散非周期信号，利用DTFT可以将其表示为虚指数信号

的线性组合，如（6-21）式，而且：

离散时间信号的频域分析，我们已经看到，其在信号的频谱分析方面具有重要作用，同样，在离散时间系统分析方面也具有重要作用，可以对系统的频率特性进行分析，还可以用于求取系统的零状态响应。

因此，与连续时间系统时的情况一样，将虚指数信号

称为离散时间系统分析的基本信号。6.9.1离散时间系统的频率响应2024/10/1697设LSI系统的单位样值响应为h(n)，系统输入为基本信号

时，其零状态响应为：式中的求和项正好是h(n)的DTFT，记为

，即：

称为系统的频率响应特性函数，于是，式（6-110）可以写为：（6-110）（6-111）（6-112）6.9.1离散时间系统的频率响应2024/10/1698

式（6-112）可见，一个稳定的LSI系统，对基本信号的零状态响应，是基本信号本身乘以一个与时间序数n无关的复常数

（系统单位样值响应h(n)的DTFT）。这表明LSI系统在虚指数序列

信号的激励下，系统的输出仍然为同频率的虚指数序列，只是幅值和相位发生了改变。

通常，

是Ω的连续复函数，将其写成模与幅角的形式，有：

则称

为系统的幅频特性，称

为系统的相频特性。

由于h(n)是实序列，故由DTFT的奇偶性可知：

系统的幅频特性是Ω的偶函数，相频特性是Ω的奇函数。6.9.1离散时间系统的频率响应2024/10/1699对于

的求取，当已知系统的h(n)时，可由（6-111）式求取，即：对该式两边取DTFT，并利用时移特性，有：即：离散时间LSI系统的差分方程一般式为：当已知系统的差分方程时，可由对差分方程两边取DTFT求取。6.9.1离散时间系统的频率响应2024/10/16100【例6-12】

已知离散时间因果稳定LSI系统的单位样值响应为（1）求系统的频率响应函数

；（2）画出系统的幅频特性和相频特性曲线。解：（1）对系统的单位样值响应取DTFT，有（2）利用MATLAB软件可画出系统的幅频特性和相频特性曲线如图6-29。可见，系统具有高通滤波特性。将得到的

取DTFT反变换，即得到系统的零状态响应序列，即：6.9.2离散时间系统的零状态响应2024/10/16101已知，LSI系统对任意输入序列

x(n)的零状态响应为：

由（6-114）式可见，把时域的卷积运算转化为频域的乘积运算，这为系统响应的求取带来了极大地方便。

工程实际中，一般利用DFT计算，其运算过程如图6-30所示。对该式两边取DTFT，并利用时域卷积特性有：（6-114）（6-113）6.9.2离散时间系统的零状态响应2024/10/16102

由图6-30可见，要计算

，需要做两次DFT变换、一次乘法运算和一次IDFT变换。其计算过程比直接利用（6-113）式的卷积复杂，但是，由于DFT有快速算法FFT和IFFT，从而使依图（6-30）的运算比利用（6-113）式的运算所需的时间要少得多。DFTDFTIDFTx(n)h(n)X(k)H(k)Yzs(k)yzs(n)6.9.2离散时间系统的零状态响应2024/10/16103例6-13：

已知离散时间因果稳定LSI系统的差分方程为：（a）求系统的单位样值响应；（b）当

时，求系统的零状态响应。整理得：解：（a）对差分方程两边取DTFT，有：6.9.2离散时间系统的零状态响应2024/10/16104（b）由

得到：6.10电力系统谐波分析2024/10/161056.10.1信号的表示电力系统的交流电是频率为50Hz的工频正弦信号，实际系统中还有频率为工频的整数倍频率的谐波，进行谐波分析，就是要从实际的电力系统交流信号中分析出工频信号及谐波信号的具体参数。设电力系统交流信号的表达式为：式中，L为拟分析的谐波最高次数。这里，我们假定：（6-119）6.10.1信号的表示2024/10/16106利用MATLAB画出x(t)的波形,如图6.31所示。%信号的表示w0=2*pi*50;t=0:0.00001:0.04;xt1=10*sin(w0*t+0.1*pi);xt2=5*sin(w0*t*5+0.2*pi);xt3=3*sin(w0*t*9+0.3*pi);xt4=sin(w0*t*13+0.4*pi);x=x1+x2+x3+x4; %定义x(t)plot(t,x); %画x(t)xlabel('t/s');title('x(t)');gridon;6.10.2信号的采样2024/10/16107电力系统谐波是工频（50Hz）的整数倍。故可知频率分辨率为

确定采样时长至少为：再由要分析测量的最高次谐波要求，比如(6-1119)式设为13次，可知被测信号的最高频率为

fmax=650Hz。采样定理要求:故可得最少采样点数为:按此参数，对图6.31的信号采样，得到波形如图6.32所示。（6-120）我们先取：6.10.2信号的抽样6.10.2信号的采样2024/10/16108%信号的抽样w0=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=65;n=0:1:N-1;xt1=10*sin(w0*t+0.1*pi);xt2=5*sin(w0*t