信号与系统第2版 课件 5离散时间信号与系统的时域分析

信号与系统主讲：严国志信号与系统

课程目录第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的Z域分析2024/10/162第5章

离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析典型离散时间信号及其基本特性离散时间信号的基本运算离散时间系统的数学模型和性质离散时间系统的响应单位样值响应和单位阶跃响应离散系统的卷积和单位样值响应表示的系统特性5.2典型离散时间信号及其特性离散时间信号的表示基本离散时间序列

实指数序列

虚指数序列和正弦序列

复指数序列

单位脉冲序列

单位阶跃序列5.2离散时间信号的表示(1)图解表示离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故用x(n)表示在nT的值.

注意：n只能取整数，对于非整数，n没有意义。T为采样间隔，nT不仅代表采样时刻，而且代表前后顺序。省略T5.2离散时间信号的表示(2)有序序列表示表示n=0的位置5.2离散时间信号的表示(3)解析式表示5.2离散时间信号的表示离散序列的产生(1)对连续信号抽样

x(n)=x(nT),T为采样间隔(2)信号本身是离散的(3)计算机产生5.2离散时间信号的表示也称单位脉冲序列，是一个普通函数(1)单位样值序列延迟m个单位10123┅n5.2离散时间信号的表示任一序列可以分解为单位样值序列的线性加权之和乘积性质5.2离散时间信号的表示抽样性质偶函数5.2离散时间信号的表示(2)单位阶跃序列------差分关系------求和关系------微分关系------积分关系5.2离散时间信号的表示n=-5:1:5;x=0*(n<0)+1*(n>=0);stem(n,x,'filled');axis([-6,6,-0.2,1.2])5.2离散时间信号的表示(3)单位矩形序列5.2离散时间信号的表示(4)正弦序列（包络为正、余弦）正弦型序列是包络为正、余弦变化的序列34567012891011125.2离散时间信号的表示为周期周期序列:如果存在一个最小的正整数N,满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期性序列,N为周期。5.2离散时间信号的表示正弦序列讨论正弦序列的周期性正弦序列为周期序列，且其周期为若为周期函数，则即则5.2离散时间信号的表示三种情况讨论为整数时，只需即为最小正整数，此时正弦序列的周期就是是一个有理数时，由于有理数可以表示为有理分数才为最小正整数只有为无理数时，则任何m值均不能使N为正整数。5.2离散时间信号的表示离散信号和连续信号的区别在于时间上和图形的绘制上，所以适合连续信号的函数基本上适合离散信号，时间上不同，如k=-3:3图形上不同，不用plot绘图，而用stem绘图。正弦序列的表示w=pi/10;n=0:50;f=sin(w.*n);stem(n,f,’filled’);axis([050-1.21.2]);gridon;title('抽样序列w=pi/10');5.2离散时间信号的表示例为数字域频率,单位是rad数字域频率是模拟域频率对采样频率取归一化值对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列。为采样周期抽样角频率5.2离散时间信号的表示例5-1：判断下面离散信号是不是周期序列。(1)故离散序列的周期N=12(2)由于12π不是有理数，故离散序列是非周期的(3)对，以抽样所得序列由于8/3是不可约的有理数，故离散序列的周期为85.2离散时间信号的表示5.2离散时间信号的表示(5)指数序列实指数序列5.2离散时间信号的表示虚指数序列数字频率不仅与模拟频率有关，而且和抽样间隔T相联系数字角频率W与模拟角频率w之间的关系为

W=wT两者区别：虚指数序列

x(n)=ejWn不一定为周期序列。

而连续虚指数信号x(t)=ejwt必是周期信号。5.2离散时间信号的表示复指数序列5.3离散时间信号的基本运算序列相加序列相乘序列位移序列差分与求和序列翻转序列尺度变换5.3离散时间信号的基本运算1.序列的和同序号(n)

的序列值逐项对应相加得一新序列。5.3离散时间信号的基本运算序列相乘指若干离散序列序号相同的数值相乘标量乘以序列为序列的每一项乘以标量5.3离散时间信号的基本运算2.序列移位表示将左移m个单位表示将右移m个单位5.3离散时间信号的基本运算3.序列的差分序列的一阶前向差分运算（先左移后相减）序列的一阶后向差分运算（先右移后相减）5.3离散时间信号的基本运算序列的N阶前向差分运算序列的N阶后向差分运算单位脉冲序列可用单位阶跃序列的差分表示5.3离散时间信号的基本运算4.序列的累加即表示n以前的所有x(n)的和。序列的累加运算对应着连续信号的积分运算。5.3离散时间信号的基本运算5.序列反折表示以n=0为对称轴将翻转而成的序列5.3离散时间信号的基本运算6.序列尺度变换抽取M为正整数序列每M点取一点形成的，即时间轴n压缩了M倍5.3离散时间信号的基本运算内插L为正整数在序列两点之间插入L-1个零值点5.3离散时间信号的基本运算对于离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。5.3离散时间信号的基本运算反折后位移：逐项左移（时延）m位逐项右移（时延）m位位逐项左移（时延）位逐项右移（时延）对比：5.3离散时间信号的基本运算任意序列可以分解为单位脉冲序列及其位移的加权和7.离散序列分解为脉冲序列的线性组合5.3离散时间信号的基本运算例如：5.4离散时间系统的数学模型与基本性质离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号离散时间系统的数学模型是差分方程式。映射关系5.4离散时间系统的数学模型与基本性质1、线性具有线性特性的离散时间系统可表示为离散系统x2(n)y2(n)离散系统x1(n)y1(n)线性（均匀性和叠加性）离散系统线性系统的数学模型是线性差分方程式5.4离散时间系统的数学模型与基本性质2.移不变特性移不变的离散时间系统表示为线性移不变系统可由定常系数的差分方程式描述。5.4离散时间系统的数学模型与基本性质3．因果系统与非因果系统因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因果系统。5.4离散时间系统的数学模型与基本性质4.稳定系统与不稳定系统稳定系统：指有界输入产生有界输出的系统不稳定系统：系统输入有界而输出无界若输入x(n)满足则对稳定离散系统，其输出y(n)有均为实数5.4离散时间系统的数学模型与基本性质例5-3判断其线性、移不变性和稳定性线性移变非稳定5.4离散时间系统的数学模型与基本性质

对于离散(时间)系统，自变量n是时间离散的整型值,输入输出序列值定义在这种离散点上，不存在导数和微分的概念，因而只能用信号相邻两点处的值之差表示它们的变化，即用差分代替微分表示函数的变化率。因此，离散系统的行为和性能描述，不能象对待连续时间系统那样，再用微分方程来描述，而必须用差分方程进行描述。5.4离散时间系统的数学模型与基本性质LSI离散系统的数学模型——常系数线性差分方程LSI离散系统满足可分解、叠加、比例以及时不变特性基本运算可以由基本运算单元实现LSI离散系统的基本运算有延时（移序）、乘法、加法差分方程的阶数：输出序列y(n)的变量序号最高与最低值之差。N阶向后差分方程N阶向前差分方程5.4离散时间系统的数学模型与基本性质构成离散系统的基本运算单元是延时器、乘法器、加法器延时器加法器y(n)y(n-1)DD表示单位移位或单位延时x(n)

x(n)+y(n)y(n)乘系数ay(n)

ay(n)y(n)

ay(n)ay(n)

ay(n)5.4离散时间系统的数学模型与基本性质例5-4:

系统方框如图所示，写出其差分方程。仅差一个移位序列，是常系数一阶后向差分方程x(n)

ay(n)解:围绕加法器建立差分方程：该离散系统的输入输出关系为：

+5.5离散时间LTI系统的响应迭代法求系统响应经典时域法求系统响应零输入响应和零状态响应卷积法求系统响应5.5离散时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的数学模型系统响应求解方法1、迭代法2、经典时域分析方法3、零输入+零状态法系统完全响应=零输入响应+零状态响应5.5.1迭代法已知N个初始条件{y(-1),y(-2),…,y(-N)}和输入x(n)，由差分方程迭代出系统的输出5.5.1迭代法例5-5：一阶线性常系数差分方程y(-1)=1，用迭代法求解差分方程解：将差分方程写成：带入初始条件，可求得以此类推缺点：很难得到闭合形式的解5.5.2经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(n)和特解yp(n)组成:齐次解yh(n)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(n)的形式由方程右边激励信号的形式确定5.5.2经典时域分析方法齐次解的形式（1）特征根是不等实根（2）特征根是相等实根（3）特征根是成对共轭复根5.5.2经典时域分析方法常用激励信号对应的特解形式5.5.2经典时域分析方法例5-7：已知某二阶线性常系数差分方程初始条件y(0)=0，y(1)=-1，输入信号求系统的全响应y(n)例：1)求齐次解特征方程为特征根为齐次解为5.5.2经典时域分析方法2)求特解由输入，设方程的特解形式为将特解代入原差分方程即可求得常数A=0.53)求方程的全解解得5.5.2经典时域分析方法经典法不足之处若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解若初始条件发生变化，则须全部重新求解这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念5.5.3零输入响应和零状态响应系统完全响应=零输入响应+零状态响应1、零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数5.5.3零输入响应和零状态响应例5-8：已知某线性时不变系数的动态方程式为系统的初始条件y(-1)=-4/3，y(-2)=10/9，求系统的零输入响应例：系统的特征方程为

系统的特征根为解得5.5.3零输入响应和零状态响应例5-9：已知某线性时不变系数的动态方程式为输入为，系统的初始条件y(0)=-1，y(1)=0，求系统的零输入响应例：系统的特征方程为

系统的特征根为根据初始条件和方程可推导5.5.3零输入响应和零状态响应解得5.5.3零输入响应和零状态响应2、零状态响应当系统的初始状态为零，由系统的外部激励x(n)产生的响应称为零状态响应，用表示求解系统零状态响应的方法：1）迭代法2）直接求解初始状态为零的差分方程3）卷积法

利用信号分解和线性时不变系统的特性求解5.5.3零输入响应和零状态响应经典法求解系统零状态响应的思路5.5.3零输入响应和零状态响应解：特解为代入非齐次方程得：零状态响应齐次解为例5-10：已知某线性时不变系数的动态方程式为输入为，y(-1)=1，y(-2)=1，求系统的零状态响应5.5.3零输入响应和零状态响应代入得5.5.3零输入响应和零状态响应如果非齐次方程右边只含有一项，不含有的移位序列项，也可以通过利用初始状态求解待定系数。解得5.5.3零输入响应和零状态响应如果非齐次方程右边不仅含有，还含有的移位序列项，就先计算出单个作用下系统的零状态响应，然后利用线性移不变特性求出整个系统的零状态响应。5.5.3零输入响应和零状态响应全响应两种分解方式之间的联系不随n的增加而消失的分量为稳态响应，随n的增加而消失的分量为暂态响应5.5.3零输入响应和零状态响应离散时间系统零状态响应的求解 b,a分别是差分方程左、右端的系数向量b=[b0,b1,b2,

,bM];a=[a0,a1,a2,

,aN];可用MATLAB表示为y=filter(b,a,x)或dlsim(b,a,x)x表示输入序列,y表示输出序列5.5.3零输入响应和零状态响应例5-11：线性时不变系统差分方程为求激励为

的零状态响应程序如下：b=[1,1,0];a=[1,-5/6,1/6];N=20;n=0:20;fn=0.5.^n;yn1=dlsim(b,a,fn);subplot(211),stem(n,yn1,'filled');xlabel(‘n');ylabel('y(n)');title('dlsim');yn2=filter(b,a,fn);subplot(212),stem(n,yn1,'filled');xlabel(‘n');ylabel('y(n)');title('filter');5.5.3零输入响应和零状态响应5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应单位样值响应h(n)定义h(n)的求解

迭代法

等效初始条件法单位阶跃响应s(n)的求解5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应1、单位样值响应h(n)定义单位脉冲序列δ(n)作用与离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位样值响应，用符号h(n)表示。对N阶LTI离散时间系统，h(n)满足方程5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应2、h(n)的求解1）迭代法2）等效初始条件法将δ(n-j)对系统的瞬时作用，转化为系统的等效初始条件等效初始条件由差分方程和h(-1)=h(-2)=…=h(-N)=0递推求出5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应用迭代法求此LSI系统的单位样值响应例5-12：某离散系统的差分方程为解：归纳得5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应求此离散因果系统的单位样值响应等效初始条件法与叠加原理例5-13：解：5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应3、单位阶跃响应单位阶跃序列ε(n)作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号s(n)表示求解方法：1）迭代法2）经典法3）利用单位阶跃响应与单位样值响应的关系5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应例5-14

:已知一零状态因果系统的差分方程为解：求系统的h(n)和s(n)5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应离散时间系统单位样值响应的求解b,a分别是差分方程左、右端的系数向量k表示输出序列的取值范围h就是单位样值响应h=impz(b,a,k)或dimpulse(b,a,k)s=dstep(b,a,k)或stepz(b,a,k)离散时间系统单位阶跃响应的求解5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应例5-15：差分方程

的单位样值响应和单位阶跃响应程序如下b=[1,1,0];a=[1,-5/6,1/6];N=20;hn=dimpulse(b,a,N);n=0:N-1;subplot(211),stem(n,hn,'filled');xlabel(‘n');ylabel('h(n)');title('dimpulse');subplot(212)sn=dstep(b,a,N);stem(n,sn,'filled');xlabel(‘n');ylabel('s(n)');title('dstep');figuresubplot(211),impz(b,a,N);subplot(212),stepz(b,a,N);5.6离散系统的单位样值响应和单位阶跃响应5.7离散系统的卷积和图解法计算卷积和列表法计算卷积和卷积的性质

交换律

结合律

分配律

位移特性

差分和求和特性5.7.1卷积和的定义和计算离散序列卷积的典型表达形式为均为有限长序列非零点数非零区5.7.1卷积和的定义和计算矩阵形式特殊的,为长度为N的因果信号，为长度为M的因果信号5.7.1卷积和的定义和计算1.利用定义式直接计算卷积解：对于例5-16：求5.7.1卷积和的定义和计算2.图解法计算卷积和卷积和定义为计算步骤将x(n)、h(n)中的自变量由n改为m；把其中一个信号翻转，如将h(m)翻转得h(-m)把h(-m)平移n，n为参变量。n>0图形右移，n<0图像左移将x(m)与h(n-m)重叠部分相乘对乘积后的图形求和5.7.1卷积和的定义和计算例5-17：已知，计算解：5.7.1卷积和的定义和计算n<0，与图形没有相遇，与图形相遇5.7.1卷积和的定义和计算，与图形相遇，与图形相遇5.7.1卷积和的定义和计算，与图形相遇，与图形没有相遇5.7.1卷积和的定义和计算5.7.1卷积和的定义和计算3.列表法计算序列卷积和设x(n)和h(n)都是因果序列，则有当n=0时，当n=1时，当n=2时，当n=3时，以上求解过程可以归纳成列表法5.7.1卷积和的定义和计算将h(n)的值顺序排成一行，将x(n)的值顺序排成一列，行与列的交叉点计入相应x(n)和h(n)的乘积对角斜线上各数值就是x(m)h(n-m)对角斜线上各数值的和就是y(n)的值5.7.1卷积和的定义和计算例5-18：计算与的卷积和5.7.1卷积和的定义和计算4.使用对位相乘求和法求卷积步骤：两序列右对齐→逐个样值对应相乘但不进位→同列乘积值相加（注意n=0的点）5.7.1卷积和的定义和计算5.7.1卷积和的定义和计算c=conv(a,b)式中a,b为待卷积两序列的向量表示，c是卷积结果。5.7.1卷积和的定义和计算程序如下：clearn1=0:10;xn1=sin(n1);n2=0:15;xn2=0.8.^n2;yn=conv(xn1,xn2);subplot(311),stem(n1,xn1,'filled');xlabel(‘n');title(‘xn1');subplot(312),stem(n2,xn2,'filled');xlabel(‘n');title(‘xn2');n=n1(1)+n2(1):n1(end)+n2(end);subplot(313),stem(n,yn,'filled');xlabel(‘n');title('yn');例5-20：5.7.1卷积和的定义和计算