江苏省苏州市实验初中集团2024-2025学年八年级上学期十月月考数学试卷

苏州实验初中教育集团2024-2025学年第一学期阳光测评初二数学2024.10试卷分值：130分考试用时：120分钟一．选择题（共8小题，每小题3分）1．下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．﹣81的平方根是﹣9 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的平方根是±9 D．立方根等于它本身的数是±1和03．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE4．如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（）三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点D．三角形三条中线的交点5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：4：66．如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°7．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5 B．3 C． D．8．已知，如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④二．填空题（共8小题，每小题3分）9．等腰三角形的一边长为5，另一边长为11．则它的周长为．10．小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为．11．已知|＝0，则x+y的平方根是．12．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是尺．（1丈＝10尺）13．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为度．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，则PB+PD的最小值为．16．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为．三．解答题（共10小题，共82分）17．（8分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）3＝27．18．（6分）已知某正数x的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，y的立方根是﹣3．z是的整数部分．求x+y﹣2z的平方根．19．（8分）如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．（1）画出△ABC关于直线n对称的△A'B'C'；（2）在直线m上作出点P，使得△APB的周长最小；（保留作图痕迹）（3）在（2）的条件下，图中△APB的面积为．（请直接写出结果）20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．22．（8分）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．23．（8分）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向52km的B处，正以8km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD＝20km，（1）台风中心从B点移到D点经过多长时间？（2）如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为；（用含t的代数式表示）（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．25．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．●特例感知①等腰直角三角形勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．●深入探究如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；●推广应用如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转90°，E点旋转至点F．（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；（2）如图2，连接BF交AC于D点，若，求证：CE是BE的2倍；（3）E是射线CB上一点，直线BF交直线AC于D点，若，则＝。参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．C．2．D．3．B．4．C．5．D．6．B．7．B．8．D．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．2710．2111．±212．4.5513．135°14．3415．1216．三．解答题（共1小题，满分82分）17．(4分)（1）x＝±；（4分）（2）x＝4．18．（6分）x+y﹣2z的平方根是±4．19．（8分）解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）如图所示，点P即为所求；（3）S﹣＝2，20．（6分）解：延长AB，作CD⊥AB的延长线于点D，∵∠A＝∠C＝15°，AB＝5，∴BC＝AB＝5，∠DBC＝∠A+∠BCA＝30°，∴，∴△ABC的面积为：．21．（8分）（1）证明：连接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．22．（8分）证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°．∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（AAS）．∴OD＝OE．在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC．23．（8分）解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，AB＝52km，AD＝20km∴，∴48÷8＝6小时，即台风中心从B点移到D点需要6小时；（2）以A为圆心，以25km为半径画弧，交BC于P、Q，则A市在P点开始受到影响，离开Q点恰好不受影响（如图），由题意，AP＝25km，在Rt△ADP中，，∵AP＝AQ，∠ADB＝90°，∴DP＝DQ，∴PQ＝30km，∴30÷8＝3.75（小时）∴A市受台风影响的时间为3.75小时．24．（10分）解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴由勾股定理得：，∵已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．（2）过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴PC⊥BC，∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，∴PC＝PM，又∵PB＝PB，∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL），∴CB＝MB，∴AM＝AB﹣MB＝AB＝BC＝5﹣3＝2，设PM＝PC＝x，则AP＝4﹣x，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：，，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为．（3）当AB作为底边时，如图所示：则PA＝PB，设PA＝a，则PC＝AC﹣AP＝4﹣a，在Rt△PCB中，PB2＝PC2+CB2，a2＝（4﹣a）2+32，解得：，此时；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时；AB＝BP2时，∵BC⊥AP2，∴AP2＝2AC＝8，此时t＝8÷2＝4，综上分析可知，t的值为或或4．25．（10分）解：●特例感知：①是．②CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，∴CD＝．●深入探究：如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，∴AD2＝CB2，即AD＝CB；●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，∴△AGD≌△CDB（AAS），∴DG＝BD．易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．又AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝EC＝a，∴ED＝2a．26．（10分）（1）证明：如图1，由旋转的性质得：AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠EAC+∠DAG＝90°，∵FG⊥AC，∴∠FGA＝90°，∴∠ADG+∠FAG＝90°，∴∠EAC＝∠FAG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS）；（2）证明：如图2，过点F作FG⊥AC于G点，∴∠FGD＝∠C＝90°，由（1）知△AGF≌△ECA，∴GA＝CE，FG＝AC，∵AC＝BC，∴FG＝BC，在△FDG和△BDC中，，∴△FDG≌△BDC（AAS），∴GD＝CD，∵，∴AD＝5CD，设CD＝a，则AD＝5a，GD＝a，∴AG＝AD﹣GD＝4a，AC＝AD+CD＝6a，∴CE＝AG＝4a，BC＝AC＝6a，∴BE＝BC﹣CE＝2a，∴，即CE是BE的2倍；（3）如图3，当点E在线段CB上时，过点F作FG⊥AC于G点，∵，∴设BC＝5x，BE＝3x，∴CE＝BC﹣BE＝2x，由（1）知△AGF≌△ECA，∴GA＝CE＝2x