第2章 专题三 一元二次方程根的判别式的应用(习题教学设计)2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

第2章专题三一元二次方程根的判别式的应用(习题教学设计)2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第2章专题三一元二次方程根的判别式的应用(习题教学设计)2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)教材分析《第2章专题三一元二次方程根的判别式的应用》是北师大版九年级上册数学课程中的重要组成部分，本章主要围绕一元二次方程根的判别式进行深入探讨。通过学习判别式的计算与应用，使学生能够准确判断一元二次方程的根的情况，进一步理解一元二次方程的解的性质，为解决实际问题奠定基础。课程设计注重与课本内容的关联性，紧密联系实际，选取典型习题，提高学生分析问题和解决问题的能力。核心素养目标二、核心素养目标：通过学习一元二次方程根的判别式的应用，培养学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。使学生能够运用判别式对一元二次方程的根进行分类讨论，提高数据分析和问题解决能力；引导学生将实际问题抽象为一元二次方程模型，培养学生的数学抽象思维；通过解决实际应用问题，激发学生的创新意识，形成数学应用于生活的意识。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：在进入本章节学习之前，学生已掌握一元二次方程的基本概念、解法和性质，能够求解标准形式的一元二次方程，并理解判别式的定义及其基本性质。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生正处于青春期，对逻辑推理和问题解决具有较高兴趣，具备一定的抽象思维能力。学生的学习能力较强，但学习风格各异，部分学生擅长理论分析，另一部分学生则更倾向于实际操作。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习判别式应用过程中，学生可能对如何将实际问题抽象为一元二次方程模型感到困惑；此外，对于复杂的一元二次方程，学生在运用判别式进行分类讨论时，可能会出现计算错误或理解偏差等问题。部分学生可能对判别式在不同情境下的应用感到不适应，需要教师在教学中关注并给予指导。教学资源准备四、教学资源准备：1.教材：确保每位学生备有北师大版九年级上册数学教材，提前布置学生预习本章内容。2.辅助材料：准备一元二次方程根的判别式的应用实例图片、图表以及相关教学视频，以便于学生直观理解。3.实验器材：无需特殊实验器材。4.教室布置：将教室划分为讲解区、讨论区和学生展示区，便于开展小组讨论和问题解答活动，同时设置黑板或投影仪用于展示教学内容。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对一元二次方程根的判别式的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道一元二次方程的根的判别式是什么吗？它在我们的数学学习中有什么重要作用？”

展示一些关于一元二次方程根的判别式的应用实例图片，让学生初步感受判别式的实际意义。

简短介绍判别式的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.判别式基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生掌握一元二次方程根的判别式的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解判别式的定义，包括其数学表达形式和含义。

详细介绍判别式的组成部分及其在一元二次方程求解过程中的作用，使用图表或示意图帮助学生理解。

通过实例，让学生更好地理解判别式在判断一元二次方程根的性质时的实际应用。

3.判别式案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解判别式的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的一元二次方程根的判别式案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、计算过程和结论，让学生全面了解判别式的应用方法。

引导学生思考这些案例对实际生活和学习的意义，以及如何运用判别式解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论判别式在解决一元二次方程问题中的其他潜在应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与一元二次方程根的判别式相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的数学原理、实际应用和可能的拓展问题。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对判别式的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的理解、应用和拓展。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调判别式的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括判别式的定义、计算方法、案例分析和小组讨论。

强调判别式在解决一元二次方程问题中的关键作用，鼓励学生在日常生活中发现和创造数学模型。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于一元二次方程根的判别式的应用短文，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

为学生提供与一元二次方程根的判别式相关的拓展学习资源，包括：

-数学故事：介绍一元二次方程的历史发展和数学家故事，如古埃及的“莱因德纸草书”中的二次方程解法。

-数学游戏：设计一些包含一元二次方程根的判别式的数学游戏，如“判别式猜猜看”等，提高学生兴趣。

-实际问题：收集一些涉及一元二次方程根的判别式的实际问题，如物体自由落体运动中的最大高度计算等。

-数学竞赛题目：选取一些与判别式相关的数学竞赛题目，提升学生的解题技巧和思维能力。

2.拓展建议：

针对不同学生的学习需求，提供以下拓展学习建议：

-对于基础薄弱的学生：重点复习一元二次方程的基本概念和解法，通过多做练习题来巩固判别式的计算和应用。

-对于学有余力的学生：鼓励他们探索判别式在其他数学分支（如代数、几何等）中的应用，提高数学素养。

-对于对数学有深厚兴趣的学生：推荐阅读一些数学家关于一元二次方程的研究论文或著作，了解判别式在数学发展中的地位和作用。

-鼓励学生参加数学社团或竞赛小组，与小组成员共同探讨一元二次方程根的判别式的高级问题和拓展题目，提升团队协作和问题解决能力。板书设计①重点知识点：

-一元二次方程的一般形式

-判别式的定义与计算公式

-判别式与方程根的关系

-判别式的应用场景

②重点词、句：

-判别式（Discriminant）

-根的性质（两个根、一个根、无实根）

-实例分析（具体案例的判别式计算）

-解决实际问题（运用判别式解决实际方程）

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色的粉笔，突出重点知识点和关键词。

-判别式的计算公式用大号字体书写，并配以图形或箭头，指示计算步骤。

-设计有趣的判别式“猜猜看”游戏，将游戏规则和结果以图表形式展示在板书上。

-结合实际案例，用简笔画或漫画形式展示问题情境，增加趣味性。

-在板书边缘或空白处，添加与一元二次方程相关的数学名言或趣味数学小故事，激发学生的学习兴趣。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.一元二次方程根的判别式是判断方程根性质的重要工具，其计算公式为：Δ=b²-4ac。

2.根据判别式的值，一元二次方程的根可以分为三种情况：两个不相等的实数根（Δ>0），两个相等的实数根（Δ=0），无实数根（Δ<0）。

3.通过实际案例的分析，我们学会了如何将实际问题抽象为一元二次方程模型，并运用判别式解决问题。

4.小组讨论加深了对判别式的理解，也锻炼了我们的合作能力和问题解决能力。

当堂检测：

1.请写出判别式的计算公式，并解释其中每个字母的含义。

2.给定一元二次方程ax²+bx+c=0，根据判别式Δ的值，判断以下方程的根的情况：

-Δ=9，方程的根是什么？

-Δ=0，方程的根是什么？

-Δ=-4，方程的根是什么？

3.以下是一元二次方程的一个实际问题，请使用判别式帮助解决：

-某物体的自由落体运动，其位移与时间的关系可以表示为h=5t²+10t+3，其中h是位移（米），t是时间（秒）。请计算物体在什么时间达到最高点。

4.小组讨论题：如果你遇到了一个一元二次方程问题，但不知道如何应用判别式，你会采取哪些步骤来解决这个问题？

答案与解析：

1.判别式计算公式：Δ=b²-4ac。其中a、b、c分别是一元二次方程ax²+bx+c=0的系数。

2.根据判别式Δ的值判断方程根的情况：

-Δ=9，方程有两个不相等的实数根。

-Δ=0，方程有两个相等的实数根。

-Δ=-4，方程无实数根。

3.解答实际问题：

-将h=5t²+10t+3转化为标准形式，得到h=5(t+1)²-2，由此可知物体在t=-1时达到最高点，但时间不能为负，所以这个问题在实际情况中无解，可能是题目设定有误。

4.小组讨论题：学生可以提出通过绘制图像、使用求根公式、分解因式等方法来尝试解决问题，并讨论这些方法的优缺点。教学反思在今天的课堂中，我们探讨了一元二次方程根的判别式的应用，我注意到学生们在理解判别式的基本概念上表现得相当不错。他们能够快速地掌握判别式的计算公式，并在实例分析中准确地运用它来判断方程的根的性质。这一点让我感到很欣慰，因为判别式的理解是一元二次方程学习中的重点也是难点。

不过，我也发现了一些需要改进的地方。在小组讨论中，虽然学生们积极参与，但有些小组在讨论问题的深度上还有所欠缺。我意识到，可能需要我在未来的教学中，更多地引导学生们如何深入思考问题，如何将理论知识与实际问题结合起来。

此外，我在课堂展示环节观察到，一些学生在表达自己的观点时显得不够自信。我想，这可能是因为他们在准备过程中没有得到足够的支持和鼓励。因此，我打算在接下来的课程中，更多地给予学生正面的反馈和鼓励，帮助他们建立起自信。

我还注意到，判别式的艺术性和趣味性板书设计似乎激发了学生们的学习兴趣。他们对于板书上的一些有趣的数学小故事和谜题表现出了极大的好奇心。这让我意识到，在教学中融入趣味性元素对于提高学生的学习积极性是非常有帮助的。

对于当堂检测的部分，我发现学生们在回答判别式的计算和应用问题时表现得相对扎实，但在解决与实际生活相关的问题时，一些学生的思路还不够清晰。这告诉我，在未来的教学中，我需要更多地引入实际情境，让学生们学会如何将数学知识应用到解决现实问题中去。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《一元二次方程的历史与发展》

-视频资源：《一元二次方程在物理学中的应用》

2.拓展要求：

-阅读材料：要求学生阅读并总结一元二次方程的历史发展及其在数学领域的地位，思考一元二次方程的发展对现代数学的影响。

-视频资