福建省泉州科技中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题

PAGE高一下学期数学期中考试卷第=2页，共4页PAGE14福建省泉州科技中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题留意事项：①本试卷分第I卷、第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟．②选择题、填空题答案表在答题卡中，请按要求作答．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）设向量，，则

A.B.C. D.与的夹角为若复数为纯虚数，则的值为

A.1 B. C.i D.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为

A. B. C. D.如图，在中，点D在BC边上，，，，则sinB的值为

B.C.D.在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为，，则，在长方体中，对角线与棱AB，AD，所成的角分别为，，，与平面AC，平面，平面所成的角分别为，，，则下列说法正确的是

；

；

；

．A. B. C. D.我国古代人民早在几千年以前就已经发觉并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，E为BF的中点，则 B.C. D.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是

A. B. C. D.在中，，，，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为

A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）设向量，则下列叙述错误的是

A.若，则与的夹角为钝角B.的最小值为2

C.与垂直的单位向量为D.若，则已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是

A.对应的点在复平面的其次象限B.C.的实部为 D.的虚部为对于，有如下命题，其中错误的是

A.若，则为锐角三角形

B.若，，B=30°，则的面积为

C.P在所在平面内，若，则P是的重心

D.若，则为等腰三角形如图，直三棱柱中，全部棱长均为1，点E为棱上随意一点，则下列结论正确的是

A.直线与直线BE所成角的范围是

B.在棱上存在一点E，使平面

C.若E为棱的中点，则平面ABE截三棱柱所得截面面积为

D.若F为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为

第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.设复数，则

．已知向量，，若，则_____．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，现有如下四个结论：平面三棱锥的体积为定值异面直线AE，BF所成的角为定值．其中正确结论的序号是

．已知三边长分别为3，，，P是平面ABC内随意一点，则的最小值是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。如图，在中，，E是的中点，设，．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若，，且与的夹角为，求．

从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答

在中，角所对的边分别为满意条件______

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若，，求b的值．

注：第一问多种选择作答依据第一种选择解答判分

如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC．（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面并说明理由．

在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F为AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：平面BEF；

（Ⅱ）求证：．

某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，，，在E处安装路灯，且路灯的照明张角已知．（Ⅰ）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（Ⅱ）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．

如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明G是AB的中点；（Ⅱ）在答题卡第22题图中作出点E在平面PAC内的正投影说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积．

答案和解析1.【答案】C

【解答】

解：因为故A错误

因为，，所以，所以与不共线，故B错误

因为，，

所以

因为，所以，故D错误

因为，，所以，

所以，故C正确．

故选C．

2.【答案】D

【解答】

解：复数为纯虚数，

，解得．

又，，

则．

故选D．

3.【答案】A

【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，

所以棱台的斜高为：．

所以棱台的侧面积是：．

故选：A．

4.【答案】B

【解答】解：因为，，

所以为等边三角形，

所以，，

所以，

由余弦定理可得：

，

所以，

由正弦定理可得

，

故选B．

5.【答案】D

【解答】

解：由已知，

，

所以错，对；

，

所以，对

，

所以，对．

故选D．

6.【答案】A

【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．

不妨设，，则．

，解得．

设，则，．

，．

设，

则．

，．

，

故选：A．

7.【答案】D

【解答】

解：因为，，

易知三角形ABC为等腰直角三角形，

又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，

因为三棱锥的体积，所以，

设球O的半径为r，则，

所以球O的表面积．

故选D．

8.【答案】B

【解答】解：由题意，设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

由，得，

又，得，

可得，

依据同角三角函数的基本关系得，，

由，依据正弦定理得，

又，

解得，，

所以，

因为，

所以，

又A，B，P三点共线，且P为线段AB上的动点，

所以，，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故选B．9.【答案】CD

【解答】

解：对于A、因为向量，

所以当时，且，

即与的夹角为钝角

，因此A正确；

对于B、因为，所以的的最小值为2，因此B正确；

对于C、设与垂直的单位向量为且，

所以且，解得或

因此与垂直的单位向量为或，所以C不正确；

对于D、因为，所以，解得或，所以D不正确；

故选CD．

10.【答案】BC

【解答】解：，

对应点为在第三象限，

，实部为，虚部为，

选项B，C正确，选项AD错误．

故选BC．

11.【答案】ABD

【解答】

解：对于选项A：若，则

，

由正弦定理知：，

由余弦定理知：，又因为，所以C为钝角，故A错误；

对于选项B：由余弦定理知：，

即，解得：或2，则

或，故B错误；

对于选项C：设AB的中单为D，则，因为，

所以，则P为CD的靠近D点的三等分点，由重心性质知，P为的重心，故C正确；

对于选项D：若，A，B为三角形的内角，则或，

即或，所以为等腰三角形或者直角三角形，故D错误；

故选ABD．

12.【答案】AC

【解析】解：，直线与直线BE所成角的范围可转化为直线与直线所成角的范围，又点E为棱上随意一点且是等腰直角三角形，直线与直线BE所成角的范围是，对；

作交BC于点O，连接可知四边形是平行四边形，假设平面成立，则中对的角是直角最大，这与冲突，假设不成立，错；

作交于点G，连接GA，得截面四边形ABEG是等腰梯形，直三棱柱中，所在棱长均为1且若E为棱的中点，得，，，梯形高，梯形面积即截面积为：，对；

三棱锥体积可转化为求三棱锥的体积，由图可知点E到棱的距离即为点E究竟面ABF的距离．点E为棱上随意一点，点E到棱的距离的最大值是点到的距离，底面的面积是定值，三棱锥体积的最大值为，错．

故选：AC．

直线与直线BE所成角的范围可转化为直线与直线所成角的范围，可推断选项A；

作交BC于点O，连接若平面成立，则，可分析边长推断选项B；

作交于点G，连接GA，得截面四边形ABEG，计算该四边形面积可推断选项C；

求三棱锥体积可转化为求三棱锥的体积，计算可推断选项D；

13.【答案】

14.【答案】

【解答】

解：向量，，

，

，

，，

，

．

故答案为．

15.【答案】

【解答】

解：由，，，可得平面，又平面，故可得出，此命题正确

由正方体的两个底面平行，EF在平面内，故EF与平面ABCD无公共点，故有平面ABCD，此命题正确

为定值，B到EF距离为定值，所以的面积是定值，又因为A点到平面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确

由题干图知，当F与重合时，此时E与上底面中心O重合，则两异面直线所成的角是，，当E与重合时，此时点F与上底面中心O重合，则两异面直线所成的角是，，，，由余弦定理得，，所以，所以这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，此命题错误，故答案为．16.【答案】

【解答】

解：不妨设，

则由余弦定理有，

所以，

设，

则，

，

则

，

同理，

，

所以

，

当时，取等号，

又，

当时，取等号，

所以当时，取得最小值．

故答案为．

17.【答案】解：

；

由题意可得，

，

．

18.【答案】解：选，

，

，

，

选，，

，

即，

，

，

，

选，

，

即

，

，

，

，

，

；

，

由余弦定理得

，

．

19.【答案】解：连接AE，如图，四边形ABED是正方形，F是BD的中点，是AE的中点．又G是EC的中点，．平面ABC，平面ABC，平面ABC．存在，且点P为CD的中点．理由如下：如图，取CD的中点P，连接GP，FP，，P分别为BD，CD的中点，

．又平面ABC，平面ABC，

平面ABC．又平面ABC，，

平面平面ABC．20.【答案】证明：Ⅰ连接AC交BE于O，并连接EC，FO，

，，E为AD中点，

，且，

四边形ABCE为平行四边形，

为AC中点，

又为PC中点，

．

平面BEF，平面BEF，

平面BEF．

Ⅱ连接PE，，E为AD中点，

，

，E为AD的中点，

四边形BCDE为平行四边形，

，

，

，

，PE、BE都在平面PBE内．

平面PBE，

平面PBE，

．

21.【答案】解：当重合时，

由余弦定理知，，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

因为，所以

，

在中，由正弦定理可知，，

解得；

易知E到地面的距离，

由三角形面积公式可知，，

所以，

又由余弦定理可知，，

当且仅当时，等号成立，所以，

解得．

答：路灯在路面的照明宽度为；

照明宽度MN的最小值为．

22.【答案】解：证明：为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，

平面ABC，平面ABC，

则，

又E为D在平面PAB内的正投影，

面PAB，面则，

，PD，平面PDE，

平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，

则，

又，

是AB的中点；

在平面PAB内，过点E