2024-2025学年新教材高中数学第十章概率章末检测练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第十章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．以下事务是随机事务的是()A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大【答案】C【解析】A，B，D是必定事务．故选C．2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为eq\f(2,5)，不是豆沙馅包子的概率为eq\f(7,10)，则素馅包子的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为eq\f(7,10)，所以它是素馅包子的概率为eq\f(7,10)－eq\f(2,5)＝eq\f(3,10)，故素馅包子的个数为10×eq\f(3,10)＝3.故选C．3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3.假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于()A．两地都降雪的概率 B．两地都不降雪的概率C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率【答案】C【解析】武汉和长沙两地都降雪的概率P(A)＝0.2×0.3＝0.06，故A错误；两地都不降雪的概率P(B)＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.56，故B错误；至少有一地降雪的概率P(C)＝1－(1－0.2)(1－0.3)＝0.44，故C正确；恰有一地降雪的概率P(D)＝0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38，故D错误．故选C．4．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参与一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法()A．公允，每个班被选到的概率都为eq\f(1,12)B．公允，每个班被选到的概率都为eq\f(1,6)C．不公允，6班被选到的概率最大D．不公允，7班被选到的概率最大【答案】D【解析】P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝eq\f(1,36)，P(3)＝P(11)＝eq\f(1,18)，P(4)＝P(10)＝eq\f(1,12)，P(5)＝P(9)＝eq\f(1,9)，P(6)＝P(8)＝eq\f(5,36)，P(7)＝eq\f(1,6).故选D．5．(2024年湖北高一期中)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10，则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.90 B．0.30C．0.60 D．0.40【答案】D【解析】由题意知射手在一次射击中不够8环的对立事务是射手在一次射击中不小于8环，∵射手在一次射击中不小于8环包括击中8环，9环，10环，这三个事务是互斥的，∴射手在一次射击中不小于8环的概率是0.20＋0.30＋0.10＝0.60，∴射手在一次射击中不够8环的概率是1－0.60＝0.40.故选D．6．(2024年佛山月考)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下缀2个小灯是小灯球，大灯下缀4个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共360个，小灯共1200个，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)【答案】B【解析】设小灯球有x个，大灯球有y个，依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝360，,2x＋4y＝1200，))解得x＝120，y＝240，则灯球的总数为x＋y＝360个，故这个灯球是大灯球的概率为p＝eq\f(240,360)＝eq\f(2,3).故选B．7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,8)【答案】B【解析】日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的状况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的状况只有1种，故所求概率p＝eq\f(1,10).故选B．8．(2024年广州高一期末)甲、乙两人罚球的命中率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，两人分别罚球2次，则他们共命中3次的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】依据题意得，甲、乙共命中3次的概率p＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,18)＋\f(1,36)))＝eq\f(1,6).故选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列事务中是随机事务的是()A．明年8月18日，北京市不下雨B．在标准大气压下，水在4℃时结冰C．从标有1,2,3,4的四张号签中任取一张，恰为1号签D．向量的模不小于0【答案】AC【解析】A，C为随机事务，B为不行能事务，D为必定事务．故选AC．10．一个人连续射击2次，则下列各事务关系中，说法正确的是()A．事务“两次均击中”与事务“至少一次击中”互为对立事务B．事务“第一次击中”与事务“其次次击中”互斥C．事务“恰有一次击中”与事务“两次均击中”互斥D．事务“两次均未击中”与事务“至少一次击中”互为对立事务【答案】CD【解析】对于A，事务“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，所以不是对立事务，A错误；对于B，事务“第一次击中”包含“第一次击中、其次次击中”和“第一次击中、其次次不中”，所以与事务“其次次击中”不是互斥事务，B错误；对于C，事务“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”，它与事务“两次均击中”是互斥事务，C正确；对于D，事务“两次均未击中”的对立事务是“至少一次击中”，D正确．故选CD．11．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事务是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【解析】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不行能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不行能同时发生，D不正确．故选AB．12．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站起先，在每个车站下车是等可能的，则()A．甲、乙两人下车的全部可能的结果有9种B．甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为eq\f(1,9)C．甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为eq\f(1,3)D．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为eq\f(2,3)【答案】ABD【解析】甲、乙两人下车的全部可能的结果为(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共9种，A正确，甲、乙两人同时在第2号车站和第4号车站下车的概率都是eq\f(1,9)，B正确，C错误．甲、乙两人在不同的车站下事的概率为1－3×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3)，D正确．故选ABD．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：年降水量/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]概率0.210.160.130.12则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________．【答案】0.25【解析】“年降水量在[200,300](mm)范围内”由“年降水量在[200,250)(mm)范围内”和“年降水量在[250,300](mm)范围内”两个互斥事务构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.14．下列各对事务：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”．其中互斥事务的有________．【答案】①③【解析】①和③不行能同时发生，是互斥事务．②中“甲射中10环”与“乙射中9环”相互之间没有影响，是相互独立事务．15．在抛掷一颗骰子的试验中，事务A表示“不大于4的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点出现”，则事务A∪eq\x\to(B)发生的概率为________．(eq\x\to(B)表示B的对立事务)【答案】eq\f(2,3)【解析】事务A包含的基本领件为“出现2点”或“出现4点”；eq\x\to(B)表示“大于等于5的点出现”，包含的基本领件为“出现5点”或“出现6点”．明显A与eq\x\to(B)是互斥的，故P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).16．(2024年西安高一期中)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，则军火库发生爆炸的概率为________．【答案】0.225【解析】军火库发生爆炸的概率p＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4.现从盒子中随机抽取卡片．(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率；(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率．解：(1)设A表示事务“抽取的3张卡片上的数字之和大于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字的全部可能结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4个．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，共2个，故P(A)＝eq\f(1,2).(2)设B表示事务“至少有一次抽到数字3”，第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．至少有一次抽到数字3的结果有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共7个．故所求事务的概率为P(B)＝eq\f(7,16).18．袋子中放有大小和形态相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，其次次取出的小球标号为b.记事务A表示“a＋b＝2”，求事务A的概率．解：(1)由题意可知eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)记标号为2的两个小球分别为21,22，不放回地随机抽取2个小球的全部基本领件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事务A包含的基本领件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).19．“抢红包”的活动给节假日增加了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄/岁[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]调查人数46141286参与的人数3412632(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并依据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参与抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．解：(1)补全频率分布直方图，如图所示：这50名居民年龄的平均数约为(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4.设中位数为x，则0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x－40)＝0.5，解得x≈40.8，所以这50名居民年龄的中位数约为40.8.(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包活动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各选取1人的情形有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率p＝eq\f(10,24)＝eq\f(5,12).20．(2024年宜宾模拟)手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数(单位：百步)，将数据分组为(50,70]，(70,90]，(90,110]，(110,130]，(130,150]，(150,170]，(170,190]，(190,210]，绘制出如下频率分布直方图：(1)求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；(2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；(3)在(2)的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参与远足拉练活动，再从6人中选取2人担当领队，求这两人均来自区间(150,170]的概率．解：(1)由题意，得0.002×20＋0.006×20＋0.008×20＋a×20＋0.010×20＋0.008×20＋0.002×20＋0.002×20＝1，解得a＝0.012.设中位数为110＋x，则0.002×20＋0.006×20＋0.008×20＋0.012x＝0.5，解得x＝15，所以中位数是125.(2)由200×(0.002×20＋0.006×20＋0.008×20＋0.012×20)＝112，所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112.(3)在区间(150,170]中有200×0.008×20＝32人，在区间(170,190]中有200×0.002×20＝8人，在区间(190,210]中有200×0.002×20＝8人，按分层抽样抽取6人，则从(150,170]中抽取4人，(170,190]中抽取1人，(190,210]中抽取1人．设从(150,170]中抽取职工为a，b，c，d，从(170,190]中抽取职工为E，从(190,210]中抽取职工为F，则从6人中抽取2人的状况有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15种状况，其中满意两人均来自区间(150,170]的有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种状况，所以p＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).所以两人均来自区间(150,170]的概率为eq\f(2,5).21．(2024年哈尔滨三模)棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉花品质越高．棉花的品质分类标准为：纤维长度(单位：mm)小于等于28的为粗绒棉，纤维长度在(25,33]为细绒棉，纤维长度大于33的为长绒棉，其中纤维长度在38以上的棉花又名“军海1号”．某选购 商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据绘制成频数分布表如下：纤维长度/mm小于或等于25(25,33](33,38]大于38根数2384020(1)若将频率作为概率，依据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上”的要求？(2)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．解：(1)将频率作为概率，依据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为eq\f(40＋20,100)＝60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上”的要求．(2)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽到的根数为6×eq\f(20,20＋40)＝2.再从6根棉花中取两根进行检验，基本领件总数n＝15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本领件个数m＝8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,15).22．(2024年北京朝阳区高一期末)某市从高二年级随机选取1000名