第04讲平行线中的“拐点”问题突破技巧(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

第04讲平行线中的“拐点”问题突破技巧（原卷版）专题典例剖析+针对训练类型一过拐点作平行线——“M”型图形研究（1）基本型“M”型及变式运用典例1如图，已知：AB∥CD，试说明：∠B＋∠D＋∠BED＝360°．典例2（2019•菏泽）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是．针对练习11．（2019•荆州）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°2．(2021•徐州期中)如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝°．“M”型套“M”型典例2如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=15∠EAB，∠ECF=15∠ECD，则∠针对练习23．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．“M”型叠“M”型典例3（2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为35°．针对训练34．如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为．

类型二过拐点作平行线——“钩”型图形研究典例4（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝°．针对练习45．如图，AB∥CD，点E在AB与CD的上方，请你探索∠1，∠2，∠E三者之间的数量关系，并说明理由．6．（2021春•揭阳期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°）（1）如图1，若∠A＝40°，求∠C的度数；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，说明：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．

类型三过拐点作平行线——“C”型图形研究典例5（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．

典例6（2019春•越城区期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．针对训练57．已知AB∥DE. （1）如图①，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A＋∠D是多少吗？ （2）如图②，点C1，C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A＋∠C1＋∠C2＋∠D的度数为______； （3）如图③，随着AB与DE之间点的增加，那么∠A＋∠C1＋∠C2＋…＋∠Cn－1＋∠D的度数为________．(不必说明理由)

类型四几种基本图形的组合典例7(2021•金坛区期末)将一根铁丝AF按如下步骤弯折：第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．解答下列问题：（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；（2）如图②，求证：∠B＋∠C＝∠D＋∠E；（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．针对训练68．如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间． （1）求证：∠AEC＝∠BAE＋∠ECD． （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG. ①如图②，若∠AEC＝90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系，并说明理由．

第二部分专题提优训练1．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．35° B．10° C．20° D．15°第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（）A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°3．如图AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为（）A．60° B．80° C．75° D．70°4．(2021•鼓楼区校级期中)如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．5．如图，已知平面内有两条直线AB，CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB，CD之间时，如图①，这时∠P与∠A，∠C有怎样的数量关系？证明你的结论；（2）当点P移动到图②、图③的位置时，∠P，∠A，∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．

6．（2020春•潼南区期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）如图①，当∠A＝48°，∠B＝108°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠BCF与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠ACB：∠DAC：∠CBE的值．7．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面的求解过程，解：过点A画ED∥BC．根据“”，可以得到∠B＝，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）

8．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．①填空：∠G＝°．②求出∠EHF的度数；（2）如图2，∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．第04讲平行线中的“拐点”问题突破技巧专题诠释：对于平行线中的“拐点”问题，结合已知条件和图形，通过添加适当的辅助线，可建立起已知和未知间的“桥梁”，使一些问题由难变易，迎刃而解，本章中添加的辅助线多是作某些直线的平行线，以创造角之间的相等或互补关系，为题目的解决提供更多的条件．专题典例剖析+针对训练类型一过拐点作平行线——“M”型图形研究（1）基本型“M”型及变式运用 典例1如图，已知：AB∥CD，试说明：∠B＋∠D＋∠BED＝360°． 【解法1】如图5-14，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＋∠D＝180°， ∵EF∥AB，∴∠1＋∠B＝180°，∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°．∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°．【解法2】如图5-15，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D， ∵EF∥AB，∴∠1＝∠B，∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°．∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°．点睛：本题还有其它解法，如连结BD、延长DE交AB的延长线与点F等，这些方法需要用到后面所要学习的三角形内角和定理，不是本章所学的内容．典例2（2019•菏泽）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是．思路引领：直接作出BF∥AD，再利用平行线的性质分析得出答案．解：作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝100°，∴∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°，∴∠2﹣∠1＝80°．故答案为：80°．点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°是解题关键．此题也可以连接AB用三角形内角和180°来做，针对练习11．（2019•荆州）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°解：∵直线m∥n，∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，故选：B．点睛：本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．(2021•徐州期中)如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝°．答案：90“M”型套“M”型典例2如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=15∠EAB，∠ECF=15∠ECD，则∠思路引领：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由，∠EAF=15∠EAB，∠ECF=15∠ECD可得出∠EAB，∠ECD，结合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC，代入∠解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF=15∠EAB，∠ECF=1∴∠FAB=45∠EAB，∠FCD=4∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD=54∠AFC故答案为：150°．点睛：同位角、内错角和同旁内角是研究两条平行线的重要工具，如果图中没有这三种角，可通过做辅助线，构造出这些角．针对练习23．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．思路导引：过点M作ME∥AB，由于AB∥CD，可证ME∥CD，容易证明∠BME＝∠ABM，∠DME＝∠MDC，即∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，同样道理：∠N＝∠ABN＋∠CDN，要寻找∠BMD与∠N的关系，我们只需寻找∠ABM＋∠CDM与∠ABN＋∠CDN的关系即可．答：∠M＝2∠N理由：先证明∠M＝∠ABM＋∠CDM，∠N＝∠ABN＋∠CDN∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN∴∠ABM＋∠CDM＝2∠CDN＋2∠ABN∴∠M＝2∠N点睛：本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．“M”型叠“M”型典例3（2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为35°．思路引领：延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，依据平行线的判定与性质即可得到∠A+∠C的度数．解：如图所示，延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案为：35°．点睛：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．针对训练34．如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为．解：如图所示，延长AE，DG交于点Q，由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案为：360°．类型二过拐点作平行线——“钩”型图形研究典例4（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝°．思路引领：（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，进而可证明结论；（2）①易求∠ABE＝52°，根据（1）的结论可求解∠DCE＝154°，根据角平分线的定义可得∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°−12∠BEC）＝90°+12∠BEC，设∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠DCE＝（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：①∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，如图2，∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，设∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，∴∠BFC＝x+y，∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，∴x+y＝74°+∠BEC，∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°解得∠BEC＝32°．故答案为32°．点睛：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．针对练习45．如图，AB∥CD，点E在AB与CD的上方，请你探索∠1，∠2，∠E三者之间的数量关系，并说明理由．解：∠1＋∠2－∠E＝180°.理由如下：如答图，过点E作EF∥AB，则∠AEF＋∠1＝180°.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠2，即∠CEA＋∠AEF＝∠2，∴∠AEF＝∠2－∠CEA，∴∠2－∠CEA＋∠1＝180°，即∠1＋∠2－∠AEC＝180°.6．（2021春•揭阳期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°）（1）如图1，若∠A＝40°，求∠C的度数；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，说明：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．解：（1）如图1，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠ADB＝180°﹣90°﹣∠A＝50°，∵AM∥CN，∴∠C＝∠ADB＝50°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD+∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：2α+β+3α+3α+β＝180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2a＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．类型三过拐点作平行线——“C”型图形研究典例5（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．思路引领：（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到结论；（2）过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；（3）过F作FG∥AB，则AB∥CD∥FG，根据（1）中的结论以及角平分线的定义，即可得到∠BFD=12（∠ABE+∠解：（1）如图①，根据MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，如图②，过A2作PA2∥MA1，∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°；故答案为：180°，360°；（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；故答案为：540°；（3）如图④，过F作FG∥AB，则AB∥CD∥FG，∴∠BFG＝∠ABF，∠GFD＝∠CDF，∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∴∠BFD=12（∠ABE+∠又∵∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∠E＝140°，∴∠ABE+∠CDE＝220°，∴∠BFD＝110°．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线，构造同旁内角．典例6（2019春•越城区期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．思路引领：（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠CHA＝∠PCH＝60°，依据三角形外角性质，即可得到∠CBA的度数；（2）分四种情况讨论，分别过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，依据平行线的性质，即可得到α，β，γ之间的数量关系．解：（1）如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°，∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠CBA＝60°+90°＝150°，（2）分四种情况：①如图所示，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．即α+β﹣γ＝90°．②如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，则∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，∵DE∥FG，∴CM∥BN，∴∠BCM+∠CBN＝180°，即∠BCD﹣∠DCM+∠ABC﹣∠ABN＝180°，∴β﹣α+γ﹣90°＝180°，即β﹣α+γ＝270°；③如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，易得∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，CM∥BN，∴∠BCM＝∠CBN，即∠BCD﹣∠DCM＝∠ABC﹣∠ABN，∴β﹣α＝γ﹣90°，∴α﹣β+γ＝90°；④如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，易得∠D+∠DCM＝180°，∠ABN+∠BAF＝180°，∠BCM+∠CBN＝180°，∴∠D+∠BCD+∠ABC+∠FAB＝540°，即α+β+γ+90°＝540°，∴α+β+γ＝450°．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．针对训练57．已知AB∥DE. （1）如图①，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A＋∠D是多少吗？ （2）如图②，点C1，C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A＋∠C1＋∠C2＋∠D的度数为________； （3）如图③，随着AB与DE之间点的增加，那么∠A＋∠C1＋∠C2＋…＋∠Cn－1＋∠D的度数为________．(不必说明理由)解：（1）如答图，过点C作AB的平行线CF.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A＋∠ACF＝180°，∠DCF＋∠D＝180°，∴∠A＋∠ACD＋∠D＝180°×2＝360°.又∵AC⊥CD，∴∠A＋∠D＝360°－90°＝270°. （2）540°（3）(180n)°类型四几种基本图形的组合典例7(2021•金坛区期末)将一根铁丝AF按如下步骤弯折：第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．解答下列问题：（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；（2）如图②，求证：∠B＋∠C＝∠D＋∠E；（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．思路引领：（1）根据AB∥CF，得∠B+∠C=180°，则4∠B=180°即可求出答案；

（2）分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，根据平行线的性质可证得结论；

（3）由（2）知：∠ABC+∠C=∠E+∠CDE，则∠ABC-∠CDE=130°-88°=42°，从而∠CBG-∠CDG=14°，从而求出答案．解：（1）∵AB∥CF，∴∠B＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵∠C＝3∠B，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，（2）证明：分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥DN∥CM∥EF(同平行于一条直线的两直线平行)，∵AB∥CM，∴∠B＋∠BCM＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，同理，∠E＋∠NDE＝180°，∵DN∥CM，∴∠NDC＝∠MCD(两直线平行，内错角相等)，∴∠B＋∠BCD＝∠E＋∠CDE．第7题答图 （3）由（2）知：∠ABC＋∠C＝∠E＋∠CDE，∴∠ABC＋88°＝130°＋∠CDE，∴∠ABC－∠CDE＝130°－88°＝42°，∴3∠CBG－3∠CDG＝42°，∴∠CBG－∠CDG＝14°，又∵∠CBG＋∠C＝∠CDG＋∠G，∴∠CBG－∠CDG＝∠G－∠C＝14°，∴∠G＝∠C＋14°＝102°．针对训练68．如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间． （1）求证：∠AEC＝∠BAE＋∠ECD． （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG. ①如图②，若∠AEC＝90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系，并说明理由．（1）证明：如答图①，过点E作直线EN∥AB．答图①∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN，∴∠AEC＝∠AEN＋∠CEN＝∠BAE＋∠ECD． （2）解：∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH. ①∵FH平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x.又∵∠AEC＝∠BAE＋∠ECD，∠AEC＝90°，∴∠BAH＝∠EAH＝45°－x.如答图②，过点H作l∥AB，答图②易证∠AHF＝∠BAH＋∠DFH＝45°－x＋x＝45°. ②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y.∵FH平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°－x.由（1）知∠AEC＝∠BAE＋∠ECD＝2x＋2y.如答图③，过点H作l∥AB，答图③易证∠AHF－y＋∠CFH＝180°，即∠AHF－y＋90°－x＝180°，∠AHF＝90°＋(x＋y)，∴∠AHF＝90°＋eq\f(1,2)∠AEC(或2∠AHF－∠AEC＝180°)．第二部分专题提优训练1．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．35° B．10° C．20° D．15°解：∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝10°．故选：B．2．如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（）A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°解：如图，过A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠1+∠BAD＝180°，∠2＝∠BAC＝∠3+∠BAD，∴∠BAD＝∠2﹣∠3，∴∠1+∠2﹣∠3＝180°，故选：B．3．如图AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为（）A．60° B．80° C．75° D．70°解：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝110°，∴∠AFD＝70°，∴∠CFE＝∠AFD＝70°，∵∠E＝40°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣70°＝70°，故选：D．4．(2021•鼓楼区校级期中)如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．答案：17°5．如图，已知平面内有两条直线AB，CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB，CD之间时，如图①，这时∠P与∠A，∠C有怎样的数量关系？证明你的结论；（2）当点P移动到图②、图③的位置时，∠P，∠A，∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．解：（1）∠APC＝∠A＋∠C．证明如下：如答图①，过点P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠A＋∠C． （2）如答图②，∠APC＋∠A＋∠C＝360°.理由如下：过点P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°，∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.如答图③，∠APC＝∠C－∠A．理由如下：过点P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE－∠APE＝∠C－∠A．6．（2020春•潼南区期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）如图①，当∠A＝48°，∠B＝108°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠BCF与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠ACB：∠DAC：∠CBE的值．解：（1）如图1，过C点作CF∥AD，则CF∥BE，∴∠ACH＝∠A，∠BCH＝180°﹣∠B，∵∠A＝48°，∠B＝108°，∴∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°；（2）如图2，过Q作QM∥AD，则QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ，∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=1∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM=12（∠CBE﹣∠∵∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝2∠AQB；（3）∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP=12∠CAD，∠ACP＝∠PBQ=1∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°−12∠∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD=12∠∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBE