2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 5.1.2 弧度制

第5章三角函数5.1.2弧度制课标要求1.了解弧度制,体会引入弧度制的必要性.2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度数.3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,会应用公式解决简单的问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一度量角的两种单位制角度制定义用“

”作为单位来度量角的单位制

1度的角把周角分成360等份,每一份叫作1度的角弧度制定义以“

”为单位来度量角的单位制

1弧度的角长度等于

的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,1弧度记作1

度弧度半径长rad过关自诊在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示

不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.知识点二弧度数的计算与互化1.弧度数的计算(1)正角的弧度数是一个

.

(2)负角的弧度数是一个

.

(3)零角的弧度数是

.

(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=

.

正数负数02.角度制与弧度制的换算

3.一些特殊角与弧度数的对应关系

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(

)(2)160°化为弧度数是

π

rad.(

)√√2.下列换算结果错误的是(

)C知识点三扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角且α=xrad,则

扇形x为弧度数扇形的弧长l=|x|r扇形的面积过关自诊设扇形的弧长为18cm,半径为12cm,求这个扇形的面积.重难探究·能力素养速提升探究点一弧度制的概念【例1】

(多选题)下列说法中正确的是(

)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关ABC解析

无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.规律方法

1.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.3.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°=rad,不必写成45°≈0.785

rad.变式训练1下列说法正确的是(

)A.1弧度是长度等于半径的弧B.1弧度是1°的圆心角所对的弧C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角D.1弧度等于1°C解析

1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.由题意可知,只有C正确.探究点二角度与弧度的互化与应用【例2】

(1)①将112°30'化为弧度为

.

-75°规律方法

角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π

rad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.变式训练2(1)将-157°30'化成弧度为

.

-396°探究点三用弧度表示角或范围【例3】

用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.规律方法

用弧度制表示角应注意的问题:(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.(2)在表示角的集合时,可以先写出一周角范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为

,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.探究点四弧长公式与扇形面积公式的应用【例4】

(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;解

设扇形的半径为r

cm,弧长为l

cm,由圆心角为2

rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.变式探究本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.规律方法

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.学以致用·随堂检测促达标123451.-300°化为弧度是(

)B12345C123453.若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm,则这个圆的半径r=

,圆心角所在的扇形面积是

.

2cm4cm2123454.[2024甘肃陇南高一统考期末]如图,这是某公园的一条扇形闭合路OAB,其中弧AB所对的圆心角为2.4,OA=OB=80m,则这条扇形闭合路的总长度为

m.

352解析

根据