2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 4.4.1 方程的根与函数的零点

第4章幂函数、指数函数和对数函数4.4.1方程的根与函数的零点课标要求1.结合学过的函数图象,理解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.2.理解函数的零点与方程解的关系,能借助函数图象判断零点个数.3.结合具体连续函数及其图象的特点,理解函数零点存在定理.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一函数的零点1.二次函数的零点:一元二次方程ax2+bx+c=0的根,就是二次函数y=ax2+bx+c的零点,也就是该函数图象与x轴交点的横坐标.2.方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.过关自诊函数f(x)=x2-1的零点是(

)A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1D解析

解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.知识点二零点存在定理一般地,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0,则存在点x0∈(a,b),使得f(x0)=0.名师点睛定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f(a)·f(b)<0.两个条件缺一不可.过关自诊1.函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(

)A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]B解析

因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.2.方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解?为什么?提示

设函数f(x)=3x-x2,在区间[-1,0]上有f(-1)=3-1-(-1)2=<0,f(0)=30-02=1>0.又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线,所以由零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(-1,0)内有解,即在区间[-1,0]内有解,故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有解.重难探究·能力素养速提升探究点一求函数的零点【例1】

判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.规律方法

1.因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.2.求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解

由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实数解.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.探究点二函数零点个数的判断【例2】

判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;解

令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.(2)f(x)=x2-;在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解

(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.规律方法

判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等实数解的个数就是函数f(x)零点的个数.(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.变式训练2(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞)B解析

由题知,函数f(x)=x2+2x+a没有零点,即方程x2+2x+a=0没有实数解,即Δ=4-4a<0,解得a>1,故选B.(2)函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数为(

)A.0 B.1

C.2

D.3B解析

函数对应的方程为ln

x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln

x与y=3-x2的图象交点个数.在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图所示).由图象知,函数y=3-x2与y=ln

x的图象只有一个交点,即方程ln

x+x2-3=0有一个根,故函数f(x)=ln

x+x2-3有一个零点.探究点三判断函数的零点所在的大致区间【例3】

(1)函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间为(

)A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)B解析

f(1)=2-6<0,f(2)=4+ln

2-6<0,f(3)=6+ln

3-6>0,f(4)=8+ln

4-6>0,f(2)f(3)<0,则f(x)的零点所在区间为(2,3).故选B.(2)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值:x123456y113-35-4811.5-5.67.8则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(

)A.2个

B.3个

C.4个

D.5个C解析

由零点存在定理可知,连续函数y=f(x)在(1,2),(3,4),(4,5),(5,6)上至少各有一个零点.故选C.规律方法

1.若函数连续不间断,则判断函数零点所在的区间可直接使用函数零点存在定理,反之,若函数解析式中含参数,则可以利用零点所在的区间的端点建立不等式求参数的取值范围.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,若能直接解方程,则求出根后判断,若不能够解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合函数零点存在定理转化为求函数的零点.3.函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.变式训练3若函数f(x)=x2--1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=(

)A.1 B.2

C.3

D.4A探究点四已知零点个数求参数的取值范围【例4】

已知函数f(x)=若函数F(x)=2(f(x))2-mf(x),且函数F(x)有6个零点,则非零实数m的取值范围是(

)A.(-2,0)∪(0,16)B.(2,16)C.[2,16)D.(-2,0)∪(0,+∞)C规律方法

已知函数有零点(方程有根)求参数的方法(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的图象易画出],在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.变式训练4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是

.

(1,+∞)解析

函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).学以致用·随堂检测促达标1234561.函数f(x)=2x+3x的零点所在的区间为(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(-2,-1) D.(1,2)A解析

∵函数f(x)=2x+3x是R上的连续函数,且单调递增,f(-1)=2-1+3×(-1)=-2.5<0,f(0)=20+0=1>0,∴f(-1)f(0)<0.∴f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(-1,0).故选A.1234562.若函数f(x)=x2+(m-3)x+m的零点都在(0,+∞)内,则m的取值范围是(

)A.(0,1] B.(0,2)C.(-3,0) D.(-1,3)A1234563.设函数f(x)=-log2x,则函数f(x)的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,+∞)B又因为函数是(0,+∞)上的连续函数,由零点存在定理得函数f(x)