专题07一次函数（5大考点）

第三部分函数专题07一次函数（5大考点）核心考点核心考点一一次函数的概念核心考点二一次函数的图象与性质核心考点三一次函数图象的平移、旋转和对称核心考点四一次函数与方程、不等式的关系核心考点五一次函数的应用新题速递核心考点一一次函数的概念例1（2022·山东济南·统考中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】B【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．【详解】解：根据题意得：，∴，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．例2（2021·江苏盐城·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________．【答案】【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式.【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是．【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.例3（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．(1)求该函数的解析式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解．（2）根据题意结合解出不等式即可求解．【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，，解得，∴函数的解析式为：，当时，得，∴点A的坐标为．（2）由题意得，，即，又由，得，解得，∴的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．知识点、定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.注意：（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.知识点、一次函数表达式的确定待定系数法求一次函数解析式的一般步骤设：设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．列：把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．解：解二元一次方程组，求出k，b．还原：将求得的k，b的值代入解析式．【变式1】（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在原点上，在轴上，，为边的中点，将等边向右平移，当点落在直线：上时，点的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过作轴于，根据等边三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，求出点的纵坐标，根据平移的性质得出平移后点的纵坐标不变，把点的纵坐标代入，求出即可．【详解】解：过作轴于，是等边三角形，，，，，由勾股定理得：，为的中点，点的纵坐标是，当将等边向右平移，当点落在直线上时，点的纵坐标还是，把代入得：，解得：，即点的坐标是，故选：．【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，等边三角形的性质和勾股定理等知识点，能求出点的纵坐标是解此题的关键．【变式2】（2021·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）定义：对于给定的一次函数（、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】找出一次函数的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．【详解】解：一次函数的“相依函数”为，∵点P（−2，m）在一次函数的“相依函数”图象上，∴m＝−1×（−2）−1＝1．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数的“相依函数”是解题的关键．【变式3】（2022·贵州遵义·统考一模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，，则的值为______．【答案】【分析】把代入代入一次函数求得，进而代入x=即可求得m的值．【详解】解：一次函数的图象过点，，解得，，过，，故答案为4044．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征,把点的坐标代入求解一元次方程即可．【变式4】（2021·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x＋b与菱形OABC有交点，则b的取值范围是___．【答案】##【分析】作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，求出B的坐标，然后代入一次函数解析式中，求出b的最大值，再将原点代入一次函数解析式中求出b的最小值即可．【详解】解：作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，∵∠AOC=60°，∠CMO=90°，∴OM＝OC，∵在菱形OABC中，A（2，0），∴OC=OA=2=CB，∴OM=1，∴CM＝，∴C(1，)，∴B的横坐标为3，∵OA∥CB，∴BN=CM=，∴B的纵坐标也为，即B(3，)，当y=3x+b过O（0，0）时，b最小，最小值为0，当y=3x+b过B(3，)时，b最大，把B(3，)代入y=3x+b，解得：b＝+9，∴b的取值范围为：0⩽b≤+9，故答案为：0⩽b⩽+9．【点睛】本题考查了菱形的性质和待定系数法，关键是求出点B的坐标.【变式5】（2022·广东佛山·校考三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．(1)请直接写出函数的不动点的坐标；(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，，求的值；(3)已知函数，若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设函数y=2x的不动点M为（m,m），根据定义得到2m=m，求出m即可求M点坐标；（2）由题意可知AB所在直线解析式为y=x，联立方程组，再由根与系数的关系得3a=0，即可求a的值；（3）由题意可得，则△恒成立，对于关于b的一元二次不等式恒成立，只需△，即可．（1）解：设函数的不动点为，，解得，；（2）、关于原点对称，且是函数的不动点，所在直线解析式为，联立方程组，整理得，，，；（3）由题意可知，，整理得，，函数恒有两个相异的不动点，△，恒成立，关于的一元二次不等式恒成立，△，解得．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与根的关系是解题的关键．核心考点二一次函数的图象与性质例1（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明和为等边三角形得到即可求解.【详解】解：对于，当时，，当时，由得：，则A（1，0），B（0，），∴，，∴，则∠OAB=60°，由旋转性质得：，，，∴是等边三角形，∴，又∴是等边三角形，∴，故选：B．【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是等边三角形是解答的关键．例2（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．【答案】2【分析】根据一次函数解析式求出点的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出点的坐标，从而得出点的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．【详解】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．∵点D为OB的中点，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，∴DE∥x轴．当y＝2时，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴点E的坐标为（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．例3（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．(1)求点A′的坐标；(2)确定直线A′B对应的函数表达式．【答案】(1)A′（2，0）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【详解】（1）解：令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．2、一次函数图象与性质一次函数y=kx+b(k≠0)k，b的符号k>0k<0大致图像经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小与坐标轴的交点与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为.【变式1】（2022·山东济南·统考三模）函数与在同一坐标系内的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别讨论和时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案．【详解】解：若，则，一次函数单调递减且过点（0，5），所以一次函数的图像单调递减，过二、三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．若，则，一次函数单调递增且过点（0，5），所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式2】（2022·山东临沂·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数的图象经过点C，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，∴∠ECF＝90°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（AAS），∴S△ACF＝S△BCE，∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，∴点A（0，3），点B（1，0），∴，∵△ABC为等腰直角三角形，∴，∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，∴k＝4，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．【变式3】（2022·江苏泰州·校考一模）定义一个新的运算：则运算的最小值为_________．【答案】2【分析】分x≤2和x＞2两种情况分别求得关于x的函数关系式，然后再求得最小值即可．【详解】解：当x≤2时，x⊕2=2x+2，k=2＜0，函数值随x的增大而减小，此时当x=2时有最小值2；当x＞2时，x⊕2=，综上，最小值为2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．【变式4】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点D，点E，点F为直线y=x+6上一点，横坐标为4．把直线DE绕F点顺时针旋转，与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点A，点C，若S△ADF=S△FEC，则直线AC的解析式为______．【答案】y=x+3【分析】由S△ADF=S△FEC，推出S△ADF+S四边形CODF=S△FEC+S四边形CODF，即S△AOC=S△EOD，设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得出b29b+18=0，继续计算即可求解．【详解】解：令x=0，则y=6，令y=0，则x=6，∴点D(6，0)，点E(0，6)，∴OD=OE=6，∵点F为直线y=x+6上一点，横坐标为4，∴y=4+6=2，∴点F(4，2)，∵S△ADF=S△FEC，∴S△ADF+S四边形CODF=S△FEC+S四边形CODF，∴S△AOC=S△EOD，设直线AC的解析式为y=kx+b，则点A(，0)，点E(0，b)，∴OA=，OC=b，根据题意得：，，整理得：b29b+18=0，解得：b=6(舍去)或b=3，当b=3时，k=，∴直线AC的解析式为y=x+3，故答案为：y=x+3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积公式结合S△ADF=S△FEC，找出关于b的一元二次方程．【变式5】（2022·河北保定·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相交于C点．(1)求点C坐标．(2)若m＝2，①求△ABC的面积；②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值范围．【答案】(1)（0，1）(2)①6；②(3)2<m<4【分析】（1）求x=0时y的值，即可得到点C的坐标；（2）①当m=2时，A（5，2），B（1，2），延长线段AB交y轴于点D，求出CD，AB，利用面积公式计算即可；②求出直线AC和直线BC的解析式，即可得到；（3）当k=1时，直线为y=x1，当x=5时，y=4，只有情况时，直线y=x1与线段AB相交，且P不与A、B点重合，此时m<4；得到点P的坐标，求出AP的长度，即可得到答案．【详解】（1）解：直线y=kx1与y轴交于点C，当x=0时y=1，故C（0，1），故答案为（0，1）；（2）①当m=2时，A（5，2），B（1，2），∵点A、B纵坐标相同，∴ABx轴，AB⊥y轴，延长线段AB交y轴于点D，∴线段CD为△ABC以AB边为底的高，∵CD=2(1)=3，AB=1（5）=4，∴；②设直线AC的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为，设直线BC的解析式为y=mx+n，∴，解得，∴直线BC的解析式为，∵点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，∴,∴；（3）当k=1时，直线为y=x1，当x=5时，y=4，如图，只有情况时，直线y=x1与线段AB相交，且P不与A、B点重合，此时m<4；当x=m3时y=2m，由图知2m<m，∴m>1，∴1<m<4，当y=m时，x=1m，∴点P坐标为（1m，m），∴，∵AP<2，∴<2，∵1<m<4，∴m4<0，∴=4m，∴4m<2，∴m>2，综上，2<m<4．【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．核心考点三一次函数图象的平移、旋转和对称例1（2021·山东菏泽·统考中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变，可知图中,根据图像的对称性，，由图（2）知线段最大值为，即根据勾股定理矩形的面积为故答案为：C【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．例2（2022·宁夏·中考真题）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______．【答案】3【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．【详解】解：当时，，点的坐标为，沿轴向右平移个单位得到，点与其对应点间的距离为，即点移动的距离是3．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键．例3（2022·辽宁阜新·统考中考真题）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．(1)如图，将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；(2)将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度；(3)综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（时）或将它向______（填“左”或“右”）（时）平移了个单位长度，且，，满足等式_______．【答案】(1)1(2)左，(3)右，左，【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；（3）根据（1）（2）题得出结论即可．（1）解：∵将一次函数的图像向下平移个单位长度得到，相当于将它向右平移了个单位长度，故答案为：；（2）解：将一次函数的图像向下平移个单位长度得到，相当于将它向左平移了个单位长度；故答案为：左；；（3）解：综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向右时或将它向左时平移了个单位长度，且，，满足等式．故答案为：右，左，．【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”，关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．3、一次函数图象的平移一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度4、两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．【变式1】（2022·河南许昌·统考二模）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点C的坐标为（0，m），利用勾股定理分别求出AB，AC的长，结合AB=AC，即可求出点C的坐标，求出直线AB的解析式，即可求出直线的解析式，从而推出直线相当于直线AB向右平移个单位得到的，由此即可得到答案．【详解】解：设点C的坐标为（0，m），则由勾股定理得：，，∴AB=AC，∴，∴或（舍去），∴点C的坐标为（0，3），设直线AB的解析式为，∴，∴，∴直线AB的解析式为，∵是经过AB平移得到的，∴可设直线的解析式为，∵经过点，∴，∴直线的解析式为，∴直线相当于直线AB向右平移个单位得到的，∴点的坐标为，故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．【变式2】（2022·湖北孝感·统考三模）如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x1沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m（米），平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接AC，根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，由图②可知此时a=5，由速度求出AB的长再根据勾股定理即可解答；【详解】解：如图连接AC，由y=x1可得，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，∴直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，∴直线与x轴的夹角是45°，∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∠ACB=45°，∴直线l与AC平行，∴当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，由图②可知，当a=5时，直线平移到A点，∴AB=1×5=5米∴b=AC=米，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意弄懂图象所表达的含义是解题关键．【变式3】（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，则平移的距离是__．【答案】6【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、OC的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函数解析式，即可求出平移的距离．【详解】解：，当时，，解得：，即，过作于，是以为斜边的等腰直角三角形，，即点的坐标是，设平移的距离为，则点的对称点的坐标为，代入得：，解得：，即平移的距离是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出B′的坐标是解此题的关键．【变式4】（2022·浙江杭州·校联考一模）已知直线y＝x+2与函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）点A的坐标是_____；（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连结OA′，OB′．当m＝_____时，|OA'﹣OB'|取最大值．【答案】

（）；

6．【分析】（1）分别求解如下两个方程组，，再根据已知条件即可得答案；（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．即直线平移后过原点即可，平移的距离为m，平移后的直线为把原点坐标代入计算即可．【详解】（1）联立，解得，则交点坐标为（），联立，解得，则交点坐标为（），又点A在点B的左边，所以A（），故答案为：（）；（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．即直线平移后过原点即可，平移的距离为m，平移后的直线为，则，解得，当m＝6时，|OA'﹣OB'|取最大值．故答案为：6．【点睛】本题考查一次函数与分段函数综合问题，会识别分段函数与一次函数的交点在哪一分支上，会利用平移解决最大距离问题是解题关．【变式5】（2021·山东滨州·二模）阅读下面材料：我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算．例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：d＝＝＝＝根据以上材料解答下列问题：(1)求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；(2)如图，直线＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．(3)若将绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与相交，直接写出大于时，x的取值范围【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把点Q的坐标代入公式d＝计算即可；（2）在直线y＝﹣x上任意取一点P，求出点P的坐标，然后根据距离公式即可求出点P到直线y＝﹣x+2的距离，即可得出两平行线间的距离；（3）先求出旋转后的直线解析式，然后求出此直线与与的交点，最后观察图象即可得出结论.（1）∵3x﹣y+7＝0，∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．∵点Q（﹣2，2），∴d＝，∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0的距离为；（2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2，在直线y＝﹣x上任意取一点P，当x＝0时，y＝0．∴P（0，0）．∵直线y＝﹣x+2，∴A＝1，B＝1，C＝﹣2∴d＝，∴两平行线之间的距离为；（3）直线：y＝﹣x+2与y轴的交点为（0，2），设直线绕其与y轴的交点逆时针旋转90度后的直线解析式为y＝x+b，∴2=b，∴旋转后直线为y＝x+2，联立方程组，解得∴交点坐标为（1，1），由图象可知：大于时，x的取值范围为.【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式等知识点，正确理解点到直线的距离公式是解题的关键.核心考点四一次函数与方程、不等式的关系例1（2022·湖北鄂州·统考中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【分析】根据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是，故选A．【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．例2（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为___．【答案】【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），∴方程组的解为；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．例3（2022·江苏泰州·统考中考真题）定义：对于一次函数，我们称函数为函数的“组合函数”.(1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;(2)设函数与的图像相交于点P.①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1)是函数的“组合函数”(2)①；②存在，见详解【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；（2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．（1）解：是函数的“组合函数”，理由：由函数的“组合函数”为：，把m=3，n=1代入上式，得，函数是函数的“组合函数”；（2）解：①解方程组得，函数与的图像相交于点P，点P的坐标为，的“组合函数”为，，，点P在函数的“组合函数”图像的上方，，整理，得，，，p的取值范围为；②存在，理由如下：函数的“组合函数”图像经过点P．将点P的坐标代入“组合函数”，得，，，，，将代入=，把y=0代入，得解得：，设，则，，对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．知识点3：一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（组）的关系1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．【变式1】（2022·陕西西安·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出点A、B的坐标，再根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：令，∴点令，∴∵点在的内部∴

解得故选：D．【点睛】本题考查求一元一次不等式与一次函数，熟练掌握由直线与坐标轴的交点求不等式的解集是解题的关键．【变式2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（）A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化【答案】B【分析】设与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据即可求出答案．【详解】联立，解得：，∴P(2，4)．联立，解得：，∴Q(，)．对于，令，则，解得：，∴A(2，0)．设与x轴的交点为B，对于，令，则，解得：，∴B(，0)．∴，∴当时，，当时，（不合题意），当时，．综上可知的面积为10．故选B．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是解题关键．【变式3】（2022·浙江宁波·模拟预测）如图．在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为________．【答案】【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，根据已知求出A、E、F、D、O的坐标，从而得AE、BF解析式，可求G坐标，即可得到OG的长度．．【详解】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵四边形ABCD是正方形，边长为6，∴AB=BC=6，∠ABE=∠BCF=90°，∵BC=3BE，BE=CF，∴BE=CF=2，∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），设直线AE解析式为y=ax+b，则，解得，∴直线AE解析式为y=3x+6，设直线BF解析式为y=cx，则2=6c，解得c=，∴直线BF解析式为y=x，由得∴，∵O为BD中点，∴O（3，3），∴，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出O和G的坐标．【变式4】（2021·四川成都·统考三模）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点，直线分别与两条直线交于，两点，若的面积不小于时，则的取值范围是_______．【答案】或【分析】把点A（1，2）代入直线方程，先求出两条直线的解析式，然后求出点M、N的坐标，再求出MN的长度，利用三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：由图可知，点A为（1，2），直线与y轴的交点为（0，1），把点A（1，2）代入，则；∴；把点A（1，2）和点（0，1）代入，，解得：；∴；把分别代入两条直线方程，则，，∴点M的坐标为（m，2m），点N的坐标为（m，m+1），∴，∴△AMN边MN上的高为：∵，当的面积等于时，则，∴或，结合的面积不小于，∴或；故答案为：或．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式，求一次函数的解析式，解题的关键是正确的理解题意，掌握一次函数的性质进行解题．【变式5】（2021·重庆綦江·校考三模）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程，小姚同学根据函数的学习经验，对函数的性质及其应用进行了探究，请你按要求完成下列问题．(1)列表：下表为变量与的几组对应数值：则______，______；(2)描点、连线：在平面直角坐标中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)观察函数图象：一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．【答案】(1)，(2)图见解析；时，随值的增大而增大(3)【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；（2）利用描点法画出图象即可；观察图象可知：x＞1时，y随x值的增大而增大；（3）利用图象即可解决问题．（1）解：把x代入得，；把x代入得，，∴a，b，故答案为：，；（2）描点、连线画出函数图象如图：观察图象可知：x＞1时，y随x值的增大而增大；（3）由图象可知，关于x的不等式的解集为x≤4．故答案为：x≤4．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，图像法解不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．核心考点五一次函数的应用例1（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(，)，则PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．例2（2021·山东济南·统考中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．…1235……2.42.83.44…【答案】15【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：，解得：，∴水位与时间的函数解析式为，∴当=8时，则有，解得：，故答案为15．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．例3（2022·内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．(1)求购进A、B两种纪念品的单价；(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元(2)共有6种进货方案(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元根据题意，得

解得∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个根据题意，得变形得由题意得：由①得：由②得：∴∵x，y均为正整数∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20∴共有6种进货方案.（3）设总利润为W元则∵∴W随x的增大而增大∴当时，W有最大值：（元）∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．知识点4：一次函数的应用1、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．2、一次函数的实际应用主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．【变式1】（2022·山东潍坊·统考二模）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地，李颖从乙地前往甲地．张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．李颖速度是张华提速前速度的 B．李颖的速度为240m/minC．两人第一次相遇的时间是分钟 D．张华最终达到乙地的时间是分钟【答案】D【分析】由轴可知，李颖的速度是张华提速前速度的，可判断A选项不符合题意；设张华提速前的速度是米/分，则李颖的速度为米/分，根据C点的坐标可知此时两人相距米，则有，即可解得张华提速前的速度为米/分，则李颖的速度为（米/分），即可判断B选项不符合题意；张华提速后的速度为米/分，故张华返回甲地所用的时间是4分钟，张华拿到物品后再次从甲地出事的时间是第分钟，设两人第一次相遇的时间是t分钟，可得，解得两人第一次相遇的时间是分钟，可判断C选项不符合题意；张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第分钟，即可得到张华最终达到乙地的时间是（分），可判断D选项符合题意．【详解】解：A、张华先出发3分钟后李颖才出发，当张华行驶到6分钟时发现重要物品没带，立刻以原速的掉头返回甲地，此时由图轴可知，李颖和张华相距的路程不变，李颖的速度是张华提速前速度的，故此选项不符合题意；B、设张华提速前的速度是米/分，则李颖的速度为米/分，根据C点的坐标可知此时两人相距米，则有，解得，张华提速前的速度为米/分，则李颖的速度为（米/分），故此选项不符合题意；C、张华提速后的速度为米/分，张华返回甲地的时间是（分），张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第分钟，设两人第一次相遇的时间是t分钟，可得，解得，两人第一次相遇的时间是分钟，故此选项不符合题意；D、张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第分钟，即可得到张华最终达到乙地的时间是：（分），故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想就能迎刃而解．【变式2】（2022·河北石家庄·二模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（

）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元【答案】C【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【详解】A、设反比例函数的解析式为，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，则，解得：，故一次函数解析式为：y＝30x−70，故y＝200时，200＝30x−70，解得：x＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．【变式3】（2022·山东济南·校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．【答案】

B车

2【分析】（1）由已知行驶的距离x与行驶时间t的函数关系可表示出速度与时间的关系式，比较刚离开时即时，两车的速度大小即可得到答案；（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B速度的时刻，列出方程求解即可．【详解】（1）由已知得，A车的速度与时间关系式为，B车的速度与时间关系式为它们刚离开出发点时，B车速度大于A车速度（时，）行驶在前面的一辆车是B车故答案为：B车（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B车速度的时刻，即解得或（舍去）故答案为：2【点睛】本题考查变速运动中运动距离与速度的关系，解题的关键是由已知的行驶的距离x与行驶时间t关系式求出速度与时间的关系式．【变式4】（2022·山东济宁·统考三模）如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是______【答案】20【分析】设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s，根据当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平，列出方程组，即可求出烧杯的底面积．【详解】解：设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s由图1、图2分析可得：当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平．由此可得：∵∴∴故答案为：20．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是读懂函数图象中每个拐点的实际意义．【变式5】（2022·吉林长春·模拟预测）在某地，人们发现某种蟋蟀1min所叫次数与当地气温之间近似为一种函数关系．某学校数学综合与实践小组从函数角度进行了蟋蟀所叫次数与气温变化情况进行如下探究：【观察测量】数学综合与实践小组通过观察测量，下面是蟋蟀所叫次数与气温变化情况对照表：温度x（℃）141620蟋蟀叫的次数y（次）7791119【探究发现】①建立平面直角坐标系，如图，横轴表示温度x（℃），纵轴表示蟋蟀叫的次数y（次），描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律计算：①如果蟋蟀1min叫了63次，那么该地当时的气温大约为℃．②能用所求出的函数模型来预测蟋蟀在时所鸣叫的次数为次．【答案】①见解析②它们在同一条直线上；①12②49．【分析】①根据表中数据描点即可；②用待定系数法可得这条直线的函数关系式；①把代入，即可解得答案；②将代入得蟋蟀在10℃时所鸣叫的次数为49．【详解】解：①描出以表格中数据为坐标的各点如图：②它们在同一条直线上，设这条直线对应的函数表达式为，∴，解得，∴；当时，，∴它们在同一条直线上；①当时，，∴，答：该地当时的气温大约为12°C；故答案为：12；②当时，（次），答：蟋蟀在10℃时所鸣叫的次数为49；故答案为：49．【点睛】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂题意，能求出这条直线所对应的函数表达式．【新题速递】1．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省天一中学阶段练习）点A()和B()都在直线上，则和的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】利用一次函数的增减性判定即可．【详解】解：∵直线的，∴y随x的增大而减小，∵，∴，故选：A．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．2．（2021春·广东佛山·九年级校联考阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质判断即可．【详解】解：，、异号，当，时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限；当，时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限．∴选项A、B、D中图象不符合题意，选项C中图象符合题意，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的图象位置与系数及常数项之间的关系是解答的关键．3．（2021春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B，且，，，则关于x，y的方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图：作轴于，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，从而得到，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答．【详解】解：如图：作轴于，，，，∴,解得，，∴方程组的解为，故选：B【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质等知识点，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解答本题的关键．4．（2021春·山西太原·九年级太原十二中校考阶段练习）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克立方米）与药物点燃后的时间（分钟）成正比例，药物燃尽后，与成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间是A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用待定系数法求解两函数解析式，再计算当时x的值，从而得出答案．【详解】解：设正比例函数解析式：且过设反比例函数解析式：，且过当时，，解得：当时，，解得：则空气中每立方米的含药量不低于2毫克的持续时间为分钟故选C．【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数的实际应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．5．（2021春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．若动点在射线上运动，当的面积是面积的时，点的坐标为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】先求出点A的坐标，再求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得到，设点，由，解得或，即可求得点M的坐标．【详解】解：∵函数的图象经过点，∴，∴，∴，∵函数的图象经过点，∴，∴，∴直线的解析式是，当时，，∴，，当的面积是面积的时，即，∵点M在直线在射线上运动，∴可设点，∴，解得或，当时，，当时，，∴点M的坐标是或，故选：C【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=x+4，设平移后点C的坐标为(2,3m)，代入解析式即可求出m．【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∴∠DAO+∠BAM=90°，∴∠DAO=∠ABM，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM(AAS)，∴OA=BM，OD=AM，∵B(3,1)，∴BM=1，OM=3，∴OA=1，∴AM=OMOA=2，∴OD=2，同理可证△CDN≌△DAO，∴DN=OA=1，CN=DO=2，∴ON=OD+DN=3，∴C(2,3)，∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上，∴3k+4=1，∴k=1，∴直线l的解析式为y=x+4，设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3m)，∵点C在直线l上，∴2+4=3m，解得：m=1，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．7．（2022秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）如果直线是由正比例函数的图像向左平移1个单位得到，那么不等式的解集是______．【答案】##【分析】直接利用一次函数平移规律得出图像平移后与轴交点，进而得出答案．【详解】解：∵直线是由正比例函数的图像向左平移1个单位得到，∴经过，∴不等式的解集是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了一次函数的几何变换以及一次函数与一元一次方程的应用不等式，正确得出图像与轴交点是解题关键．8．（2022春·安徽合肥·八年级统考期中）甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，两人同时同向起跑．（1）两人出发后______乙追上甲；（2）从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数关系为______．【答案】

50

；【分析】（1）是追击问题，速度快的追上慢的，路程差为．（2）是分段函数，根据不同的范围列函数关系式．【详解】解：（1）设出发乙追上甲，据题意得，，解方程得：．（2），．【点睛】本题考查的是方程与函数，根据追击问题的路程差列出方程、时间不同列出不同的函数表达式是解本题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为__________．【答案】【分析】先将化为，可得当时，不论取何实数，函数的值为，即可得到直线一定经过的定点为．【详解】解：根据题意，可化为，∴当时，不论取何实数，函数的值为，∴直线一定经过的定点为，故答案为．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．10．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省天一中学阶段练习）如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P、C分别是线段，上的点，且，，则点P的坐标为_____．【答案】##【分析】根据，，证明，从而证明，得到，过点P作轴，求得，，，根据点所在象限即可确定点P的坐标．【详解】解：∵一次函数的图像与坐标轴分别交于A，B两点，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，过点P作轴，垂足为D，∵，∴,∴，∴，∵，∴，∴，∵点P在第二象限，∴点，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与象限和线段之间的关系，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点确定，灵活运用三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．（2021春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知一次函数与一次函数关于轴对称，则的值为________．【答案】【分析】一次函数与一次函数关于轴对称，则两函数相交于轴上一点，所以令两方程中，分别解得，令其相等即可．【详解】解：根据题意得：令，解得：一次函数与一次函数交于点把代入得：解得：故答案为：【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换以及负整数指数幂的运算，解题关键是根据题意得出直线与坐标轴的交点．12．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为线段OA上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得，连接OF，则最小值为______．【答案】【分析】先求出点，可得，从而得到是等腰直角三角形，过点D作轴于点M，则，可得，设点C的坐标为，则，从而得到点，作点O关于直线的对称点，连接，则时，，则当点N，F，C共线时，的值最小，最小值为的长，再根据，可求出m的值，即可求解．【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于点A，B，，∴当时，，当时，，∴点，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，如图，过点D作轴于点M，则，∴，设点C的坐标为，则，∴，∴，∴点，∵，，∴，∴，∵轴，∴，作点O关于直线的对称点，连接，则时，，∴当点N，F，C共线时，的值最小，最小值为的长，∵轴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了一次函数的的几何应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．13．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省天一中学阶段练习）已知与成正比例，且时，．(1)求与的函数关系式．(2)如果的取值范围为时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先设，再把，代入可得关于的方程，再解出的值可得答案；（2）根据的取值范围，结合一次函数解析式，利用等量代换可得关于的不等式组，再解不等式即可．【详解】（1）设，∵当时，，∴，解得：，∴与的函数关系式为，即；（2）∵，∴，解得：【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数值，关键掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；（2）将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．14．（2022·全国·八年级专题练习）一次函数的图象先向下平移4个单位，再向右平移2个单位，作关于x轴对称，对称后的直线的解析式为，求原函数图象的解析式．【答案】【分析】设原函数图象的解析式为，根据一次函数平移的规律，即可进行解答．【详解】解：设原函数图象的解析式为，原函数向下平移4个单位，得到的函数解析为：，再向右平移2个单位，得到的函数解析为：，关于x轴对称后，得到的函数解析式为：，整理得：∵变化为的函数解析式为：，∴，解得：．∴原函数的解析式为：．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移变化，解题的关键是掌握：上加下减，左加右减．15．（2022春·河北石家庄·七年级期末）嘉琪要去甲或乙商店购买签字笔，设她购买该签字笔x支（）．根据表中信息解答问题：商店名称标价（元/支）优惠办法甲1.50一次购买不超过10支，按标价付款；一次购买10支以上，则超过10支的部分按标价的60%付款．乙1.50按标价的80%付款(1)嘉琪在甲店花元，在乙店花元（用含x的式子表示）；(2)嘉琪买多少支签字笔时，在甲、乙两店所花的钱一样多？(3)若嘉琪买签字笔30支，你认为她该去哪个店购买更省钱？通过计算说明理由．【答案】(1)；(2)买20支水性笔时，在甲、乙两店购买所花的钱一样多(3)要买30支笔应到甲商店买比较省钱【分析】（1）先求出甲商店10支水性笔的