专题27.3垂径定理（举一反三）（华东师大版）（原卷版）

专题27.3垂径定理【十大题型】【华东师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用垂径定理求线段长度】 1【题型2利用垂径定理求角度】 5【题型3利用垂径定理求最值】 9【题型4利用垂径定理求取值范围】 13【题型5利用垂径定理求整点】 18【题型6利用垂径定理求面积】 22【题型7垂径定理在格点中的运用】 26【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33【题型10垂径定理的应用】 37【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）A．1 B．3 C．2 D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B．62 C．8 D．【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5 B．23 C．42 D．2【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12 B．1 C．32 D【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为（）A．1 B．233 C．334【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910 B．65 C．85 【题型4利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型6利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．2 B．1 C．32 D．【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4 B．275π4 C．125【题型7垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB上，若点P是BC的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4-26，0) B．(-4+26，0) C【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1 B．7 C．8或1 D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝23，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地