概率论与数理统计教学课件2.3随机变量函数的分布_第1页
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文档简介

§2.3

随机变量函数的分布

在实际中，人们不仅对随机变量感兴趣，还对随机变量的函数感兴趣.求截面面积A=

的分布.例如，已知圆轴截面直径d

的分布，概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.一、基本概念

设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y

的分布？

设函数g是定义在随机变量X的一切可能值的集合上的连续函数，如果X取x时，随机变量Y取值g(x)为，称随机变量Y是随机变量X的函数.记作Y=g(X).概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布律故Y～0.30.50.2

P

13

7

5

Y

求Y=2X+3的分布律。例1设X～0.30.50.2

P5

2

1

X

概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布例2设X～0.20.10.50.2P

-1012

X求的分布律.Y～0.10.70.2P125

Y概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布一般地，若X是离散型R.VX的分布律为X～

P

XY=g( X)～

P

Y则如果

中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布例3已知随机变量X的分布律为：求的分布律。Y～2/151/38/15P

-101

Y概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布

已知随机变量X～，求出的密度函数，即～.例4设X

~求Y=2X+8的密度函数.概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布由此可见，求连续型随机变量Y的函数的密数建立了一定的关系，然后利用分布函数与密度的方法是：首先将Y的分布函数在y处的函转化为X的分布函数在处的函数数值值，这样将Y的分布函数与X的分布函称为“分布函数法”。度函数的关系，求出Y的密度函数。这种方法概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布

已知随机变量X～，求出的密度函数，即～的步骤：①建立随机变量X的分布函数与随机变量Y的分布函数的关系式；②利用上述的关系式求随机变量Y的密度函数，得到随机变量X的密度函数与随机变量Y的密度函数的关系式；概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布例5

若，求的密度函数。③将已知随机变量X的密度函数代入上面的关系式.概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布例6.设随机变量，令,求Y的密度函数。概率论与数理统计§2.3

随机变量函数的分布其中，定理1

设X是一连续型随机变量，其密度函数为f(x),又设y=g(x)处处可导，对于任意x,恒有

或者

(连续),则

Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为是的反函数。例

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