人教版九年级下册-第二十八章-锐角三角函数单元练习题(含答案)

PAGE人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα等于()A．B．C．D．2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()A．sinB＝B．sinB＝C．sinB＝D．sinB＝3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是()A．144cmB．180cmC．240cmD．360cm4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，则∠A的度数是()A．30°B．45°C．60°D．70°5.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3,4)，则tanα的值是()A．B．C．D．6.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距离是6km，仰角∠ARL＝30°，又经过1s后火箭到达B点，此时测得仰角∠BRL＝45°，则这枚火箭从A到B的平均速度为()A．(3－3)km/sB．(3)km/sC．(3＋3)km/sD．3km/s7.在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝，你认为最确切的判断是()A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是()A．B．C．D．9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，则下列三角函数值正确的是()A．sinA＝B．tanB＝C．sinB＝D．cosA＝10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB等于()A．B．C．D．2二、填空题11.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)12.在△ABC中，已知两锐角A、B，且cos＝，则△ABC是_____三角形．13.在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于________．14.已知△ABC，若有|sinA－|与(tanB)2互为相反数，则∠C的度数是__________．15.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)16.在等腰△ABC中，∠C＝90°，则cosA＝__________.17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝____________.18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝4，c＝5，则tanA＝__________.19.比较大小：tan50°________tan48°.20.比较大小：tan36°________tan37°.三、解答题21.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求cosA的值．22.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求cosB.23.同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；(2)我们知道，tanα＝，试求出tan15°的准确值．24.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm.(1)如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；(2)如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．(结果保留根号)(参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20)25.计算：cos245°＋cot230°.26.计算：sin45°＋cos230°＋2sin60°.27.小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB＝62°，立杆OA＝OB＝140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由(参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66)28.如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)，在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢线ED的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)

答案解析1.【答案】C【解析】过P作PE⊥x轴于点E，∵P(12,5)，∴PE＝5，OE＝12，∴tanα＝＝，故选C.2.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinB＝，∵AD⊥BC，∴sinB＝，sinB＝sin∠DAC＝，综上，只有C不正确故选C.3.【答案】B【解析】如图：根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF＝EF＝30cm，∴＝，∴＝，∴CD＝72cm，∵tanα＝，∴＝，∴AD＝×72＝180cm.故选B.4.【答案】A【解析】由图可得：tanA＝＝＝，则∠A＝30°.故选A.5.【答案】B【解析】tanα＝，故选B.6.【答案】A【解析】LR＝AR·cos30°＝6×＝3(km)，AL＝AR·sin30°＝3(km)，BL＝LR·tan45°＝3(km)，则BA＝3－3(km)．故选A.7.【答案】B【解析】∵tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°.又∵三角形内角和为180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形．故选B.8.【答案】A【解析】由勾股定理，得AC＝＝4，由正切函数的定义，得tanA＝＝，故选A.9.【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，∴AB＝＝＝，A、sinA＝＝＝，故本选项错误；B、tanB＝＝，故本选项正确；C、sinB＝＝＝，故本选项错误；D、cosA＝＝＝，故本选项错误，故选B.10.【答案】C【解析】∵∠C＝90°，cosA＝，∴∠A＝60°，得∠B＝30°，所以tanB＝tan30°＝.故选C.11.【答案】54.6【解析】作AD⊥BC于点D.∵∠DAC＝45°，∴CD＝AD＝20.∵∠BAD＝60°，∴BD＝AD×tan60°＝20≈34.6(米)．∴BC＝BD＋CD＝34.64＋20≈54.6(米)．12.【答案】直角【解析】由两锐角A、B，且cos＝，得＝45°，两边都乘以2，得A＋B＝90°，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°，所以△ABC是直角三角形．13.【答案】【解析】∵cosA＝，设b＝3x，则c＝5x，根据a2＋b2＝c2，得a＝4x.∴tanA＝＝＝.14.【答案】90°【解析】∵|sinA－|与(tanB)2互为相反数，∴sinA－＝0，tanB＝0，则sinA＝，tanB＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，则∠C的度数是90°.15.【答案】(150＋100)米【解析】过D作DF⊥AC.在Rt△ADF中，易得CE＝DF＝AD×sin30°＝150米，在Rt△BDE中，易得BE＝BD×sin60°＝100米，故山高BC＝CE＋BE＝(150＋100)米．16.【答案】【解析】∵∠C＝90°，△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴cosA＝.17.【答案】【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，∴sinB＝＝.18.【答案】【解析】∵∠C＝90°，a＝4，c＝5，∴根据勾股定理得b＝＝＝3，∴tanA＝＝.19.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan50°＞tan48°.20.【答案】＜【解析】tan36°＜tan37°.故答案为＜.21.【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cosA＝sinB＝.【解析】先根据三角形内角和定理得出∠A＋∠B＝90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．22.【答案】解∵tanA＝，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－60°＝30°，∴cosB＝.【解析】先根据正切值求出∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠B的度数，再根据余弦的定义即可求解．23.【答案】解(1)cos15°＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝；(2)tan15°＝＝＝2－.【解析】从题中给出的信息进行答题：(1)把15°化为45°－30°直接代入三角函数公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ计算即可；(2)把tan15°代入tanα＝，再把(1)及例题中的数值代入即可．24.【答案】解(1)∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，∴sin24°＝，∴CD＝ACsin24°＝30×0.40＝12cm；∴支撑臂CD的长为12cm；(2)过点C作CE⊥AB，于点E，当∠BAC＝12°时，∴sin12°＝＝，∴CE＝30×0.20＝6cm，∵CD＝12，∴DE＝6，∴AE＝＝12cm，∴AD的长为(12＋6)cm或(12－6)cm.【解析】(1)利用锐角三角函数关系得出sin24°＝，进而求出即可；(2)利用锐角三角函数关系得出sin12°＝，进而求出DE，AE的长，即可得出AD的长．25.【答案】解原式＝2＋()2＝＋3＝.【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．26.【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋.【解析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．27.【答案】解这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面，理由：过点O作OE⊥AB于点E，∵OA＝OB，∠AOB＝62°，∴∠OAB＝∠OBA＝59°，在Rt△AEO中，OE＝OA·sin∠OAB＝140×sin59°≈140×0.86＝120.4，∵120.4＜122，∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．【解析】过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函数sin∠OAB＝，求得OE，即可作出判断．28.【答案】解设BD＝x米，则BC＝x米，BE＝(x＋2)米，在Rt△BDE中，tan∠EDB＝＝，即≈1.33，解得x≈6.06，∵sin∠EDB＝，即0.8＝，解得ED≈10，即钢线ED的长度约为10米．【解析】根据题意，可以得到BC＝BD，由∠CDB＝45°，∠EDB＝53°，由三角函数值可以求得BD的长，从而可以求得DE的长．

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数章末专题训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数章末专题训练选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值(D)A．扩大为原来的5倍B．缩小为原来的eq\f(1,5)C．扩大为原来的10倍D．不变2.下列式子错误的是(D)A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D．sin60°＝2sin30°3.如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tanα＝eq\f(DE,BE)；④AC＝i·BC.其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个4.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1:3（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是

（

A）

A.53米 B.103米 C.15米 D.5.△ABC在网格中的位置如图K－17－2所示(每个小正方形的边长都为1)，AD⊥BC于点D，下列选项中，错误的是(C)图K－17－2A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝16.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是(B)A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能确定7.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直。当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为(D)A．(11－2eq\r(2))米 B．(11eq\r(3)－2eq\r(2))米C．(11－2eq\r(3))米 D．(11eq\r(3)－4)米8.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（A）A.2-π3 B.2-π69.用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)A．0.90B．0.72C．0.69D．0.6610.如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（D）

A.1+3

B.1+23

C.2+23

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．[答案]eq\f(3,4)12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，那么，cosB＝________.[答案]eq\f(3,5)13.如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________米．[答案]20eq\r(3)14.等腰三角形的腰长为20，底边长为32，则其底角的余弦值是______．[答案]415．若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3eq\r(3)x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．[答案]30°三、解答题16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝2cm，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)(cm)，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).即sinA＝eq\f(2\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(5),5).17.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23.求AB的长．

解：过C作CD⊥AB于D，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∵∠B=45°，

∴∠BCD=∠B=45°，

∴CD=BD，

∵∠A=30°，AC=23，

∴CD=3，

∴BD=CD=3，

由勾股定理得：AD=AC2-CD2=3，

∴AB=AD+BD=3+318.已知：sinα＋cosα＝m，sinα·cosα＝n.试确定m、n之间的关系．解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m，sinα·cosα＝n，∴m2－2n＝1.19.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．20.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.(1)求sin∠BAC的值；(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；(3)求tan∠ADC的值.图K－17－12解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝5，BC＝3，∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5).(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，∴E是AC的中点，∴OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2).(3)∵AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,3).21.已知α是锐角，化简：eq\r(cos2α－4cosα＋4)－|1－cosα|.解：原式＝eq\r(cosα－22)－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.22.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线．

（2）若BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．

证明：（1）连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即∠ADC+∠CDB=90°，

∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，

∴∠EAC+∠BAC=90°，

即∠BAE=90°，

∴直线AE是⊙O的切线；

（2）过点B作CF边的垂线交CF于点H．

∵cos∠BAD=34，

∴cos∠BCD=34，

∵BC=4，

∴CH=3，

∴BH=7，

∴FH=CF-CH=13，

在Rt△BFH中，BF=

人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章质量评估试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．tan45°的值为(B)A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)2．[2017·兰州]如图1，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于(C)A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(13,12)【解析】在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120m，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于eq\f(50,120)＝eq\f(5,12).故选C.图1图23．[2018·益阳]如图2，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300m到达B点，则小刚上升了(A)A．300sinαm B．300cosαmC．300tanαmD.eq\f(300,tanα)m【解析】∵sinα＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝ABsinα＝300sinα(m)，故选A.4．如图3，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10m，坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(D)A．26m B．28mC．30m D．46m图3【解析】∵坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，∴AE＝1.5BE＝18(m)．又∵BC＝10m，∴AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m)．故选D.5．关于x的一元二次方程x2－eq\r(2)x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(B)A．15° B．30°C．45° D．60°【解析】根据题意，得Δ＝b2－4ac＝2－4sinα＝0，解得sinα＝eq\f(1,2)，∴α＝30°.故选B.6．如图4，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3eq\r(2)m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3eq\r(3)m，则鱼竿转过的角度是(C)A．60° B．45°C．15° D．30°【解析】∵在Rt△ABC中，sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),6)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAB＝45°.∵在Rt△AB′C′中，sin∠C′AB′＝eq\f(B′C′,AC′)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠C′AC＝60°－45°＝15°.故选C.图4图57．如图5，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(B)A．2eq\r(3)m B．2eq\r(6)mC．(2eq\r(3)－2)m D．(2eq\r(6)－2)m【解析】∵在Rt△ABD中，sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝4sin60°＝2eq\r(3)(m)，∵在Rt△ACD中，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(2\r(3),sin45°)＝2eq\r(6)(m)．故选B.8．如图6，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(C)A.eq\f(1,3) B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(2\r(2),3)图6第8题答图【解析】如答图，作直径CD，∵在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，∴OD＝eq\r(CD2－OC2)＝4eq\r(2)，tan∠CDO＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(\r(2),4)，由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝eq\f(\r(2),4).故选C.9．[2018·凉山州]如图7，无人机在A处测得正前方河流两岸B，C的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为(A)A．h(tan50°－tan20°) B．h(tan50°＋tan20°)C．heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan70°)－\f(1,tan40°))) D．heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan70°)＋\f(1,tan40°)))图7第9题答图【解析】如答图，过A作AD⊥BC交CB延长线于点D，则Rt△ACD中，∠CAD＝50°，AD＝h，∴CD＝ADtan50°＝htan50°.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝20°，可得BD＝AD·tan20°＝htan20°，∴CB＝CD－BD＝htan50°－htan20°＝h(tan50°－tan20°)．故选A.10．[2018春·沙坪坝区校级月考改编]如图8，某地有一处岩画，其高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处，为了测量岩画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i＝0.75的斜坡上行65m到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°，再往正前方水平走15m到达D处，在D处测得岩画底端F处的俯角为42°，岩画底端F处距离山脚B处的距离是12m．A，B，C，D，E，F在同一平面内，A，B在同一水平线上，EB⊥AB，根据小明的测量数据，则岩画的高度EF为(精确到0.1m，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.9，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9)(A)A．49.5m B．68.7mC．69.7m D．70.2m图8第10题答图【解析】如答图，作CN⊥AB于N，延长CD交BE于M.在Rt△ACN中，AC＝65m，CN∶AN＝0.75，∴CN＝39m，AN＝52m，∵四边形CNBM是矩形，∴CN＝BM＝39m，∵BF＝12m，∴FM＝27m，在Rt△DMF中，tan42°＝eq\f(FM,DM)，∴DM＝30m，在Rt△CEM中，∵CM＝CD＋DM＝45m，∴EM＝CM·tan26.5°＝22.5m，∴EF＝EM＋FM＝22.5＋27＝49.5m，故选A.二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为__eq\f(\r(3),2)__．图9【解析】∵AB＝2BC，∴AC＝eq\r(（2BC）2－BC2)＝eq\r(3)BC，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3)BC,2BC)＝eq\f(\r(3),2).12．[2018·德州]如图10，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是__eq\f(\r(5),5)__．【解析】∵AC＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(5),5).图10图1113．[2017·黄石]如图11所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°；随后沿直线BC向前走了100m后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为__137__m．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)【解析】设AB＝xm，则BC＝xm．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(x,x＋100)＝eq\f(\r(3),3)，解得x≈137.14．[2017·天门]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图12，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12m，背水坡面CD＝12eq\r(3)m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝eq\f(3,13)eq\r(3)，则CE的长为__8__m.图12第14题答图【解析】分别过A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，如答图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12m，∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(AF,AB)，∴AF＝12×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，∴DG＝6eq\r(3).∵在Rt△DGC中，CD＝12eq\r(3)，DG＝6eq\r(3)m，∴GC＝eq\r(CD2－DG2)＝18.∵在Rt△DEG中，tanE＝eq\f(3,13)eq\r(3)，∴eq\f(6\r(3),GE)＝eq\f(3,13)eq\r(3)，解得GE＝26，∴CE＝GE－CG＝26－18＝8，即CE的长为8m.15．如图13，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝__eq\f(3,4)__．图1316．[2018·苏州]如图14，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5).将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则sin∠ACB′＝__eq\f(4,5)__．图14第16题答图【解析】如答图，过点B′作B′D⊥AC于D，由旋转可知：∠B′AB＝90°，AB′＝AB＝2eq\r(5)，∴∠AB′D＋∠B′AD＝∠B′AD＋∠CAB＝90°，∴∠AB′D＝∠CAB，∵AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，∴AC＝5，∴AD＝AB′sin∠AB′D＝AB′sin∠CAB＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，∴CD＝5－2＝3，∴B′D＝eq\r(（2\r(5)）2－22)＝4，∴B′C＝5，∴sin∠ACB′＝eq\f(B′D,B′C)＝eq\f(4,5).三、解答题(共66分)17．(8分)计算：(1)eq\f(cos230°＋cos260°,tan60°·cos30°)＋tan60°；(2)2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋eq\r(6)·tan60°.解：(1)原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),\r(3)×\f(\r(3),2))＋eq\r(3)＝eq\f(2,3)＋eq\r(3)；(2)原式＝2×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)－2×eq\f(1,2)×1＋eq\r(6)×eq\r(3)＝1－1＋3eq\r(2)＝3eq\r(2).18．(8分)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知c＝8eq\r(3)，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3eq\r(6)，∠A＝30°，求∠B，b，c.解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，a＝csinA＝csin60°＝8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12，b＝ccosA＝ccos60°＝8eq\r(3)×eq\f(1,2)＝4eq\r(3)；(2)∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，c＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sin30°)＝eq\f(3\r(6),\f(1,2))＝6eq\r(6)，b＝eq\f(a,tanA)＝eq\f(a,tan30°)＝eq\f(3\r(6),\f(\r(3),3))＝9eq\r(2).19．(10分)如图15，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5eq\r(3)，∠A＝30°.图15(1)求BD和AD的长；(2)求tanC的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∵在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝sinA·AB＝eq\f(1,2)AB＝3，∴AD＝eq\f(BD,tanA)＝eq\r(3)BD＝3eq\r(3)；(2)∵CD＝AC－AD＝5eq\r(3)－3eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴在Rt△BCD中，tanC＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2).20．(10分)[2018·宁夏]如图16，已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.(1)求证：△ABE≌△BCN；(2)若N为AB的中点，求tan∠ABE.图16解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBM＝90°，∵CN⊥BE，∴∠BCN＋∠CBM＝90°，∴∠ABE＝∠BCN，在△ABE和△BCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAB＝∠NBC，,AB＝BC，,∠ABE＝∠BCN，))∴△ABE≌△BCN(ASA)；(2)∵△ABE≌△BCN，∴AE＝BN，∵N为AB的中点，∴BN＝eq\f(1,2)AB，在Rt△ABE中，tan∠ABE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(BN,AB)＝eq\f(1,2).21．(10分)[2018·山西节选]祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量，测量结果如下表：项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A