概率论与数理统计教学课件1.2-3随机事件的概率

§1.2

随机事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！大小，也就是事件的概率.研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性概率论与数理统计§1.2随机事件的概率一、频率与概率

1.

频率即

在相同条件下，进行次试验，事件A次，称为事件A发生的频数；称/为事件A发生的频率，记作发生了比值概率论与数理统计§1.2随机事件的概率概率论与数理统计§1.2随机事件的概率例1

将一枚均匀的硬币抛掷500次，A表示正面向上，得到数据如下：试验次数频数(A发生的次数)频率5002510.502序号试验次数频数频率15002510.50225002490.49835002560.51245002530.50655002510.50265002460.49275002440.48885002580.51695002620.524105002470.494频率的不确定性实验者实验次数频数频率德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5059K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.

频率稳定性概率论与数理统计§1.2随机事件的概率2.概率定义1

在相同条件下，重复进行次试验，增大，事件A发生的当试验的次数附近摆动，称这个频率在一个常数为事件A的概率，记作。数常概率论与数理统计§1.2随机事件的概率概率的统计定义。关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：

2.对于较大的n，n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.

1.

频率是随着试验的变化而发生变化的。试验不同，频率的大小不同；而概率是先于试验而客观存在的，无论进行多少次试验，概率始终不变。概率论与数理统计§1.2随机事件的概率频率的性质：（1）(非负性)（2）

（正则性）相容的随机事件，则（3）（可加性）设是两两互不概率论与数理统计§1.2随机事件的概率概率的公理化定义设E是随机试验，是它的样本空间，对于

中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数满足下述三条公理:公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

(3)

这里事件个数可以是有限或无限的.

（可列可加性）公理1

(非负性）(1)公理2

P()=1（正则性）(2)

概率论与数理统计§1.2随机事件的概率公理1说明，任一事件的概率一定大于等于0；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何两两互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生的概率之和.概率论与数理统计§1.2随机事件的概率3.

概率的性质概率论与数理统计§1.2随机事件的概率性质1;性质2(有限可加性）若事件A1,A2

,…,An

两两互不相容，则有

性质3设Ａ、B是两个事件，若,则有且概率论与数理统计§1.2随机事件的概率

性质5对于任一事件A有；性质5在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).性质4对于任一事件A有;例1

将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们常常先来计算A的对立事件={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.{出3次“6”点}概率论与数理统计§1.2随机事件的概率称此公式为加法公式。特别地，当A、B互不相容时，有

性质6

对于任意两个事件A、B，有三个事件和的概率为

加法公式推广到多个随机事件

概率论与数理统计§1.2随机事件的概率

n个事件和的概率为

概率论与数理统计§1.2随机事件的概率例1

已知A,B,C是三个随机事件，且计算：.概率论与数理统计§1.2随机事件的概率例2

已知随机事件A,B，且计算：.例3P15例1.3.2三.古典概型排列组合的复习中任取个球，有多少种摸法？(1)摸球问题个球，编号为1，2,…，

，从一个袋中有种摸法；有放回，且计摸球次序（回置式抽样），共有④无放回，不计摸球次序，共有种摸法；种摸法；③无放回，且计摸球次序（非回置式抽样），共有概率论与数理统计§1.2随机事件的概率②有放回，不计摸球次序，共有种摸法。④每个盒子容纳球不限，球无区别，共有种放法。（2）占位问题设有个有编号的盒子，个球，把它们任意地放入个盒子中，有多少种放法？每个盒子容纳球不限，球有区别,共有种放法；③每个盒子至多容纳一个球，球无区别，共有种放法；种放法；②每个盒子至多容纳一个球，球有区别，共有概率论与数理统计§1.2随机事件的概率

称这种试验为有穷等可能随机试验，具有上述两个特点的概率模型称为古典概型.若随机试验满足下述两个条件：2.古典概型的特点(2)每个样本点出现的可能性相同.(1)它的样本空间只有有限多个样本点；概率论与数理统计§1.2随机事件的概率23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.3.古典概型的计算公式记

A={摸到2号球}

P(A)=?

P(A)=1/1022记

B={摸到红球}

P(B)=?

P(B)=6/10132456概率论与数理统计§1.2随机事件的概率设试验E是古典概型,其样本空间由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝中的样本点总数称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.概率论与数理统计§1.2随机事件的概率例2

某城市的电话号码由7个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由七个不同数字组成的概率.例3

一个教室共有100个人，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365

天计算）。概率论与数理统计§1.2随机事件的概率球，10只蓝球，从袋任取球两次，每次任取一只，考虑两种取球方式：（1）第一次取一只球，观察颜色后放回，再取第（2）第一次取一只球不放回，第二次从剩下的球（b）取到两只球中至少有一只是白球的概率。例4

袋中有100只球，其中有60只白球，30只红二只（回置式抽样）；中再取一只（非回置式抽样）。求（a）取到的两只球都是白球是概率；概率论与数理统计§1.2随机事件的概率例5

把20个队分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。例6

设有20个零件，其中16个是一等品，4个是

二等品，今从中任取3个，求至少有一个是一等品的概率。概率论与数理统计§1.2随机事件的概率概率论与数理统计§1.2随机事件的概率四、几何概型

古典概率是只是适应于具有等可能性的有限样本空间，若试验结果无穷多，他显然是不适应的，下面将古典概型加以推广。一个试验被称为几何概型，若它满足如下特点：（1）样本空间是一个几何区域，这个区域的大小可以度量。并将的度量记为。（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的。即落在中的区域A