三角函数综合训练10

试卷第1页，共SECTIONPAGES1页三角函数综合训练10姓名：___________班级：___________考号：___________题1．（2021下·高一课时练习）判断方程在R内根的个数．【题型】解答题【难度】0.94【标签】函数与方程的综合应用；余弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数；【来源】略【答案】2【解析】【分析】转化为和的图象交点个数问题，数形结合得到答案.【详解】在同一直角坐标系中作出函数和的图象，如图．当时，，，当时，，，结合图象可知两函数的图象在内有两个交点，所以在R内有两个根．题2．（2016上·吉林松原·高三统考期末）已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的图象与性质；【来源】略【答案】（1）函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）B=，C=．【解析】试题分析：（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，x∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（）=﹣，求出sin（B﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数．解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．题3．（2015下·河南南阳·高一阶段练习）设函数（1）求函数在[0，2π）内的单调递增区间;（2）设集合A=,B=，若AB，求实数的取值范围．【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的图象与性质；【来源】略【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）首先将函数式整理为求增区间需令求解自变量的范围，对适当取值得到上的单调性（2）首先将AB转化为两集合的变量范围的条件关系，即不等式恒成立问题，将参数分离出来求函数的最值，得到的取值范围试题解析：（1），故函数在内的单调增区间为（2）若则在恒成立在上恒成立，当时考点：1．三角函数化简及单调性最值；2．不等式与函数的转化题4．（2020·高一课时练习）求的振幅、初相、周期和频率.【题型】解答题【难度】0.94【标签】识别正(余)弦型三角函数的图象；【来源】略【答案】振幅，初相，周期，频率.【解析】【解析】由正弦型函数的性质依次指出即可【详解】由题,,,,则,,所以振幅,初相,周期,频率【点睛】本题考查正弦型函数的基本性质,属于基础题题5．（2020·高一课时练习）已知,,求t的取值范围.【题型】解答题【难度】0.94【标签】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数；【来源】略【答案】【解析】【解析】将代入计算即可.【详解】解:因为,所以由此解得.【点睛】本题考查正弦函数的值域，是基础题.题6．（2021上·高一课时练习）求函数的单调递减区间．【题型】解答题【难度】0.94【标签】求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】和.【解析】【分析】根据正弦型函数的性质有时函数单调递减，即可求出的递减区间，进而讨论k值确定上的递减区间即可.【详解】∵上单调递减，∴上单调递减，当：；当：；∴、为的单调递减区间.题7．（2023·全国·高一随堂练习）求函数的定义域和周期．【题型】解答题【难度】0.94【标签】求正切(型)函数的周期；求正切(型)函数的定义域；【来源】略【答案】，.【解析】【分析】利用正切函数的定义域、周期求解即得.【详解】函数中，，解得，所以函数的定义域是,周期为.题8．（2016·湖南·高二统考学业考试）已知函数.（1）求的值；（2）求的最小值，并写出取最小值时自变量的集合.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；二倍角的正弦公式；【来源】略【答案】（1）；（2）的最小值为，此时【解析】【分析】由已知可得，（1）将代入即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可.【详解】解：由已知得，（1）；（2）由得的最小值为，此时，即，则取最小值时自变量的集合为.【点睛】本题主要考查三角恒等变形及三角函数的性质，是基础题.题9．（2020上·北京顺义·高三统考期末）函数（）的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）求在区间的最大值与最小值.【题型】解答题【难度】0.94【标签】由图象确定正(余)弦型函数解析式；利用正弦型函数的单调性求函数值或值域；【来源】略【答案】（1）（2）最大值为1，最小值为【解析】【解析】先用降幂公式将化为,再利用三角函数的和差公式化为,根据图象可得最小正周期,利用求出即可.（2）由,得出,即可求出,则得到最大最小值.【详解】解：（1）∴的最小正周期∴（2）∵∴∴∴求在区间的最大值为1,最小值为【点睛】本题考查根据三角函数图象求函数解析式,以及求三角函数在给定区间内的最大最小值.题10．（2022·高一课时练习）利用函数，与，的图象，在内求且时的取值范围．【题型】解答题【难度】0.94【标签】正弦函数图象的应用；余弦函数图象的应用；【来源】略【答案】【解析】【分析】画出正弦函数与余弦函数在的图象，数形结合求出答案.【详解】在同一坐标系下作出，与，的图象，如下所示：故且时的取值范围是.题11．（2022·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)．【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx的函数的奇偶性；求余弦(型)函数的奇偶性；求含cosx的函数的奇偶性；【来源】略【答案】(1)偶函数(2)奇函数【解析】【分析】（1）结合函数的奇偶性确定正确答案.（2）结合函数的奇偶性确定正确答案.【详解】（1）的定义域为，，所以为偶函数.（2）的定义域为，，所以是奇函数.题12．（2019上·安徽铜陵·高一统考期末）已知函数，.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的化简求值诱导公式；求cosx型三角函数的单调性；cos2x的降幂公式及应用；【来源】略【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】先根据诱导公式及降幂公式化简得；（1）代入求值即可；（2）由即可解出答案．【详解】解：；（1）；（2）由得，，∴函数的单调递增区间是．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题．题13．（2020上·江西赣州·高一统考期末）已知函数（1）求函数的单调增区间和对称中心坐标；（2）若关于方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.【题型】解答题【难度】0.94【标签】正弦函数图象的应用；求正弦(型)函数的对称轴及对称中心；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】（1）单调增区间为，对称中心坐标为；（2）．【解析】【解析】（1）利用倍角公式、和差公式化简函数得，由可得其单调区间，由可得对称中心坐标；（2）由可得，画出图象，根据关于方程在上有两个不同的解，结合图象可得实数的取值范围．【详解】解：（1）∵，由可得，由得，解得，∴函数的单调增区间为，对称中心坐标为；（2）由可得，，画出函数的图象，∵，若关于方程在上有两个不同的解，则，∴，实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．题14．（2013上·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知（Ⅰ）求函数图象的对称中心的横坐标；（Ⅱ）若，求函数的值域．【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的图象与性质；【来源】略【答案】（1）对称中心的横坐标为；（Ⅱ）函数．【解析】试题分析：（1）由，化为单一函数令得到对称中心的横坐标的值．（2）由，借助于正弦函数的图像和性质得到值域．解：（1）……2分…………4分令对称中心的横坐标为………………6分（Ⅱ）由则………………8分∴函数………………10分考点：本题主要考查了向量的数量积公式以及三角函数性质的运用．点评：解决该试题的关键是将函数化为单一三角函数，要准确的运用二倍角公式变形得到，同时要熟练运用三角函数的性质得到对称中心的坐标和值域问题．题15．（2023下·浙江绍兴·高二校考期中）已知函数，.(1)求的值；(2)求的单调递增区间.【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角恒等变换的化简问题；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】(1)(2)递增区间为.【解析】【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数式，将自变量代入求值即可；（2）根据正弦型函数的性质求递增区间即可.【详解】（1），所以.（2）由（1），令，则，所以的递增区间为.题16．（2012上·陕西咸阳·高三统考期末）已知函数的图像的一部分如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）求函数的最值;【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的图象与性质；【来源】略【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由图像知，，当时，有,,（Ⅱ）考点：本题主要考查三角函数的解析式，三角函数的图象和性质．点评：典型题，根据函数图象特征确定函数的解析式，一般地，先确定A，T，通过代入计算确定．题17．（2019下·湖北恩施·高一校联考阶段练习）已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx.（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）当x∈（]时，求f（x）的值域.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦(型)函数的最小正周期；求正弦(型)函数的对称轴及对称中心；辅助角公式；【来源】略【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）根据两角差的余弦公式和辅助角公式，化为正弦型函数，再求它的最小正周期及对称中心；（2）利用正弦函数的性质求出时的取值范围即可．【详解】解：（1）函数，所以的最小正周期为，令，，解得，，的对称中心为；（2）当时，，，的值域为．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题．题18．（2019上·浙江·高三校联考期末）（I）证明：；（II）求函数的最小正周期与单调递增区间.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx的函数的最小正周期；两角和与差的正弦公式；辅助角公式；【来源】略【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由两角和与差的正弦公式求和即可得出结论成立；（II）先将函数整理成正弦型复合函数的形式，再根据正弦函数的周期和递增区间即可求出结果.【详解】（I）证明：对任意，，，两式相加，得，即；

（II）由（I），，即.故的最小正周期令，得，故的单调递增区间是.【点睛】本题第一问主要考查三角恒等变换，需要考生熟记两角和与差的正弦公式；第二问主要考查三角函数的图像与性质，需要考生灵活掌握三角函数的周期与单调性，属于常考题型.题19．（2020·高一课时练习）作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围.【题型】解答题【难度】0.94【标签】y=Asinx+B的图象；正弦函数图象的应用；【来源】略【答案】图见解析,【解析】【分析】取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可画出图像；令，求出，观察图像可得使的x的取值范围【详解】解:列表如下:x0001001311描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图).令,即,则.,,或,或.由图可知,使成立的x的取值范围是.【点睛】本题考查五点法作图，以及函数图像的应用，是基础题.题20．（2020·高一课时练习）利用计算机软件，按照下列各组数据，在同一坐标系中作函数的图像.（1），，；（2），，；（3），，；（4），，.观察图像，理解A，，对函数的图像变化的影响.【题型】解答题【难度】0.94【标签】识别正(余)弦型三角函数的图象；【来源】略【答案】图像见解析，A影响函数图像的最高点和最低点，影响函数的周期，影响函数的初始位置.【解析】【解析】将数据代入函数解析式中,进而画出图像即可【详解】黑色为（1）,蓝色为（2）,红色为（3）,绿色为（4）,由图可得,A影响函数图像的最高点和最低点,影响函数的周期,影响函数的初始位置【点睛】本题考查正弦型函数的图像,考查的意义题21．（2022·高一课时练习）求下列函数的周期：(1)；(2)；(3)；(4)．【题型】解答题【难度】0.94【标签】求正弦(型)函数的最小正周期；求余弦(型)函数的最小正周期；求正切(型)函数的周期；【来源】略【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果.【详解】（1）∵∴周期；（2）∵，∴周期；（3）∵，∴周期；（4）∵，∴周期.题22．（2019上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数的最大值为1.（Ⅰ）求常数的值；（Ⅱ）求出成立的的取值集合.【题型】解答题【难度】0.94【标签】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数；三角函数图象的综合应用；【来源】略【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换以及降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据三角函数的最大值即可求出答案；（Ⅱ）由题意得，利用三角函数的图象可得，解出即可．【详解】解：（Ⅰ），由的最大值为1可知，，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，由，得，∴，即，，故解集为．【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于基础题．题23．（2020·高一课时练习）求函数的定义域.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求正切(型)函数的定义域；【来源】略【答案】【解析】【解析】令，解出x的范围即可求得定义域.【详解】令，得，所以函数的定义域为.【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.题24．（2021下·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）．【题型】解答题【难度】0.85【标签】求正弦(型)函数的奇偶性；求余弦(型)函数的奇偶性；【来源】略【答案】（1）偶函数；（2）奇函数．【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数奇偶性即可.【详解】（1）由，得函数为偶函数；（2）由，则函数为奇函数.题25．（2019下·河南开封·高一校联考期中）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在上的单调区间．【题型】解答题【难度】0.85【标签】求sinx的函数的单调性；求正弦(型)函数的最小正周期；【来源】略【答案】（1）（2）递增区间，递减区间为【解析】【分析】(1)利用恒等变换把化为标准型，结合周期求解公式可得;(2)先求出的所有单调区间，再对进行赋值，求出上的单调区间.【详解】由已知得：（1）函数的最小正周期．（2）由（）得：（），又，∴，∴的单调递增区间为，同理可求的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用恒等变换先把目标函数化为标准型，结合函数性质的求解策略求解.题26．（2022下·四川德阳·高一四川省广汉中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数单调递增区间．【题型】解答题【难度】0.85【标签】求正弦(型)函数的最小正周期；三角恒等变换的化简问题；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）（2）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】（1）解：因为，所以，所以，即函数的最小正周期是，（2）解：令，，解得：，，所以函数的单调递增区间是，；题27．（2019上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知定义在上的函数,图象上相邻两个最低点之间的距离为,且.（1）求的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【题型】解答题【难度】0.65【标签】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数；由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)；cos2x的降幂公式及应用；【来源】略【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象上相邻两个最低点之间的距离可得周期,进而求得的值,将代入可得的值,进而得函数的解析式.（2）代入的解析式,根据降幂公式和辅助角公式,化简即可得不等式,根据自变量的取值范围求得的值域,根据恒成立问题即可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为图象上相邻两个最低点之间的距离为即所以则因为,带入可得,可解得所以（2）由（1）可知则由降幂公式可知所以不等式可化为恒成立即由辅助角公式化简可得即因为,则由正弦函数图像可知即恒成立所以只需解不等式可得【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法,根据自变量取值范围求得三角函数的值域,由恒成立问题求参数的取值范围,属于中档题.题28．（2020下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝1，（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且BE∥平面ACF，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．【题型】解答题【难度】0.65【标签】由图象确定正(余)弦型函数解析式；结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；【来源】略【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据，利用勾股定理得PA⊥AB，PA⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到PA⊥平面ABCD，从而PA⊥BD，再根据ABCD为正方形，有AC⊥BD得证.（2）连接ED，取ED的中点M，由三角形的中位线定理得BE∥OM，从而BE∥平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．然后建立空间直角坐标系，分别求得平面ACF，平面ACD的法向量，代入向量夹角公式求解.【详解】（1）证明：∵，∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（2）如图，连接ED，取ED的中点M，设AC∩BD＝O，连接OM，则BE∥OM，从而BE∥平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，，，平面ACF即平面ACM，设其法向量为，则即令x＝1，得，易知平面ACD的一个法向量为，∴，因为二面角F﹣AC﹣D为锐二面角，故所求余弦值为：．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和线面平行的判定定理以及二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.题29．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数.(1)求函数在的单调递增区间；(2)若，，求的值.【题型】解答题【难度】0.65【标签】三角恒等变换的化简问题；给值求值型问题；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角恒等变换可得，再整体代换或换元求解即可；（2）根据，，可求得，结合角的范围，利用同角三角函数的关系，可确定，再进行凑角即可求解.【详解】（1）依题意：，则，法一：令，则当时，，故函数在的单调递增区间为：；法二（教材版）：令，，则因为，的单调递增区间为且由得，故函数在的单调递增区间为：.（2）由（1）可知：，又，，则由，得，因为，所以，则，所以.题30．（2015上·江苏泰州·高三阶段练习）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量，其中半径较大的花坛内切于扇形，半径较小的花坛与外切，且与、相切．（1）求半径较大的花坛的半径（用表示）；（2）求半径较小的花坛的半径的最大值．【题型】解答题【难度】0.4【标签】复杂(根式型分式型等)函数的值域；求含sinx(型)函数的值域和最值；几何中的三角函数模型；【来源】略【答案】（1）；（2）10．【解析】试题分析：（1）先作出圆与边的切点，再利用直角三角形和两圆内切进行求解；（2）利用直角三角形和两圆外切用表示，再令和，利用换元法得到一元二次函数求其最值．试题解析：（1）设切于，连，切于，记、的半径为、，因为与内切，所以，．（2），，所以．令，所以，令，，所以当时，有最大值10．答：的半径的最大值为10．考点：1.两圆相切的判定；2.解直角三角形．题31．（2020上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知函数，.（1）若图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图像在上单调递增，求的最大值；（2）