新人教版八年级下数学学案：第十六章 二次根式

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念

【学习目标】1.理解二次根式的概念，并利用右(a'O)的意义解答具体题目.

2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题

【学习过程】

一、复习回顾1、口答：4的平方根是多少？4的算术平方根是多少？

2、填空：声的算术平方根是；厅=；

二、新知探究

(-)概念的形成

1、请同学们预习完成教材中的有关问题，写出这些问题的结

果：;

2、观察上述式子，你有什么发现？

3、您能说说什么样的式子叫二次根式？什么叫二次根号？什么叫被开方数？

4、请指出第一问所列式子的被开方数。

5、你知道在定义中为什么a00吗？

特别提示：因为负数没有平方根(算术平方根)，所以当a<0,《没有意义。

(二)概念的应用

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：五、冷、1、6(x>0)、

X

Vo>正、V4>y(x20,y・20).

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是

正数或0.

解:二次根式有：、y/x(x>0)、、J?、Jx+y(x20,y20)；不

是二次根式的有：省、蚯.

X

例2.当X是多少时，J3X-1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3X-1N0,•

，3%-1才能有意义.

【学习流程】

①复习回顾：5分钟；②新知探究：15分钟；③巩固练习：10分钟

④拓展应用：10分钟；⑤课堂小结：3分钟；⑥布置作业：2分钟.

三、巩固练习：教材练习

四、应用拓展：例3.当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义？

X+1

分析：要使，2x+3+」一在实数范围内有意义，必须同时满足j2x+3中的

小0和」■一中的x+l#O.巩固练习：10分钟

X+1

例4已知y=J2—x+Jx—2+5,求一的值.（变式（x—1）~+—y+4=0,

y

求而的值）

五、归纳小结：本节课要掌握：

1.形如JZ（a》O）的式子叫做二次根式，称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业：

七、当堂检测：

一、选择题

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-币B.y/lC.\[xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.V4B.716C.况D.-

X

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.石C.-D.以上皆不对

5

二、填空题：4.当+3在实数范围内有意义时,*的取值范围是__________；

X

5.若，3-x+Jx-3有意义，则4'=_______.

第十六章二次根式

16.1二次根式

第2课时二次根式的性质

一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：7^=|«|；

2.能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习重点、难点

重点：二次根式的性质行=时.

难点：综合运用性质叱=|«|进行化简和计算。

三、学习过程

(-)自学导航(课前预习)

(1)什么是二次根式，它有哪些性质？

(2)二次根式]——有意义，Dx__________o

丫尤-5

(3)在实数范围内因式分解：X：2-6=x2-()2=(卢___)(尸______)

(二)合作交流(小组互助)

一杵=______屈二一

1.计算：6=_____屈7=_

2

观察其结果与根号内幕底数的关系,归纳得到：当a>0日寸,Jci=_______

2.计算：J(T)2=_J(—0.2)2=______J(_20>=—

观察其结果与根号内基底数的关系,归纳得到：当a<0时,、必=_______

3.计算：V02=_____当a=O时Va2=_______

(三)展示提升(质疑点拨)

1.归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质：

aa>0

■\[a^=同=<00

—aa<0

2.化简下列各式：

(1)、7^F=___(2)、J(—0.5)2=__(3)、J(-6)2=____(4)、J(2d=_____(«<0)

3.请大家思考、讨论二次根式的性质(布)220)与行=时有什么区别与联系。

1.化简下列各式

(1)V4?(x>0)(2)7?

2.化简下列各式

(1)J(a-3>(a>3)(2)J(2X+3)2(X<-2)

(四)达标检测

A组

1.填空：(1)、7(2-^-02-(A/2X-3)2(x>2)=.(2)、&兀-钎=

(3)a、b、c为三角形的三条边，则&TZ=彳+|b—a—c|=.

2.已知2<xV3,化简：、(x-2)~+|x—3|

B组

3.己知0<*<1,化简：J(x—)'+4—不(XT—)"—4

4.把(2—x、一1—的根号外的(2—X)适当变形后移入根号内，得(

)

Vx-2

A、V2—xB、—2C^—，2-xD、—dx-2

5.若二次根式J-2X+6有意义,化简|六4|-|7-x|。

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

一、学习目标

理解G,4b—4ab(aNO,b》O),4ab-y[a•、/(a》O,620),并利用它们进行

计算和化简

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

(-)自学导航(课前预习)

1.填空：(1)>/4X79=___,74x9=____；4X囱,4x9

(2)716x725=___,-6x25=—；716x725716x25

(3)7100x736=—,-00x36=—.V100X^7100x36

(二)合作交流(小组互助)

1、学生交流活动总结规律.

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

\[a•y/b=>[cib.(aNO,bNO反过来：[4^=8•6(a20,b20)

例1、计算

(1)6X近(3)3娓X2屈(4)45a•

例2、化简

(1)79x16(2)716x81(3),81x100(4)02y2(5)宿

巩固练习

(1)计算:①A/16Xy/S②5百X2V15③71^7

(2)化简：而；V18；V24;A;Jl2a2索

(三)展示提升(质疑点拨)

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1)J(T)x(-9)=Cx户

(2)J4—XV25=4XXA/25=4X^25=4V12=8G

V25

展示学习成果后，请大家讨论：对于百xj万的运算中不必把它变成J市后再进行计

算，你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作

为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

(1)被开方数进行因数或因式分解。

(2)分解后把能开尽方的开出来。

(四)达标检测A组

1、选择题

(1)等式y[x+\・=7%2-1成立的条件是()

A.x21B.xNTC.D.xel或x〈一1

(2)下列各等式成立的是().

A.475X2V5=8A/5B.56X4行=20括

C.4A/3X3-j2=7V5D.573X4A/2=20A/6

(3)二次根式［(—2)2x6的计算结果是()A.2V6B.-25/6C.6D.12

2、化简与计算:

(2)V327Mx病；

(1)V36O；;(3)(4)V3x

B组

1、选择题

(1)若—2|++4b+4+J。？—c+—=0,则Vb~•~/ct•-\[c=()

A.4B.2C.-2D.1

(2)下列各式的计算中，不正确的是()

A.=V-4xV-6=(-2)X(-4)=8

42

B.J4a=xJ，=^2^xJ(a。)。=2a

C.打+42=,9+16=后=5

D.V132-122=7(13+12)(13-12)=713+12x713-12=后x1

2、计算：(1)6任X(-2遥)；(2)J8ab义指加；

3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

16.2二次根式的乘除

第2课时二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简.

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.

三、学习过程

(-)自学导航(课前预习)

1、计算：(1)3aX(-4-76)(2)Jl2abxJ6ab'

79V9

2、填空:(1)规律:

>V16

V16叵

736V36

41±

V16V16

3单3673636

V81而V818?

一般地，对二次根式的除法规定:

Vaa@=(a20,b>0)

(a20,b>0)反过来,

b&

（-）合作交流（小组互助）

1、计算：（1）三=（2）⑷卑

V3瓜

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为

商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（三）展示提升（质疑点拨）

阅读下列运算过程：

1_-2_275_2A/5

百一&x百一3'6一石x石一5

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：

2Vio

⑴(2)—产-(4)

3V2275

（四）达标检测A组

1、选择题

的结果是（).

2V2

A.-V5B.-C.V2D.

777

(2)化简号=的结果是()

V27

A.-也B.金C.-逅D.-V2

3J33

B组

用两种方法计算:

V6

⑴苧(2)

473

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减

一、学习目标

1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式；

2、理解和掌握二次根式加减的方法；

3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再

总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

二、学习重点、难点

1、重点：二次根式化简为最简根式.

2、难点：会判定是否是最简二次根式.

三、学习过程

（-）自学导航（课前预习）

计算.（1）2,x+3x；（2）2x"—3x~+5x~；（3）x+2,x+3y；（4）3ci~—2a~

（二）合作交流（小组互助）

学生活动：计算下列各式.

（1）20+30=(2)2瓜T瓜+5瓜=

(3)y/l+2币+3J9x7=(4)3\[?>-2>/3+\[2=

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2近与此表面上看是不相

同的，但它们可以合并吗？也可以.（与整数中同类项的意义相类似我们把30与-2百，

、-2右与4石这样的几个二次根式，称为同类二次根式）

3&+J=3&+2夜=5近36+a=36+36=66

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进

行合并.

例1.计算（1）^+718（2）V16x+V64x

例2.计算（1）3J羽-9J；+3疝(2)(A+亚)+(V12-V5)

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;

第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

（三）展示提升（质疑点拨）

(2)(748+720)+(712-75)

2__

例3.已知[4x2+y2-4x-6y+10=0,求(—X\/9x

(四)达标检测

一、选择题

1.以下二次根式：①m；②后;③•:④厉中，与6是同类二次根式的

是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式:①3-^3+3=6-^3；②—币=1；③+V6=\/S=2>/2；④,=2V2,

其中错误的有().

A.3个B.2个C.1个D.0个

3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是()

(A)省和Jli(B)百和(0-j^b和(D)Ja+1和Ja-1

4.下列各式的计算中，成立的是()

(A)2+V5=2A/5(B)4V5-3V5=1(0y/x2+y2^x+y(D)V45-V20=75

H1,1

5.右Q=—j=—,b=—=---的值为()

V2-1V2+1

(A)2(B)-2(C)V2(D)2V2

二、填空题

1.在瓜、-/15a.诟、7125>2痴'、3J近、-2、口中，与J荒是同

33aV8

类二次根式的有.

2.计算二次根式5&-3扬-14^1+9扬的最后结果是.

3.若最简二次根式3j2x+l与J3x-1是同类二次根式,则彳=.

4.若最简二次根式痴法与"疡是同类二次根式，则a=,b=.

5.计算：

(1)-727a3-a23+--V108a(2)V32-+V75-7(X5

3a4

16.3二次根式的加减

第2课时二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的