专题19圆(精讲精练)(原卷版+解析)

第19讲圆（精讲）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念探索并了解点与圆的位置关系探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧探索圆心角及其所对弧的关系了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补知道三角形的外心、知道三角形的内心了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等会计算圆的弧长、扇形的面积了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系TOC\o"1-2"\h\u第19讲圆（精讲） 1考点1：垂径定理及其运用 3考点2：圆周角定理及其运用 9考点3：点与圆的位置关系 15考点4：切线性质及其证明 18考点5：正多边形与圆 24考点6：与圆有关的计算 29课堂总结：思维导图 34分层训练：课堂知识巩固 35考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：弧AC=弧AD;②弧BD=弧CB；③CE=DE;④AB⊥CD;⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.｛圆的定义★★｝（2021秋•盐都区校级月考）如图，是的半径，为上一点（且不与点、重合），过点作的垂线交于点．以、为边作矩形，连结．若，，则的长为A．6 B．5 C．4 D．2｛圆的定义★★｝下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛圆的定义★★｝（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是A．B．C． D．｛垂径定理★｝（2021秋•定海区校级月考）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为A． B． C． D．12｛垂径定理★｝（2021•咸宁一模）如图，已知为的直径，弦，垂足为，若，，则的周长为A． B． C． D．｛垂径定理★★｝已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为A． B． C．或 D．或｛垂径定理的应用★★｝（2021秋•通川区校级期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是A．B． C． D．｛圆的定义★｝（2021秋•新荣区月考）如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点，，．若点的坐标为，点的坐标为，写出圆心点的坐标．｛垂径定理★★｝如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是．｛垂径定理★★｝如图，、、都是的弦，，，垂足分别为、，若，则的长为．｛垂径定理★★｝在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．｛垂径定理★★｝如图，圆形纸片半径为，先在其内剪出2个边长相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边长是．｛垂径定理★★｝如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为．｛垂径定理★★★｝（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为；面积的最大值为．（2021•自贡）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是A．9.6 B． C． D．10（2020•滨州）在中，直径，弦于点，若，则的长为A．6 B．9 C．12 D．15（2021•西宁）如图，是的直径，弦于点，，，则的半径．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,∠A=1/2∠O.图a图b图c(2)推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.｛弦、弧与圆周角关系★｝（2021•下城区校级四模）如图，等腰的顶角为，以腰为直径作半圆，交于点，交于点，则的度数为A． B． C． D．｛弦、弧与圆周角关系★★｝（2021•南平模拟）如图，四边形中，连接、，点为的中点，若，则下面结论不一定正确的是A． B． C． D．点、、到点的距离相等｛弦、弧与圆周角关系★★｝如图，，是上的点，，是的中点，若的半径为5，则四边形的面积为A．25 B． C． D．｛弦、弧与圆周角关系★｝如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为A． B． C． D．｛弦、弧与圆周角关系★★｝（2020秋•永城市期末）如图，点，，，均在以点为圆心的圆上，连接，及顺次连接，，，得到四边形，若，，则的度数为A． B． C． D．｛圆周角定理★｝（2021秋•宽城区期末）如图，在圆内接五边形中，，则的度数为A． B． C． D．｛圆周角定理★｝（2021秋•拱墅区期中）如图，四边形内接于，，平分．若，，的长为A．4 B． C． D．｛圆周角定理★｝（2021秋•宝应县期中）如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为．｛圆周角定理★｝如图，是的直径，点在的延长线上，，交于点，且．则．｛圆周角定理★｝如图，在中，，，则的度数为．｛圆周角定理★｝如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，，则．｛圆周角定理★｝如图，是的直径，，，则的度数．｛圆周角定理★｝如图，在平行四边形中，，点，在上，点在优弧上，，则的度数为．｛圆周角定理★｝如图，在中，两条弦和的延长线交于点，已知，，则的大小为．｛圆周角定理★｝如图，四边形内接于，连接，，若，，则等于度．（2019•德州）如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为．（2021•赤峰）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为A． B． C． D．（2021•泰安）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为A． B． C． D．2（2020•广西）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为A． B． C．2 D．考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．｛点与圆的位置关系-动点问题★★★｝（2021秋•晋安区校级期中）如图，在中，，，，点是半径为2的上一动点，点是的中点，则的最大值是A．3 B．3.5 C． D．｛点与圆的位置关系-动点问题★★★｝（2021秋•硚口区校级月考）如图，在锐角中，，，．是平面内一动点，且，则的最小值是．｛点与圆的位置关系-动点问题★★｝（2021秋•台安县期中）一个已知点到圆周上的最长距离是9，最短距离是3，则此圆的半径是．｛点与圆的位置关系-动点问题★｝平面内有一点到圆上最远距离是8，最近距离是4，则圆的半径是．｛点与圆的位置关系-动点问题★｝（2021秋•东湖区校级期中）若的直径为4，点在圆外，则线段长的取值范围是．（2020•泰安）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为A． B． C． D．（2019•乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是A．3 B． C． D．4（2018•泰安）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为A．3 B．4 C．6 D．8（2021•广东）在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.｛切线的性质★★｝如图，、分别切于点、，且，切于点，交、于、两点，则的周长为A．32 B．24 C．16 D．8｛切线的性质★★｝如图，在的内接四边形中，是直径，，过点的切线与延长线交于点，则的度数为A． B． C． D．｛切线的性质★★｝如图，在中，是外一点，、与相切于、两点，、是上两点，若，则A． B． C． D．｛切线的性质★★｝如图，内接于，，直线与相切，则A． B． C． D．1｛切线的判定★｝如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点．求证：（1）；（2）为的切线．｛切线的证明★｝（2021•巴中）如图、内接于，且，其外角平分线与的延长线交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求图中阴影部分面积．｛切线的性质★｝如图，是的弦，点在过点的切线上，且，交于点，已知，则．｛切线的证明★｝（2021•西宁）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长．｛切线的证明★｝（2021•朝阳）如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）连接，若的半径为6，，求的长．（2021•青岛）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为A． B． C． D．（2021•福建）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为，．若，，则等于A． B． C． D．如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则．考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．｛正多边形与圆★｝如图所示，正五边形内接于，则的度数是A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：正五边形内接于，，，，故选：．【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角．｛正多边形与圆★｝以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是A． B． C． D．｛正多边形与圆★★｝我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，，交于点，，则A．2 B． C． D．｛正多边形与圆★★｝（2021•宁德模拟）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点，，，，，在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是A． B． C． D．｛正多边形与圆★｝如图，有一个半径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是A． B． C． D．｛正多边形与圆★｝如图，已知点、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为12．｛正多边形与圆★★｝我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设的半径为，圆内接正边形的边长、面积分别为，，圆内接正边形边长、面积分别为，．刘徽用以下公式求出和．，．如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为．（2021•贵阳）如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是A． B． C． D．（2021•随州）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为．（2020•绥化）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接、，，垂足为，等于度．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl｛弧长计算★｝如图，四边形是半径为2的的内接四边形，连接，．若，则的长为A． B． C． D．｛弧长计算★｝一个扇形的弧长是9πcm，圆心角是108度，则此扇形的半径是cm．｛弧长计算★｝已知圆心角为的扇形的弧长为，则这个扇形的半径为．｛扇形面积计算★｝如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于．｛扇形面积计算★｝已知扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角度数为．｛扇形弧长与面积计算★｝已知扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为，面积为．｛扇形面积计算★｝（2021•祥符区二模）如图，已知半圆的直径，将半圆绕点逆时针旋转，使点落在点处，与半圆交于点，若弧的长为，则图中阴影部分的面积是．｛圆锥侧面积计算★｝已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的表面积为．｛圆锥侧面积计算★｝如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．｛圆锥侧面积计算★｝圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的高为．｛圆锥侧面积计算★｝一个圆锥的侧面积是底面积的5倍，把它的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是．｛弧长的计算★｝如图，是的直径，，、在两侧的圆上，连接，若，则弧的长为．｛弧长的计算★｝如图所示，在扇形中，为弦，，，，则的长为．｛弧长的计算★｝如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若对角线，则的长为．｛弧长的计算★｝已知弧的长是，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为．｛面积的计算★｝（2021秋•北仑区期中）在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是．｛圆锥侧面积的计算★｝一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比为．｛圆锥侧面积的计算★｝一张扇形纸片，半径是6，圆心角为，将它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为．｛圆锥侧面积的计算★｝如图，从直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形．使点、、在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是．｛圆锥侧面积的计算★｝一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，如果这个扇形的面积与圆的面积相等，则这个扇形的圆心角等于．（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为A． B． C． D．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是A． B． C． D．（2021•青海）如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动）那么小羊在草地上的最大活动区域面积是A． B． C． D．（2021•湖北）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为A． B． C． D．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2016•兰州）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则的大小为A． B． C． D．2．（2022秋•天河区校级期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则A． B． C． D．3．（2022秋•大名县校级期末）如图，是的中点，弦，，且，则所在圆的半径为A．4 B．5 C．6 D．104．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点，，，则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．5．（2022秋•宿豫区期末）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为A． B． C． D．6．（2022秋•聊城期末）如图，中，，点是的内心，则的度数为A． B． C． D．7．（2022秋•定西期末）在平面直角坐标系中，若点在内，则的半径的取值范围是A． B． C． D．8．（2022秋•河西区校级期末）已知的半径为，点到圆心的距离，则点A．在外 B．在上 C．在内 D．无法确定9．（2023•市南区一模）如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数为A． B． C． D．10．（2022秋•宛城区校级期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是A．7 B．8 C．9 D．1611．（2022秋•红旗区校级期末）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为A．12 B．13 C．14 D．1512．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为．13．（2022秋•宿豫区期末）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的直径为4步．14．（2023•汉阳区校级一模）线段是圆内接正十二边形的一条边，则边所对的圆周角是．15．（2016•枣庄）如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接、，．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，且，的半径为，求的长．1．（2022秋•绍兴期中）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是A． B． C． D．2．（2021秋•武义县期末）如图，在中，，斜边与量角器的直径重合点的刻度为，将射线绕着点转动，与量角器的外圆弧交于点，与交于点，若是等腰三角形，则点在量角器上对应的刻度为A． B． C．或 D．或3．（2022秋•衢州期中）扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度占骨柄的，骨柄长为，折扇张开的角度为．则扇面（阴影部分）的面积是A． B． C． D．4．（2022•张店区二模）如图，内切于，点、点分别在直角边、斜边上，，且与相切，若，则的值为A． B． C． D．5．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形中，点在对角线上，且与边、相切．点是与线段的交点，如果是既与内切，又与正方形的两条边相切，那么关于的半径的方程是A． B． C． D．6．（2022•武汉）如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是A． B． C． D．7．（2022•北碚区校级模拟）如图，为的直径，与相切于点，交于点，是的中点，连接并延长交于点，若，，则的长为A． B． C． D．48．（2022•新河县一模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为面积的；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是A．只有甲正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确9．（2022•江阴市模拟）如图，半径为1的的圆心在坐标原点，为直线上一点，过点作的切线，切点为，连接，．下列结论：①当为等腰直角三角形时，点坐标为；②当时，点坐标为；③面积最小值为；④．其中正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（2022•黄岩区一模）如图，是等边三角形，点，点在数轴上，点表示数，点表示数2，以为直径作圆交边于点，以为圆心，为半径作弧交数轴于点，则点在数轴上表示的数为A． B． C． D．11．（2022秋•洛阳期末）如图，正方形的边长为1，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点，那么图中阴影部分的面积为．1．（2021秋•莆田期末）如图，矩形中，，，是的直径，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，且交于点，交于点，与相切于点．下列说法正确的有．（只填写序号）①，②，③，④．2．（2021秋•越秀区期末）如图，正方形的边长为1，经过点，为的直径，且．过点作的切线分别交边，于点，．与，分别交于点，，绕点在平面内旋转（始终保持圆心在正方形内部）．给出下列四个结论：①；②；③，，，四点在同一个圆上；④四边形面积的最大值为．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．3．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．（1）求证：①是的切线；②；（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．4．（2021•广西）如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．5．（2019•德阳）如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，点为的延长线上一点，的延长线与的延长线交于点，且，连接、、．（1）求证：为的切线；（2）过作于点，求证：；（3）如果，，求的长．6．（2019•西藏）如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求点到的距离．7．（2019•呼和浩特）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为．（1）求证：为的中点；（2）若的面积为，两个三角形和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比．8．（2019•哈尔滨）已知：为的直径，为的半径，、是的两条弦，于点，于点，连接、，与交于点．（1）如图1，若与交于点，求证：；（2）如图2，连接、，与交于点，若，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接、、，与交于点，与交于点，连接，若，，求的长．9．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点，，，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接．（1）求证：直线是的切线；（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接；①当时，求所有点的坐标，（直接写出）；②求的最大值．第19讲圆（精讲）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念探索并了解点与圆的位置关系探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧探索圆心角及其所对弧的关系了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补知道三角形的外心、知道三角形的内心了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等会计算圆的弧长、扇形的面积了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系TOC\o"1-2"\h\u第19讲圆（精讲） 1考点1：垂径定理及其运用 3考点2：圆周角定理及其运用 15考点3：点与圆的位置关系 28考点4：切线性质及其证明 35考点5：正多边形与圆 47考点6：与圆有关的计算 56课堂总结：思维导图 67分层训练：课堂知识巩固 68考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：弧AC=弧AD;②弧BD=弧CB；③CE=DE;④AB⊥CD;⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.｛圆的定义★★｝（2021秋•盐都区校级月考）如图，是的半径，为上一点（且不与点、重合），过点作的垂线交于点．以、为边作矩形，连结．若，，则的长为A．6 B．5 C．4 D．2【分析】如图，连接，在中，求出即可解决问题．【解答】解：如图，连接．四边形是矩形，，，，，故选：．【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．｛圆的定义★★｝下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，故选：．【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．｛圆的定义★★｝（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是A． B． C． D．【分析】根据圆的有关定义进行解答．【解答】解：根据半圆的定义可知，选项的图形是半圆．故选：．【点评】本题考查了圆的认识．解题的关键是掌握半圆的定义．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．｛垂径定理★｝（2021秋•定海区校级月考）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为A． B． C． D．12【分析】根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出．【解答】解：如图，过点作于点，连接，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，故选：．【点评】本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据题意作出相关辅助线（过点作于点，连接，从而构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行求解，注意运用数形结合的思想方法．｛垂径定理★｝（2021•咸宁一模）如图，已知为的直径，弦，垂足为，若，，则的周长为A． B． C． D．【分析】连接，如图，设，则，根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，解方程求出，从而得到圆的半径，然后根据圆的周长公式计算．【解答】解：连接，如图，，设，，，，，在中，，解得，，的周长为．故选：．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．｛垂径定理★★｝已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为A． B． C．或 D．或【分析】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出的长，连接，由勾股定理求出的长，进而可得出结论．【解答】解：连接，，的直径，，，，，当点位置如图1所示时，，，，，，；当点位置如图2所示时，同理可得：，，，在中，；综上所述，的长为或，故选：．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．｛垂径定理的应用★★｝（2021秋•通川区校级期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是A．B． C． D．【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．【解答】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是：．故选：．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．｛圆的定义★｝（2021秋•新荣区月考）如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点，，．若点的坐标为，点的坐标为，写出圆心点的坐标．【分析】由垂径定理，作的垂直平分线，交的垂直平分线于，即可得出答案．【解答】解：作的垂直平分线，交的垂直平分线于，如图，则圆心点的坐标为，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形性质等知识，熟记弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．｛垂径定理★★｝如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是．【分析】连接，，延长交上面的正方形与点，设定圆心与上面正方形的距离为，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论．【解答】解：如图，连接，，延长交上面的正方形与点，设定圆心与上面正方形的距离为，则，，，，由勾股定理得：，即，解得：，所以能将其完全覆盖的圆的最小半径，解得：．故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．｛垂径定理★★｝如图，、、都是的弦，，，垂足分别为、，若，则的长为2．【分析】根据垂径定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出即可．【解答】解：，，垂足分别为、，过圆心，过圆心，，，，，，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．｛垂径定理★★｝（2021秋•江夏区期中）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是2或14．【分析】过作于，直线交于，连接，，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出和，再求出即可．【解答】解：过作于，直线交于，连接，，，，，，，过圆心，，，有两种情况：①如图1，由勾股定理得：，，；②如图2，，所以与之间的距离是2或14，故答案为：2或14．【点评】本题考查了两点之间的距离，勾股定理和垂径定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．｛垂径定理★★｝如图，圆形纸片半径为，先在其内剪出2个边长相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边长是．【分析】连接、，过作于，设，，由圆周角定理得是的直径，，再在中，由勾股定理得出方程，求出，然后在中，由勾股定理得出方程，求解即可．【解答】解：如图，连接、，过作于，则，设，，由题意得：，，是直径，，在中，由勾股定理得：，解得：，则，在中，由勾股定理得：，解得：（负值已舍去），即第二次剪出的正方形的边长是，故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．｛垂径定理★★｝如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为．【分析】连接，如图，先计算出，再根据垂径定理得到，，则可判断为的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．【解答】解：连接，如图，，，，，，，，为的中位线，．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．｛垂径定理★★★｝（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为2；面积的最大值为．【分析】连接，由垂径定理得，再由圆周角定理得点在以为直径的圆上（点、除外），以为直径作，过点作直线于，交于、，利用一次函数解析式确定，，则，然后证，利用相似比求出的长，得、的长，当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，然后计算出和得到的范围，即可求解．【解答】解：连接，如图，点为弦的中点，，，点在以为直径的圆上（点、除外），以为直径作，过点作直线于，交于、，当时，，则，当时，，解得，则，，，，，，，，，，，即，解得，，，，，设面积为，当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，的范围为，面积的最小值为2，面积的最大值为7，故答案为：2；7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质．（2021•自贡）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是A．9.6 B． C． D．10【分析】根据垂径定理求出可得的长度，利用，求出，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，，，，即：，，，．故选：．【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．（2020•滨州）在中，直径，弦于点，若，则的长为A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．【解答】解：如图所示：连接，直径，，，，，．故选：．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出的长是解题关键．（2021•西宁）如图，是的直径，弦于点，，，则的半径．【分析】由垂径定理得，设，则，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：弦于点，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦矢矢即可得到结论．【解答】解：弦米，半径弦，，，，弧田面积（弦矢矢，故答案为：10．【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,∠A=1/2∠O.图a图b图c(2)推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.｛弦、弧与圆周角关系★｝（2021•下城区校级四模）如图，等腰的顶角为，以腰为直径作半圆，交于点，交于点，则的度数为A． B． C． D．【分析】连接，取的中点，连接，．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出，可得结论．【解答】解：连接，取的中点，连接，．是直径，，，，，，的度数为，故选：．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．｛弦、弧与圆周角关系★★｝（2021•南平模拟）如图，四边形中，连接、，点为的中点，若，则下面结论不一定正确的是A． B． C． D．点、、到点的距离相等【分析】由点为的中点，，可知，在以为圆心，为直径的圆上，由圆心角定理可证．【解答】解：点为的中点，，，在以为圆心，为直径的圆上，如图，，，点、、到点的距离相等，当时，，而题目中未给出．故选：．【点评】本题以四边形为背景考查了圆心角定理，关键是能够根据已知条件构造圆．｛弦、弧与圆周角关系★★｝如图，，是上的点，，是的中点，若的半径为5，则四边形的面积为A．25 B． C． D．【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，易得和都是等边三角形，即可解决问题．【解答】解：连，如图，是的中点，，，又，和都是等边三角形，．故选：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．｛弦、弧与圆周角关系★｝如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为A． B． C． D．【分析】先求出，根据点、是的三等分点求出的度数是，再求出答案即可．【解答】解：，，的度数是，点、是的三等分点，的度数是，，故选：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大．｛弦、弧与圆周角关系★★｝（2020秋•永城市期末）如图，点，，，均在以点为圆心的圆上，连接，及顺次连接，，，得到四边形，若，，则的度数为A． B． C． D．【分析】连接．证明是等边三角形，再利用圆周角定理解决问题即可．【解答】解：连接．，，，是等边三角形，，，故选：．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形．｛圆周角定理★｝（2021秋•宽城区期末）如图，在圆内接五边形中，，则的度数为A． B． C． D．【分析】先利用多边的内角和得到，则可计算出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．【解答】解：五边形的内角和为，，，，四边形为的内接四边形，，．故选：．【点评】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．｛圆周角定理★｝（2021秋•拱墅区期中）如图，四边形内接于，，平分．若，，的长为A．4 B． C． D．【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可．【解答】解：过点作于，四边形内接于，，，，，平分，，，，，故选：．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．｛圆周角定理★｝（2021秋•宝应县期中）如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为．【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可．【解答】解：连接、，，四边形是的内接四边形，，，，，的半径为5，，故答案为：．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．｛圆周角定理★｝如图，是的直径，点在的延长线上，，交于点，且．则．【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：连接，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，能熟记等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解此题的关键，注意：等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．｛圆周角定理★｝如图，在中，，，则的度数为．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可．【解答】解：在中，，，，．故答案为：．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角的性质和等式的性质解答．｛圆周角定理★｝如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，，则68．【分析】根据圆周角定理及已知可求得的度数，从而可求得的度数，再根据三角形内角和公式即可求得的度数，从而可得出的度数．【解答】解：是半圆的直径，，，．．，．，．故答案是：68．【点评】本题利用了圆周角定理，三角形的内角和定理，直径对的圆周角是直角求解．｛圆周角定理★｝如图，是的直径，，，则的度数．【分析】可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．【解答】解：，，，．又，，．故答案为：【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．｛圆周角定理★｝如图，在平行四边形中，，点，在上，点在优弧上，，则的度数为．【分析】连接，先由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，然后证，即可得出．【解答】解：连接，如图所示：四边形是平行四边形，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．｛圆周角定理★｝如图，在中，两条弦和的延长线交于点，已知，，则的大小为．【分析】先证，得，再由圆周角定理得，然后由三角形内角和定理即可求解．【解答】解：，，，即，，，，故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．｛圆周角定理★｝如图，四边形内接于，连接，，若，，则等于65度．【分析】首先判定是等腰三角形，由该三角形的内角和定理推知，所以根据圆周角定理求得．【解答】解：，．．又，．，．故答案是：65．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．（2019•德州）如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为．【分析】连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，然后利用面积法出，从而得到的长．【解答】解：连接、，交于，如图，，，设的半径为，则，，在中，，解得，，，，，，，．故答案为．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．（2021•赤峰）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为A． B． C． D．【分析】连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．【解答】解：连接，如图，四边形为的内接四边形，，，为直径，，，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：求出的度数是解决问题的关键．（2021•泰安）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为A． B． C． D．2【分析】延长、交于，先利用直角三角形的性质求得的长，然后再求得的长，从而求得答案．【解答】解：延长、交于，，，，，，在中，，在中，，，故选：．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．（2020•广西）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为A． B． C．2 D．【分析】延长到，使，连接，如图，根据圆周角定理得到，，再判断为等边三角形得到，于是可证明，所以，接着判断为等边三角形，所以，然后计算出得到的长，从而得到的长．【解答】解：延长到，使，连接，如图，平分，，，，为等边三角形，，在和中，，，，而，为等边三角形，，，在中，，，．故选：．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了圆周角定理．考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．｛点与圆的位置关系-动点问题★★★｝（2021秋•晋安区校级期中）如图，在中，，，，点是半径为2的上一动点，点是的中点，则的最大值是A．3 B．3.5 C． D．【分析】如图，取的中点，连接，．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取的中点，连接，．，，，，，，，，，，，，的最大值为．故选：．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．｛点与圆的位置关系-动点问题★★★｝（2021秋•硚口区校级月考）如图，在锐角中，，，．是平面内一动点，且，则的最小值是．【分析】作于，因为，，，可得，，在上截取，则为等边三角形，以为圆心，2为半径作，根据，可得点在上运动，当经过圆心时，最小，其最小值为的直径减去的长．【解答】解：如图，作于，，，，，，，，，在上截取，则为等边三角形，以为圆心，2为半径作，，点在上运动，当经过圆心时，最小，最小值为．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理，锐角三角形函数定义，圆周角定理．解题的关键是得出点在上运动．｛点与圆的位置关系-动点问题★★｝（2021秋•台安县期中）一个已知点到圆周上的最长距离是9，最短距离是3，则此圆的半径是6或3．【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【解答】解：①当点在圆外时，圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为9，圆的直径为，该圆的半径是3；②当点在圆内时，点到圆周的最短距离为3，最长距离为9，圆的直径，圆的半径为6，故答案为6或3．【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．｛点与圆的位置关系-动点问题★｝（2021秋•海州区校级期中）平面内有一点到圆上最远距离是8，最近距离是4，则圆的半径是2或6．【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．【解答】解：点到的最近距离为4，最远距离为8，则：当点在圆外时，则的直径为，半径是2；当点在圆内时，则的直径是，半径为6，故答案为：2或6．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．｛点与圆的位置关系-动点问题★｝（2021秋•东湖区校级期中）若的直径为4，点在圆外，则线段长的取值范围是．【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：因为的直径为4，点在圆外，所以线段长的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．（2020•泰安）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为A． B． C． D．【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为1的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，点为坐标平面内一点，，在上，且半径为1，取，连接，，，是的中位线，，当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，，，，，，即的最大值为；故选：．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．（2019•乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是A．3 B． C． D．4【分析】连接，如图，先解方程得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值．【解答】解：连接，如图，当时，，解得，，则，，是线段的中点，为的中位线，，当最大时，最大，而过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，，，线段的最大值是．故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．（2018•泰安）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．【解答】解：，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则、，，又，，，故选：．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．（2021•广东）在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为．【分析】根据，，作的外接圆，连接，当、、三点共线时，的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得为等腰直角三角形，，同样可证也为等腰直角三角形，，由勾股定理可求得的长为，最后最小值为．【解答】解：如图所示．，，作的外接圆（因求最小值，故圆心在的右侧），连接，当、、三点共线时，的值最小．，，为等腰直角三角形，．，，，作于点，为等腰直角三角形．，，在中，．当、、三点共线时，最小为．故答案为：．【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点的运动轨迹为一段优弧．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.｛切线的性质★★｝（2020秋•衢江区期末）如图，、分别切于点、，且，切于点，交、于、两点，则的周长为A．32 B．24 C．16 D．8【分析】由、分别切于点、，切于点，可得的周长，继而求得答案．【解答】解：、分别切于点、，，切于点，，，的周长．故选：．【点评】此题考查了切线的性质，得到的周长是关键．｛切线的性质★★｝（2021•城阳区一模）如图，在的内接四边形中，是直径，，过点的切线与延长线交于点，则的度数为A． B． C． D．【分析】连接，根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，由得，根据切线的性质可得，可以求得的度数，根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：连接，四边形是的内接四边形，，，，，，过点的切线与延长线交于点，，，，．故选：．【点评】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．｛切线的性质★★｝（2021•海城市模拟）如图，在中，是外一点，、与相切于、两点，、是上两点，若，则A． B． C． D．【分析】连接，根据圆内接四边形性质和切线长定理求出和的度数即可．【解答】解：连接，、与相切于、两点，，，，、是上两点，，．故选：．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、切线的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和切线的性质是解决问题的关键．｛切线的性质★★｝如图，内接于，，直线与相切，则A． B． C． D．1【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据切线的性质得到，由三角函数的定义即可得到答案．【解答】解：连接，，，，，，直线与相切，，，，故选：．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．｛切线的判定★｝（2020•威海）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点．求证：（1）；（2）为的切线．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，于是得到；（2）如图，连接并延长交于，连接，，推出直线垂直平分，得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）四边形是圆内接四边形，，平分，，，，，；（2）如图，连接并延长交于，连接，，，，直线垂直平分，，，是的半径，为的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．｛切线的证明★｝（2021•巴中）如图、内接于，且，其外角平分线与的延长线交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求图中阴影部分面积．【分析】（1）连接，证明即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出．【解答】解：（1）如图，连接并延长交于，，内接于，所在的直线是的对称轴，也是的对称轴，，又，，，即，是的切线；（2）连接，，，，由（1）可知是的对称轴，垂直平分，，设半径为，在中，由勾股定理得，，，解得（取正值），经检验是原方程的解，即，又，是等边三角形，，，．【点评】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．｛切线的性质★｝（2021秋•镇江期中）如图，是的弦，点在过点的切线上，且，交于点，已知，则．【分析】连接，则，且，得，求出的度数，由得，可求出的度数，然后在中求出的度数．【解答】解：如图，连接，与相切于点，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】此题考查圆的切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，连结过切点的半径是解题的关键．｛切线的证明★｝（2021•西宁）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长．【分析】（1）由圆周角定理得，即，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得，，则，然后由平行线的性质得，则，即，即可得出结论；（2）证，得，则，即可求解．【解答】（1）证明：是的直径，，即，，，，，，，，即，，又是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，，，．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．｛切线的证明★｝（2021•朝阳）如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）连接，若的半径为6，，求的长．【分析】（1）根据圆周角定理和等量代换可得，进而得出，由可得，从得出结论；（2）由，可得，在直角三角形中由锐角三角函数可求出、、，由勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，再根据圆周角定理可求出，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出即可．【解答】解：（1），，，，，即，是的切线；（2）过点作于，的半径为6，，，，，在中，，由三角形的面积公式可得，，即，，又，在中，．【点评】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提．（2021•青岛）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．【解答】解：是的切线，，，，是的直径，，，点是的中点，，，故选：．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．（2021•福建）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为，．若，，则等于A． B． C． D．【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．【解答】解：连接、、，交于，如图，，与相切，切点分别为，，，，平分，，，，，，在中，，，．故选：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．（2019•南京）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则．【分析】连接，根据切线长定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：连接，、是的切线，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．｛正多边形与圆★｝如图所示，正五边形内接于，则的度数是A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：正五边形内接于，，，，故选：．【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角．｛正多边形与圆★｝（2021秋•临沂期中）以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是A． B． C． D．【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．【解答】解：如图1，为的内接正三角形，作于，连接，，；如图2，四边形为的内接正方形，作于，连接，，；如图3，六边形为的内接正六边形，作于，连接，，，，半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，，，，以三条边心距所作的三角形为直角三角形，该三角形的面积．故选：．【点评】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，会解直角三角形．｛正多边形与圆★★｝（2021秋•平阳县期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，，交于点，，则A．2 B． C． D．【分析】设正六边形外接圆的圆心为，连接，求得，过作于，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，于是得到答案．【解答】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接，则，由题意得，，，过作于，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．｛正多边形与圆★★｝（2021•宁德模拟）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点，，，，，在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是A． B． C． D．【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可．【解答】解：连接交于，则点是圆心，过点作于，连接，取的中点，连接，，由对称性可知，，由正六边形的性质可得，，，由正六边形的性质可知，、、都是正三角形，，故选：．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．｛正多边形与圆★｝（2020秋•张店区期末）如图，有一个半径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示，连接、，过点作于点，正六边形的边长为，，六边形是正六边形，，，，，，，，，，，圆形纸片的半径为，故选：．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．｛正多边形与圆★｝（2021秋•龙江县校级期末）如图，已知点、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为12．【分析】连接，，根据圆周角定理得到，于是得到结论．【解答】解：连接，，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，，，这个正多边形的边数，故答案为：12．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．｛正多边形与圆★★｝（2021•孝义市二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设的半径为，圆内接正边形的边长、面积分别为，，圆内接正边形边长、面积分别为，．刘徽用以下公式求出和．，．如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为．【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，根据即可．【解答】解：连接，，，四边形是圆内接正四边形，，是圆的直径，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了圆内接正多边形，利用圆内接正多边形的性质求出正方形的边长是解题的关键．（2021•贵阳）如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是A． B． C． D．【分析】先根据五边形的内角和求，由切线的性质得：，最后利用五边形的内角和相减可得结论．【解答】解：正五边形的内角，，、分别与相切于、两点，，，故选：．【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：．（2021•随州）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为．【分析】连接，由圆周角定理的推论可知，因为与所对的弧为，所以．所以．【解答】解：连接，如图．为直径，，与所对的弧为，．．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键．（2020•绥化）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接、，，垂足为，等于54度．【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：连接、，如图所示：是正五边形，，，，，，故答案为：54．【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知