第21讲人教版七年级数学下代数新定义专题(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

第21讲专题人教版七年级数学下代数新定义（原卷版）专题诠释“新定义”题型问题成为近年来中考的热点。所谓“新定义”题型，就是在问题中定义了学生还没有学过的一些新概念、新符号、新运算，学生须在已有的知识基础上读懂题意，理解新定义，再根据新定义进行运算，推理解决问题。“新定义”题型能有效地考查学生的自学能力、思维能力、运用新知识解决问题的能力。“新定义”题型对于一些习惯于听讲然后再练的学生，一旦碰到没有讲过的“新”题型，就蒙了，傻眼了，思维短路了。解决新定义题型关键是把握两点：意识根据问题原型的特点寻求问题解决的方法，二是根据变化的问题情境，认真思考探究，合理进行思想方法的迁移。第一部分典例剖析+针对训练类型一“新运算”型专题典例1请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．针对训练11．已知一种新运算定义为：a⊙b＝a•b﹣|a﹣2|，则不等式组(−2)⊙x＞2x⊙A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，例如：3※5＝3×5－3－5＋3.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且关于x的解集中有两个整数解，则a的取值范围是.3.在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a＋3b.如：1⊕5＝2×1＋3×5＝17，则不等式x⊕4＜2的解集为.类型二“新概念”型典例2新定义，若关于x，y的二元一次方程组①a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=x0y=y0，关于x，y的二元一次方程组②e1针对训练24.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P′的坐标为(a＋kb，ka＋b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k属派生点”.例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋2×4，2×1＋4)，即P′(9，6).若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，则k的值.5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．

类型三“新方程”型典例3新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解集中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①2x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2的关联方程是（2）若不等式组x−2＜11+x＞−3x+6的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m针对练习36．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：y−2x=6y−3x=6（1）下列方程组是和谐方程组的是（）A．−x+y=4x+y=−1；B．2x−2y=5x−2y=6；C．（2）请你补全和谐方程组y+2x=3()

类型四阅读材料题型中的新定义典例4阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n−12≤x＜＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…试解决下列问题：（1）①＜π+2.4＞＝（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为；（2）求出满足＜x＞=54x﹣1的针对训练47．【阅读新知】定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来叫做复数，表示a+bi（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法等运算和法则与实数的运算类似．例如计算：i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i；（12+i）+（13﹣14i）＝（12+13）+（1﹣14）i＝25﹣13i；（5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i．【应用新知】（1）填空：i6＝；i9＝．（2）计算：①3i（2+i）；②（1+3i）（1﹣3i）．（3）请将5+i5−i化简成a+bi

专题提优训练为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文是()A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah，例如，三点坐标分别为A(－1，1)，B(2，5)，C(3，－1).则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24，已知点A(1，3)，B(－2，－1)，C(m，0)的“矩面积”不超过18，则m的取值范围是.令a、b两数中较大的数记作max|a，b|，如max|2，3|＝3，已知k为正整数且使不等式max|2k＋1，－k＋5|≤5成立，则k的值是.4．对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝2a−b，若25⊙x2＝4，则x的值为5．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则（x①（1.493）＝1；②（2x）＝2（x）；③若（12x−1）＝4，则x的取值范围是9≤④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；其中正确的结论有（填写所有正确的序号）．6．一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，a※b＝2a+b，若4※x＝26，则2x=7．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba−a+b，在此定义下，若9*x＝55，则x的值为8.我们用[x]表示不大于x的最大整数，如：[－3.2]＝－4，[－3]＝3，[0.8]＝0，[2.4]＝2，则关于x的方程2x－3[x]＋＝0的解为.9．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n−（1）填空：①＜π＞＝；②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为．（2）求满足＜x＞=43x的所有非负实数（3）若关于x的不等式组2x−43≤x−1＜a＞−x＞010．（2019秋•海珠区校级期中）如果一对数m，n，满足m3+n4=m+n3+4，我们称这一对数m，n为“友好数对”，记为（m，n）；如果一对数a，b，满足a+b＝7，我们称这一数对a（1）若（m，1）是“友好数对”，则m＝；（2）若（m，n）是“友好数对”，则m＝；（用含n的代数式表示）（3）若有一数对x，y既是“友好数对”，也是“和气数对”，求x，y的值；（4）若（m，n）是“友好数对”，[a，b]是“和气数对”，求代数式3m−7n4−[4（a﹣n）﹣m11．（2020春•江阴市校级期中）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y

12．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba−a+b．在此定义下，若9*x＝55，则x13．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．14．新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题：（1）填空：①[π]＝（π为圆周率），②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围；（2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a（3）若f（k）＝[k+14]﹣[k4]（k是正整数），例：f（3）＝[3+14①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．正确的有（填序号）．

15．【知识重现】我们知道，在ax＝N中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23＝8；已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如38【学习新知】现定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），即a的x次方等于N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数．例如log28＝3．零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．【应用新知】（1）填空：在ax＝N，已知幂N，底数a（a＞0且a≠1），求指数x的运算叫做运算；（2）选择题：在式子log5125中，真数是A.3B.5C.10D.125（3）①计算以下各对数的值：log39；log327；log3243．②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）16．新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12试解决下列问题（1）填空：①[π]＝②若[x]＝3，则实数x的取值范围为；（2）在关于x，y的方程组2x+y=1+3mx+2y=2中，若未知数x，y满足52≤x+y＜（3）当[2x﹣1]＝4时，若y＝4x﹣9，求y的最小值．（4）求满足[x]=32x的所有非负实数x的值，请直接写出答案

17．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a，b都有a☆b＝b2+a．例如7☆4＝42+7＝23．（1）已知m☆2的结果是6，则m的值是多少？（2）将两个实数n和n+2用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n的值是多少？18．新定义：对非负数x“四舍五入“到个位的值记为＜x＞，即当n为非负数时，若n−12≤x＜n+12例如＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.5＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.23＞＝4，…试回答下列问题：（1）填空：①＜9.6＞＝；②如果＜x＞＝2，实数x的取值范围是．（2）若关于x的不等式组2x−43≤x−1＜m＞−x＞0（3）求满足＜65x＞＝x的所有非负实数第21讲专题人教版七年级数学下代数新定义（解析版）专题诠释“新定义”题型问题成为近年来中考的热点。所谓“新定义”题型，就是在问题中定义了学生还没有学过的一些新概念、新符号、新运算，学生须在已有的知识基础上读懂题意，理解新定义，再根据新定义进行运算，推理解决问题。“新定义”题型能有效地考查学生的自学能力、思维能力、运用新知识解决问题的能力。“新定义”题型对于一些习惯于听讲然后再练的学生，一旦碰到没有讲过的“新”题型，就蒙了，傻眼了，思维短路了。解决新定义题型关键是把握两点：意识根据问题原型的特点寻求问题解决的方法，二是根据变化的问题情境，认真思考探究，合理进行思想方法的迁移。第一部分典例剖析+针对训练类型一“新运算”型专题典例1请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．思路引领：（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．解：（1）根据题意得4x−3y=14x−3×2y=−2解得x=1y=1（2）根据题意得4x−3×2≤04×3x−3×(−8)＞0解得﹣2＜x≤3故x的取值范围是﹣2＜x≤3点睛：此题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解本题的关键．针对训练11．已知一种新运算定义为：a⊙b＝a•b﹣|a﹣2|，则不等式组(−2)⊙x＞2x⊙A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：根据“⊗”的运算方法对各小题整理，再根据一元一次不等式组的解法求解即可．解：根据新运算定义得−2x−4＞2①1解不等式①得，x＜﹣3，解不等式②得，2＜x≤20或﹣4≤x≤2，所以，不等式组的解集是﹣4≤x＜﹣3，不等式组(−2)⊙x＞2x⊙故选：A．点睛：本题考查了解一元一次不等式组，读懂题目信息，理解“⊗”的运算方法是解题的关键．2.对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，例如：3※5＝3×5－3－5＋3.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且关于x的解集中有两个整数解，则a的取值范围是.答案：4≤a＜53.在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a＋3b.如：1⊕5＝2×1＋3×5＝17，则不等式x⊕4＜2的解集为.答案：x＜－5类型二“新概念”型典例2新定义，若关于x，y的二元一次方程组①a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=x0y=y0，关于x，y的二元一次方程组②e1思路引领：先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m的取值范围便可．解：解方程组x+y=2m+22x−y=10m+4得，x=4m+2解方程组x+y=10x+3y=−10得，x=20∵二元一次方程组x+y=2m+22x−y=10m+4的解是方程组x+y=10∴|4m+2−2020|≤0.1，|−2m+10解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案为4.5≤m≤5．点睛：本题考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是解题的关键．针对训练24.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P′的坐标为(a＋kb，ka＋b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k属派生点”.例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋2×4，2×1＋4)，即P′(9，6).若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，则k的值.答案：±35．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．思路引领：（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．（1）证明：因为2×8=4，2×50=10，所以2，8，50这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；（2）解：当a＜16时，则2a×16=解得a＝9，当16＜a＜36时，则216a=36a，解得当a＞36时，则216×36=解得a＝64，综上所述，a＝9或a＝64．点睛：本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．类型三“新方程”型典例3新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解集中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①2x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2的关联方程是（2）若不等式组x−2＜11+x＞−3x+6的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m思路引领：（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．解：（1）解方程2x﹣1＝0得x=12；解方程x+1＝0得x＝﹣1；解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得解不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2得34＜∴不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2故答案为：③；（2）解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，解不等式1+x＞﹣3x+6，得：x＞5则不等式组的解集为54＜∴其整数解为2，则该不等式组的关联方程可以为2x﹣4＝0．（答案不唯一）；故答案为：2x﹣4＝0；（3）解方程6﹣x＝2x得x＝2，解方程7+x＝3（x+13）得解关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m∵方程6﹣x＝2x、7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组∴1≤m＜2．点睛：本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．针对练习36．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：y−2x=6y−3x=6（1）下列方程组是和谐方程组的是（）A．−x+y=4x+y=−1；B．2x−2y=5x−2y=6；C．（2）请你补全和谐方程组y+2x=3()思路引领：（1）根据“和谐方程组”的概念进行判断；（2）根据“和谐方程组”的概念进行填空．解：（1）A．−x+y=4x+y=−1B．2x−2y=5x−2y=6C．m−4n=5m−3n=5故答案是：C．（2）根据题意知，y+3x=32y+3x=3解这个方程组可得：x=1y=0点睛：本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是弄清楚“和谐方程组”的概念．类型四阅读材料题型中的新定义典例4阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n−12≤x＜＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…试解决下列问题：（1）①＜π+2.4＞＝（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为；（2）求出满足＜x＞=54x﹣1的思路引领：（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；（2）利用＜x＞=54x﹣1，设54x＝k，k解：（1）由题意可得：＜π+2.4＞＝6；故答案为：6，②∵＜x﹣1＞＝2，∴1.5≤x﹣1＜2.5，∴2.5≤x＜3.5；故答案为：2.5≤x＜3.5；（2）∵x≥0，54x﹣1为整数，设54x＝k，则x=45∴＜45k＞＝∴k﹣1−12≤45k＜k∴52≤k∴k＝3，4，5，6，7，则x=125，165，4，24点睛：此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．针对训练47．【阅读新知】定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来叫做复数，表示a+bi（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法等运算和法则与实数的运算类似．例如计算：i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i；（12+i）+（13﹣14i）＝（12+13）+（1﹣14）i＝25﹣13i；（5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i．【应用新知】（1）填空：i6＝；i9＝．（2）计算：①3i（2+i）；②（1+3i）（1﹣3i）．（3）请将5+i5−i化简成a+bi思路引领：（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（3）原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：（1）i6＝i2×i2×i2＝﹣1；i9＝i2×i2×i2×i2×i＝i；故答案为：﹣1；i；（2）①原式＝6i+3i2＝6i﹣3；②原式＝1﹣9i2＝1+9＝10；（3）原式=(5+i)点睛：此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．专题提优训练1.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文是()A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7答案：B2.在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah，例如，三点坐标分别为A(－1，1)，B(2，5)，C(3，－1).则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24，已知点A(1，3)，B(－2，－1)，C(m，0)的“矩面积”不超过18，则m的取值范围是.答案：－≤m≤3.令a、b两数中较大的数记作max|a，b|，如max|2，3|＝3，已知k为正整数且使不等式max|2k＋1，－k＋5|≤5成立，则k的值是.答案：2或14．对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝2a−b，若25⊙x2＝4，则x的值为解：由题意可得：225−则10﹣|x|＝4，解得：x＝±6．故答案为：±6．5．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则（x①（1.493）＝1；②（2x）＝2（x）；③若（12x−1）＝4，则x的取值范围是9≤④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；其中正确的结论有（填写所有正确的序号）．解：①（1.493）＝1，故①符合题意；②（2x）≠2（x），例如当x＝0.3时，（2x）＝1，2（x）＝0，故②不符合题意；③若（12x﹣1）＝4，则4−12≤12④m为非负整数，故（m+2013x）＝m+（2013x），故④符合题意；综上可得①③④正确．故答案为：①③④．6．一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，a※b＝2a+b，若4※x＝26，则2x=解：4※x＝268+x＝26x＝18，2x=故答案为：6．7．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba−a+b，在此定义下，若9*x＝55，则x的值为解：依题意得9*x＝x9−9+x解得：x＝16．故答案为：16．8.我们用[x]表示不大于x的最大整数，如：[－3.2]＝－4，[－3]＝3，[0.8]＝0，[2.4]＝2，则关于x的方程2x－3[x]＋＝0的解为.答案：6或7简析：提示：2x－3[x]＝－，若x≤0，则2x－3[x]≥0，不成立，∴x＞0，且x不为整数；解法1：设x＝m＋n，其中m为正整数，0≤n＜1，[x]＝m，∴2m＋2n－3m＝－，得n＝m－，∴0≤m－＜1，≤m＜.∵m为正整数，∴m＝6或7.当m＝6时，n＝；当m＝7时，n＝，∴x＝6或7.解法2：设[x]＝t(t为正整数)，x＝t－，由x－1≤[x]＜x得，t－≤t＜t－，解得≤t＜.∴t＝6或7，x＝6或7.解法3：设[x]＝m＋n，其中m为正整数，0≤n＜1，[x]＝m，∴2m＋2n－3m＝－，∴m－2n＝.∵0≤2n＜2，m为正整数，m－2n＝＝6－＝7－，∴m＝6，n＝或m＝7，n＝，∴x＝m＋n＝6或7.9．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n−（1）填空：①＜π＞＝；②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为．（2）求满足＜x＞=43x的所有非负实数（3）若关于x的不等式组2x−43≤x−1＜a＞−x＞0思路引领：（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；（2）利用＜x＞=43x设设43x＝k，k（3）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围．解：（1）①由题意可得：＜π＞＝3；故答案为：3，②∵＜2x﹣1＞＝3，∴2.5≤2x﹣1＜3.5，∴1.75≤x＜2.25；故答案为：1.75≤x＜2.25；（2）∵x≥0，43x为整数，设43x＝k，则x=34∴＜34k＞＝∴k−12≤34k＜∴0≤k≤2，∴k＝0，1，2，则x＝0，34，3（3）解不等式组得：﹣1≤x＜＜a＞，由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5．点睛：此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．10．（2019秋•海珠区校级期中）如果一对数m，n，满足m3+n4=m+n3+4，我们称这一对数m，n为“友好数对”，记为（m，n）；如果一对数a，b，满足a+b＝7，我们称这一数对a（1）若（m，1）是“友好数对”，则m＝；（2）若（m，n）是“友好数对”，则m＝；（用含n的代数式表示）（3）若有一数对x，y既是“友好数对”，也是“和气数对”，求x，y的值；（4）若（m，n）是“友好数对”，[a，b]是“和气数对”，求代数式3m−7n4−[4（a﹣n）﹣m思路引领：（1）由“友好数对”的定义可得关于m的一元一次方程，求解即可；（2）由“友好数对”的定义可得关于m和n的二元一次方程，将m用含n的式子表示出来即可；（3）由“友好数对”及“和气数对”的定义可得关于x和y的二元一次方程组，求解即可；（4）由“友好数对”的定义可得关于m和n的二元一次方程，将其变形整理；由和气数对”的定义可得a+b＝7，然后将m与n的关系式及a与b的关系式代入代数式3m−7n4−[4（a﹣n）﹣m解：（1）由“友好数对”的定义得：m3解得：m=−9故答案为：−9（2）由“友好数对”的定义得：m3∴m3∴m=−916故答案为：−916（3）由题意得：x3将②代入①得：4x+3y＝12，∴x+3（x+y）＝12，∴x+3×7＝12，∴x＝﹣9，∴﹣9+y＝7，∴y＝16．∴x＝﹣9，y＝16；（4）∵（m，n）是“友好数对”，∴m3∴28m+21n＝12m+12n，∴16m+9n＝0．∵[a，b]是“和气数对”，∴a+b＝7，∴3m−7n4−[4（a﹣n）﹣＝3m−7n4−4a+4n+＝4m+94n﹣（4a+4=14（16m+9n）﹣4（a+＝0﹣4×7＝﹣28．点睛：本题考查了一元一次方程、二元一次方程组在新定义习题中的应用及代数式求值，读懂题中的定义并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．11．（2020春•江阴市校级期中）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y思路引领：（1）利用题中的新定义判断即可；（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．解：（1）根据题意得：m−1=2n解得：m=3n=−10代入得：2m﹣n＝6+10＝16≠6，则（2，﹣4）不是和谐数对；（2）x+y=6①x−y=2a②①+②得：2x＝2a+6，解得：x＝a+3，把x＝a+3代入①得：y＝3﹣a，根据题意得：m−1=a+3n解得：m=a+4n=4−2a代入得：2m﹣n＝2a+8﹣4+2a＝4a+4，当4a+4＝6，即a=12时，满足2m﹣n＝6，即以方程组的解为数对即（x，点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．12．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba−a+b．在此定义下，若9*x＝55，则x思路引领：根据a*b＝ba−a+b，以及9*x＝55，可得：9x﹣9+x＝55，据此求出x解：∵a*b＝ba−a+b，9*x∴9x﹣9+x＝55，∴4x＝64，解得x＝16．点睛：此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．13．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．思路引领：（1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9＜25时，③当9＜25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．解：（1）∵2×18=6，2×8=4，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，25a=39a解得a＝0（不合题意）；②当a≤9＜25时，9×25=39a解得a=25③当9＜25≤a时，25a=39×25解得a＝81，综上所述，a的值为81．点睛：本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．14．新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题：（1）填空：①[π]＝（π为圆周率），②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围；（2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a（3）若f（k）＝[k+14]﹣[k4]（k是正整数），例：f（3）＝[3+14①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．正确的有（填序号）．思路引领：（1）①根据规定[x]表示不大于x的最大整数，可得答案；②根据规定可得3≤x﹣2＜4，解不等式组即可求解；（2）解方程组得x=5−2[a]y=3[a]−3，由点P位于第一象限知5−2[a]＞03[a]−3＞0，据此得1＜[a]（3）根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．解：（1）①根据题意知[π]＝3；②∵[x﹣2]＝3，∴3≤x﹣2＜4，解得5≤x＜6，故答案为：①3；②5≤x＜6．（2）解关于x，y是方程组x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3得x=5−2[a]∵点P位于第一象限，∴5−2[a]＞03[a]−3＞0解得1＜[a]＜5则[a]＝2，∴2≤a＜3；（3）f（1）＝[1+14]﹣[1f（k+4）＝[k+4+14]﹣[k+44]＝[k+14+1]﹣[k4+1]＝[k+14当k＝3时，f（3+1）＝[4+14]﹣[44]＝1﹣1＝0，而当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以④正确；故答案为：①②④．点睛：本题考查取整函数、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．15．【知识重现】我们知道，在ax＝N中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23＝8；已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如38【学习新知】现定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），即a的x次方等于N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数．例如log28＝3．零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．【应用新知】（1）填空：在ax＝N，已知幂N，底数a（a＞0且a≠1），求指数x的运算叫做运算；（2）选择题：在式子log5125中，真数是A.3B.5C.10D.125（3）①计算以下各对数的值：log39；log327；log3243．②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）思路引领：根据阅读材料中的方法将各式计算，找出关系即可．解：（1）填空：在ax＝N，已知幂N，底数a（a＞0且a≠1），求指数x的运算叫做对数运算；（2）选择题：在式子log5125中，真数是D，A.3B.5C.10D.125；故答案为：（1）对数；（2）D（3）①计算以下各对数的值：log39＝log332＝2；log327＝log333＝3；