重难点01平行线(四种模型)(原卷版+解析)

重难点01平行线（四种模型）目录题型一：M型（含锯齿形）题型二：笔尖型题型三：“鸡翅”型题型四：“骨折”型技巧方法技巧方法模型一：M模型如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B＋∠D＝∠DEB．理由如下：过点E作EF//AB又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB

即∠B＋∠D＝∠DEB．模型二、笔尖型如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：过点E作EF//AB．

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠B+∠BEF＝180°．

∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．

即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．模型三、“鸡翅”型如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C的关系，并说明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,

理由如下：过点E作EF//AB

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠A+∠FEA=180°，

∠C+∠FEC=180°

∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA

=180°-∠C–(180°-∠A)

=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D的关系，并说明理由．

解：∠BAD=∠D-∠B,理由如下：过点A作AG//BC又∵CB//DE．

∴AG//DE

∴∠GAB+∠B=180°，

∠GAD+∠D=180°

∴∠BAD＝∠GAB-∠GAD

=180°-∠B–(180°-∠D)

=∠D-∠B

即：∠BAD=∠D-∠B注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！

能力拓展能力拓展题型一：M型（含锯齿形）一、填空题1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）二、解答题2．（2023春·七年级课时练习）如图，，点E在直线AB，CD内部，且．（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．3．（2023春·七年级课时练习）如图：(1)如图1，，，，直接写出的度数．(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．4．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．5．（2023春·七年级课时练习）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．6．（2023春·七年级课时练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．7．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为．8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；（2）如图3，，点在直线上运动，记，．①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．9．（2023春·七年级课时练习）请在横线上填上合适的内容．（1）如图（1）已知//，则．解：过点作直线//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如图②，如果//，则（）10．（2023春·七年级课时练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．11．（2023春·七年级课时练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）12．（2023春·七年级课时练习）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．13．（2023春·七年级课时练习）如图1，点、分别在直线、上，，.（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．14．（2023春·七年级课时练习）已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．15．（2023春·七年级课时练习）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．16．（2021春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．（1）求的度数（用含的式子表示）；（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．题型二：笔尖型一、单选题1．（2023春·七年级课时练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2023春·七年级课时练习）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为___．3．（2023春·七年级课时练习）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．三、解答题4．（2021春·山东德州·七年级统考期中）（1）如图1，，，，则；（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．5．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．6．（2021春·安徽合肥·七年级统考期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．7．（2023春·全国·七年级专题练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．8．（2022春·贵州黔南·七年级统考阶段练习）综合与探究：（1）问题情境：如图1，．求的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作，∴．∴．∵．∴．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．9．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）问题发现如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程；（2）拓展探究如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．（3）解决问题如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程）10．（2023春·七年级课时练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知点分别在上，．求的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”小华：∵如图4，也能求出的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．11．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为°；问题迁移：（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．12．（2023春·七年级课时练习）已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．（1）如图①，求证：．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作，因为，所以__________（

）所以，（

）所以．（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．求证：；（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．13．（2023春·七年级课时练习）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当满足，且，分别平分和，①若，则__________°．②猜想与的数量关系．（直接写出结论）题型三：“鸡翅”型一、解答题1．（2021春·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F．求证：．证明：∵于点A，于点F，（已知）∴．（垂直的定义）∴AD∥EF，（

）∴__________（

）∵AE∥CD，（已知）∴________．（两直线平行，同位角相等）∵，∴．（等量代换）2．（2023春·七年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？3．（2022·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．4．（2023春·七年级课时练习）直线，A是上一点，B是上一点，直线和直线，交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问、、有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索、、之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）5．（2023春·七年级课时练习）已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．题型四：“骨折”型一、填空题1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______二、解答题5．（2023春·七年级课时练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．6．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）7．（2023春·七年级课时练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．8．（2021春·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．重难点01平行线（四种模型）目录题型一：M型（含锯齿形）题型二：笔尖型题型三：“鸡翅”型题型四：“骨折”型技巧方法技巧方法模型一：M模型如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B＋∠D＝∠DEB．理由如下：过点E作EF//AB又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB

即∠B＋∠D＝∠DEB．模型二、笔尖型如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：过点E作EF//AB．

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠B+∠BEF＝180°．

∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．

即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．模型三、“鸡翅”型如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C的关系，并说明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,

理由如下：过点E作EF//AB

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠A+∠FEA=180°，

∠C+∠FEC=180°

∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA

=180°-∠C–(180°-∠A)

=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D的关系，并说明理由．

解：∠BAD=∠D-∠B,理由如下：过点A作AG//BC又∵CB//DE．

∴AG//DE

∴∠GAB+∠B=180°，

∠GAD+∠D=180°

∴∠BAD＝∠GAB-∠GAD

=180°-∠B–(180°-∠D)

=∠D-∠B

即：∠BAD=∠D-∠B注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！

能力拓展能力拓展题型一：M型（含锯齿形）一、填空题1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出，由即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作，则，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．二、解答题2．（2023春·七年级课时练习）如图，，点E在直线AB，CD内部，且．（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【详解】（1）解：因为，所以∠BAC+∠DCA=180°，因为，所以∠EAC+∠ECA=90°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.3．（2023春·七年级课时练习）如图：(1)如图1，，，，直接写出的度数．(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，见解析；(3)∠BED的度数为130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．【详解】（1）解：（1）如图，作EF∥AB，，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度数为130°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．4．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．【答案】(1)(2)；证明见详解(3)【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【详解】（1）解：如图过点作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图过点作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如图分别过点、点作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．5．（2023春·七年级课时练习）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．【详解】（1）解：如图4所示：过点作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如图5过点作，∵∴∴，，∵，∴；②如图6过点作，∵∴∴，，∵，∴．【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．6．（2023春·七年级课时练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)；理由见详解【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形内角和是180°，可得．【详解】（1）解：如图：过点作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如图：过点作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．7．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为．【答案】(1)见解析(2)①；②结论：【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如图2中，由题意，，平分，平分，，，故答案为：；②结论：．理由：如图3中，由题意，，，平分，平分，，，，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；（2）如图3，，点在直线上运动，记，．①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②【分析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案【详解】解：（1）如图2，过作，，，，，，，，．（2）①、，理由：如图3，过作，，，，，；②、．如备用图1，当在延长线上时，；理由：如备用图1，过作，，，，，；如备用图2所示，当在延长线上时，；理由：如备用图2，过P作，，，，，；综上所述，．【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过作．9．（2023春·七年级课时练习）请在横线上填上合适的内容．（1）如图（1）已知//，则．解：过点作直线//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如图②，如果//，则（）【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；（2）360°【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；（2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．∴∠FEB=∠B．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED．故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，内错角相等）．∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．故答案为：360°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键．10．（2023春·七年级课时练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如图1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射线DC沿DE翻折交AF于点G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．11．（2023春·七年级课时练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．【详解】解：（1）如图1，过点作，则有，，，，；（2）①如图2，过点作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为；②如图3，过点作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．12．（2023春·七年级课时练习）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．13．（2023春·七年级课时练习）如图1，点、分别在直线、上，，.（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．【详解】解：（1）如图1，延长交于点，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）延长交于点，交于点，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴；（3）当在直线下方时，如图，设射线交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，即，解得：．当在直线上方时，如图，同理可证得，则有，解得：．综上，故答案为或．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．14．（2023春·七年级课时练习）已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．【答案】（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【详解】解：（1）如图1，作，，∵，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∵的角平分线和的角平分线相交于F，∴，∴，∵、分别是和的角平分线，∴，，∴，∴；（2）如图2，∵，，∴，，∵与两个角的角平分线相交于点，∴，，∴，∵，∴，∴；（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴，，∵与两个角的角平分线相交于点，∴，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．15．（2023春·七年级课时练习）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．（2）画辅助平行线找角的联系．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．【详解】解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．16．（2021春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．（1）求的度数（用含的式子表示）；（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）画图见解析，，证明见解析；（3）或【分析】（1）根据平行线的传递性推出，再利用平行线的性质进行求解；（2）猜测，根据平分，推导出，再根据、平分，通过等量代换求解；（3）分两种情况进行讨论，即当与，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．【详解】（1）过点作，，，，．（2）根据题意，补全图形如下：猜测，由（1）可知：，平分，，，，，又平分，，，．（3）①如图1，，由（2）可知：，，，，，，，，，，又平分，，；②如图2，，（同①）；若，则有，又，，，，综上所述：或，故答案是：或．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．题型二：笔尖型一、单选题1．（2023春·七年级课时练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．二、填空题2．（2023春·七年级课时练习）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为___．【答案】150°##150度【分析】延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数．【详解】解：延长AB交l2于E，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°-∠3=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．3．（2023春·七年级课时练习）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．【答案】【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．【详解】解：过点O作，∵直线a向下平移得到直线b，∴，∴，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．三、解答题4．（2021春·山东德州·七年级统考期中）（1）如图1，，，，则；（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．【答案】（1）；（2），理由详见解析；（3）当点在射线上时，；当点在上时，．【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；（2）过点作交于点，然后根据平行线的性质求解即可；（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；【详解】（1）如图1，过作，，，又，，则（2）理由是：如图2，过点作交于点，，（3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示，∵，∴，又∵在△CHP中，，∴，即：．当点在上时，如图所示，作PE∥AB，∴∠APE=∠BAP=∠α，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE=∠PCD=∠β，∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．即．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．5．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．6．（2021春·安徽合肥·七年级统考期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，如图4所示：过P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线时，如图5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．7．（2023春·全国·七年级专题练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2022春·贵州黔南·七年级统考阶段练习）综合与探究：（1）问题情境：如图1，．求的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作，∴．∴．∵．∴．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）110°；（2），理由见解析【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过P作，∴，∴．∵，∴．∴，∴，∴．（2），如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．9．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）问题发现如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程；（2）拓展探究如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．（3）解决问题如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据平行判定得到，利用平行线的性质得，，得到，即可求证出答案；（2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案；（3）类比，过点作，根据平行判定得到，再根据平行的性质得：，，根据角与角的关系求得：，则可求出答案．【详解】（1）证明：如图①，过点作，∵（已知），（辅助线的作法）.∴（平行于同一直线的两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等）.∵，∴，∴（等量代换）即.（2）证明：如图②，过点作，∵（已知），（辅助线的作法）.∴（平行于同一直线的两直线平行）.∴，，∴，∴.（3）解：如图③，过点作，∵（已知），（辅助线的作法），∴（平行于同一直线的两直线平行），∴，，∵，，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系．10．（2023春·七年级课时练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知点分别在上，．求的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”小华：∵如图4，也能求出的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点作；（2）30；（3）．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点作，故答案为：过点作（2）如图2，过点作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案为：30（3）如图，设，过点作，∵，即．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．11．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为°；问题迁移：（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得．（1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．【详解】解：小明的思路：如图2，过P作，∵，∴，∴，，∴，故答案为：110；（1），理由如下：如图5，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）当P在延长线时，；理由：如图6，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；当P在之间时，．理由：如图7，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．12．（2023春·七年级课时练习）已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．（1）如图①，求证：．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作，因为，所以__________（

）所以，（

）所以．（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．求证：；（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论；（2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明；（3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论．【详解】（1）解：如图①，过点作，因为，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．所以，（两直线平行，内错角相等）．所以．故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；（2）证明：如图②，过点作，因为，所以，所以，，由（1）知：．又，所以．因为．所以，所以，因为平分．所以，所以，所以；（3）解：，理由如下：因为，，所以，因为平分，所以，由（2）知：，所以，因为，所以，所以，，而，所以．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．13．（2023春·七年级课时练习）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当满足，且，分别平分和，①若，则__________°．②猜想与的数量关系．（直接写出结论）【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：；（2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；（3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得；②结合①可得，由，得出；可得，由，得出．【详解】解：（1）如图1，过点作，，，，，，；（2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；过点作，，，，，，；（3）①如图3，若当点在的左侧时，，，，分别平分和，，，；如图4，当点在的右侧时，，，；故答案为：或30；②由①可知：，；，．综合以上可得与的数量关系为：或．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．题型三：“鸡翅”型一、解答题1．（2021春·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F．求证：．证明：∵于点A，于点F，（已知）∴．（垂直的定义）∴AD∥EF，（

）∴__________（

）∵AE∥CD，（已知）∴________．（两直线平行，同位角相等）∵，∴．（等量代换）【答案】见解析【分析】首先根据同位角相等，两直线平行，