专项29反比例图像综合应用(八大类型)(原卷版+解析)

专项29反比例图像综合应用（八大类型）【类型一反比例函数中线段最值问题】【类型二反比例函数中等腰三角形的存在性】【类型三反比例函数中直角三角形的存在性】【类型四反比例函数中平行四边形的存在性】【类型五反比例函数中矩形的存在性】【类型六反比例函数中菱形的存在性】【类型七反比例函数中等腰三角形的存在性】【类型八反比例函数中相似三角形的存在性】【类型一反比例函数中线段最值问题】1．（2021•潮阳区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．（1）填空：k的值等于．（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．（3）在x轴上存在这样的点P，使得PF+PG有最小值？请求出此时点P的坐标．2.如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．【类型二反比例函数中等腰三角形的存在性】3．（2022秋•灯塔市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求△EOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．4．（2022秋•天桥区校级月考）如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值．（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．4．（2022•泰安三模）如图，直线AD：y＝3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数y＝（k≠0）与直线AD交于E、F两点．（1）求反比例函数y＝表达式；（2）根据图象，求出不等式0＜3x+3＜的解集；（3）在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．【类型三反比例函数中直角三角形的存在性】5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四反比例函数中平行四边形的存在性】6．（2022春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．7．（2022•嵩县模拟）如图，直线AC和BC的解析式分别是y＝x+1和y＝﹣+，AC与BC相交于点C，CD⊥y轴于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线BC相交于点C和E，点P是x轴上一个动点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据函数图象，请直接写出当＞﹣+时x的取值范围；（3）当以点B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点P的坐标．8．（2021秋•和平区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．【类型五反比例函数中矩形的存在性】9．（2022春•大英县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函数解析式；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．10．（2022春•嘉兴期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点A（﹣2，3），B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线AC交y轴于点E，连结AD，BC，BD．（1）①写出点B的坐标．②求证：四边形ACBD是平行四边形．（2）当四边形ACBD是矩形时，求点C的坐标．（3）点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．【类型六反比例函数中菱形的存在性】11．（2022春•淮阴区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．12．（2022春•古县期末）综合与探究如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．13．（2022春•沭阳县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．【类型七反比例函数中等腰直角三角形的存在性】14．（2022•泰安二模）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，﹣2）、B两点．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．（2）点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．（3）点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．15．（2022春•封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2．（1）求反比例函数的表达式．（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022春•越城区期末）已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．（1）求k的值；（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．18．（2022•利川市模拟）如图，直线y＝mx与双曲线相交于A，B两点，A点的坐标为（1，2）．（1）求直线和双曲线的函数表达式；（2）在x轴正半轴上是否存在点C，使△ABC为直角三角形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【类型八反比例函数中相似三角形存在性】19．（2022春•任城区校级期末）如图，直线为y1＝mx+n（m≠0）与双曲线相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022•海珠区校级二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA＝2，AB＝4．双曲线y＝（k＞0）与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．（1）若点E是AB的中点，求点F的坐标；（2）将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．专项29反比例图像综合应用（八大类型）【类型一反比例函数中线段最值问题】【类型二反比例函数中等腰三角形的存在性】【类型三反比例函数中直角三角形的存在性】【类型四反比例函数中平行四边形的存在性】【类型五反比例函数中矩形的存在性】【类型六反比例函数中菱形的存在性】【类型七反比例函数中等腰三角形的存在性】【类型八反比例函数中相似三角形的存在性】【类型一反比例函数中线段最值问题】1．（2021•潮阳区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．（1）填空：k的值等于．（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．（3）在x轴上存在这样的点P，使得PF+PG有最小值？请求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，∴∠AOB＝∠COF，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝∠OCB＝90°，∴△COF∽△AOB，∴，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，∴AB＝OC＝2，BC＝OA＝4，∴＝，解得：CF＝1，∴点F的坐标为（1，2），把点F的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）得：k＝1×2＝2，故答案为：2；（2）△COF∽△BFG，理由如下：设点G的坐标为（4，m），∵反比例函数的解析式为，OA＝4，∴m＝AG＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝1.5，∵四边形OABC是矩形，∴∠OCF＝∠FBG＝90°，BC＝OA＝4，由（1）得：CF＝1，∴BF＝BC﹣CF＝3，∴，，∴，∴△OCF∽△FBG；（3）作点G关于x轴的对称点G′，连接FG′，交x轴于点P，如图所示：则AG'＝AG＝，PG'＝PG，∴PF+PG＝PF+PG'＝FG'，BG'＝AB+AG'＝2+＝，此时PF+PG取最小值＝FG'，∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴△PAG'∽△FBG'，∴＝，即＝，解得：PA＝，∴OP＝OA﹣PA＝4﹣＝，∴P（，0），综上所述，在x轴上存在这样的点P，使得PF+PG有最小值，点P的坐标为（，0）．2.如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，∴y2＝；如图，作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，，解得k1＝﹣，b＝﹣，∴；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．（4）如图，作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，令x＝0，则y＝﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．【类型二反比例函数中等腰三角形的存在性】3．（2022秋•灯塔市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求△EOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）设直线EF的解析式为：y＝kx+b，∵点B的坐标为（4，2），BA⊥y轴，BC⊥x轴，∴点F的横坐标为4，点E的纵坐标为2，∵点E、F都在反比例函数y＝的图象上，∴点F的坐标为（4，1），点E的坐标为（2，2），则，解得：，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+3；（2）S△EOF＝2×4﹣×2×2﹣×4×1﹣×2×1＝3；（3）∵点E的坐标为（2，2），∴OE＝＝2，当OP＝OE＝2时，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）；当EO＝EP时，PA＝OA＝2，则点P的坐标为（0，4），当PO＝PE时，点P与点A重合，∴点P的坐标为（0，2），综上所述，△POE是等腰三角形时，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，4）或（0，2）．4．（2022秋•天桥区校级月考）如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值．（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．【解答】解：（1）将（a，3）代入y＝x+1，得3＝a+1，∴a＝4，将（4，3）代入y＝，∴k＝12；（2）①∵AC＝AD，A（4，3），设C（m，n），D（z，0），由中点公式知：＝3，＝4n＝6，将n＝6代入y＝，得6＝，∴m＝2，∴z＝6，∴△OAC的面积＝6×6÷2﹣6×3÷2＝9；（3）设P（s，0），∵A（4，3），B（0，1），当PA＝PB时，（s﹣4）2+32＝s2+12，解得s＝3，∴P（3，0），当PB＝AB时，s2+12＝42+（3﹣1）2，解得s＝±，∴P（，0）或P（﹣，0），当PA＝AB时，（s﹣4）2+32＝42+（3﹣1）2，解得s1＝4+，s2＝4﹣，∴P（4+，0）或（4﹣，0），综上所述，点P的坐标为（3，0）或（，0）或（﹣，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．4．（2022•泰安三模）如图，直线AD：y＝3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数y＝（k≠0）与直线AD交于E、F两点．（1）求反比例函数y＝表达式；（2）根据图象，求出不等式0＜3x+3＜的解集；（3）在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDG＝90°，∵CG⊥y轴，∴∠CGD＝90°，∴∠∠CDG+∠DCG＝90°，∴∠ADO＝∠DCG，在△AOD和△DGC中，，∴△AOD≌△DGC（AAS）．对于直线AD：y＝3x+3，令x＝0，则y＝3，∴D（0，3），∴OD＝3，令y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵△AOD≌△DGC，∴CG＝OD＝3，DG＝OA＝1，∴C（3，2），将点C代入反比例函数中，得k＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为①．（2）∵直线AD的解析式为y＝3x+3②，联立①②得，，解得，或，∴E（1，6），F（﹣2，﹣3），由图象可得不等式的解集为0＜x＜1．（3）过点B作BM⊥x轴于点M．同法可证△DAO≌ABM，∴OA＝BM＝1，AM＝OD＝3，∴OM＝2，∴B（2，﹣1），设Q（a，0），CB＝，CQ＝，BQ＝，①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，CB2＝CQ2，∴，解得：，此时．②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，BC2＝BQ2，∴，解得：a1＝﹣1，a2＝5，此时Q3（﹣1，0）Q4（5，0）．③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，CQ＝，BQ＝，∴（3﹣a）2+22＝（a﹣2）2+1，解得：a＝4，此时Q5（4，0）．∴Q点的坐标为：，，Q3（﹣1，0），Q4（5，0），Q5（4，0）．【类型三反比例函数中直角三角形的存在性】5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，∴△OCD为直角三角形，∵OD＝5，OC＝3，∴CD＝4，∴D（4，3），设反比例函数解析式为y＝，∵点D在反比例函数图象上，∴k＝4×3＝12，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵D为BC的中点，且BC＝2CD＝8，∴B（8，3），∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图象上，在y＝中，令x＝8，可得y＝，∴E（8，），∴BE＝3﹣＝，且BD＝4，∴S△DBE＝BD•BE＝×4×＝3；（3）∵P在x轴上，∴可设P（t，0），∵∠DOA为锐角，∴当△OPD为直角三角形时，有∠DPO＝90°或∠ODP＝90°，且点P在x轴正半轴上，①当∠DPO＝90°时，则DP⊥x轴，此时P点坐标为（4，0）；②当∠ODP＝90°时，由D（4，3），P（t，0），∴PD2＝（t﹣4）2+32＝t2﹣8t+25，且OD2＝52＝25，OP2＝t2，由勾股定理可得PD2+OD2＝OP2，即t2﹣8t+25+25＝t2，解得t＝，∴P（，0）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）或（，0）．【类型四反比例函数中平行四边形的存在性】6．（2022春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．【解答】解：（1）将点A（1，6）代入，∴m＝6，∴y＝，将B（3，n）代入y＝，∴n＝2，∴B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣2x+8；（2）设直线y＝2x+8与x轴交于D，与y轴交于点C，∴C（0，8），D（4，0），∴S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD＝8×4﹣8×1﹣＝8；（3）以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形，理由如下：设M（m，1），N（0，n），①当AB为平行四边形的对角线时，，解得，∴M（4，1），N（0，7）；②当AM为平行四边形的对角线时，，解得，∴M（2，1），N（0，5）；③当AN为平行四边形的对角线时，，解得，∴M（﹣2，1），N（0，﹣3）；综上所述：M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（﹣2，1），N（0，﹣3）．7．（2022•嵩县模拟）如图，直线AC和BC的解析式分别是y＝x+1和y＝﹣+，AC与BC相交于点C，CD⊥y轴于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线BC相交于点C和E，点P是x轴上一个动点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据函数图象，请直接写出当＞﹣+时x的取值范围；（3）当以点B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）当x+1＝﹣+时，解得x＝2，∴y＝3，∴C（2，3），∵点C（2，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝6，∴y＝；（2）当＝﹣+时，解得x＝2或4，∴E（4，），∴当0＜x＜2或x＞4时，＞﹣+；（3）当y＝0时，﹣+＝0，∴x＝6，∴B（6，0），当CD为平行四边形的边时，则CD∥BP，CD＝BP，∴P（4，0）或（8，0），当CD为对角线时，此情形不存在，综上：P（4，0）或（8，0）．8．（2021秋•和平区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．【解答】解：（1）∵y＝过A（2，﹣1），∴k＝xy＝2×（﹣1）＝﹣2，∴y＝，由y＝0得，﹣x+1＝0，∴x＝1，∴B（1，0）；（2）由＝﹣x+1得，x1＝2，x2＝﹣1，∴当一次函数值小于反比例函数值时，﹣1＜x＜0或x＞2，故答案是：﹣1＜x＜0或x＞2；（3）设C（1﹣a，a），D（，a），∴CD＝|1﹣a+|，当CD＝OB时，|1﹣a+|＝1，∴a＝±，a＝1±∵C在第二象限，a＝或a＝1+，∴C（1﹣，）或（﹣，1+），故答案是：（1﹣，）或（﹣，1+）．【类型五反比例函数中矩形的存在性】9．（2022春•大英县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函数解析式；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，由菱形的性质得到B（0，5），设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，故反比例解析式为y＝；直线AB的方程为：y＝x+5；（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在函数y＝（x＞0）的图象D'点处，∴点D'的坐标为（4+m，3），∵点D'在y＝的图象上，∴3＝，解得m＝，∴0≤m；（3）如图，存在，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝5，过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，∴△BON≌△DOE（AAS），∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，∴S△OBN＝OB•NF＝BN•ON，∴NF＝，∵点N在直线AB上，∴N（﹣，），设M（n，n+5），∴MH＝n，OH＝n+5，∵BM2＝BH2+MH2，∴22＝（n+5﹣5）2+n2，∴n＝±，∵n＞0，∴M（，）．10．（2022春•嘉兴期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点A（﹣2，3），B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线AC交y轴于点E，连结AD，BC，BD．（1）①写出点B的坐标．②求证：四边形ACBD是平行四边形．（2）当四边形ACBD是矩形时，求点C的坐标．（3）点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．【解答】解：（1）①∵正比例函数与反比例函数的图象于点A（﹣2，3），B两点，∴点A、B关于原点对称，∴B（2，﹣3）；②∵点A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵点D与点C关于y轴对称，∴OC＝OD，∴四边形ACBD是平行四边形；（2）当四边形ACBD是矩形时，则CD＝AB，∴OC＝OB，∵B（2，﹣3），∴OB＝＝，∴OC＝，∴C（，0）；（3）当点E为AC的中点时，则AE＝CE，作AH⊥x轴于H，∴OE∥AH，∴OH＝OC＝2，OE＝AH＝，∵OC＝OD，∴点D与H重合，∴AD＝AH＝3，∴＝，当点C为AE的中点时，则OE＝AH，OC＝CH＝1，由勾股定理得，AD＝，∴，综上：＝或．【类型六反比例函数中菱形的存在性】11．（2022春•淮阴区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝tcm，AB＝5cm，∴BP＝（5﹣t）cm，∵DC＝DO+OC＝3+5＝8，DQ＝2tcm，∴CQ＝DC﹣DQ＝（8﹣2t）cm，故答案为：（8﹣2t）；当BP＝CQ时，四边形PQCB是矩形，∴5﹣t＝8﹣2t，解得：t＝3，∴当t＝3时，四边形PQCB为矩形；故答案为：（5﹣t）；3；（2）∵点P的坐标为（t，4），点P在反比例函数的图象上，∴k＝4t，∴y＝，∴点M的坐标为（5，），∴BM＝4﹣，连接PM，如图1所示：∴△POM的面积S＝矩形AOCB的面积﹣△AOP的面积﹣△PBM的面积﹣△OCM的面积＝5×4﹣×t×4﹣×（5﹣t）×（4﹣）﹣×5×＝﹣t2+10，∵点Q从点D运动到点C用是为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，∴0≤t≤4，∴S＝﹣t2+10（0≤t≤4）；（3）存在；t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）；理由如下：∵点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t﹣3，0），点C的坐标为（5，0），∴PQ2＝（t﹣3）2+42，PC2＝（t﹣5）2+42，CQ2＝（8﹣2t）2；分情况讨论：①当PQ＝PC时，（t﹣3）2+42＝（t﹣5）2+42，解得：t＝4（不合题意，舍去）；②当PQ＝CQ时，（t﹣3）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图2所示：∴AE＝AP+PE＝t+8﹣2t＝8﹣t＝8﹣＝，此时点E的坐标为（，4）；③当PC＝CQ时，（t﹣5）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图3所示：∴AE＝PE﹣AP＝8﹣2t﹣t＝8﹣3t＝﹣3+2，此时点E的坐标为（3﹣2，4）；综上所述：存在某一时刻，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形，t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）．12．（2022春•古县期末）综合与探究如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．【解答】（1）解：结论：点B在反比例函数y＝﹣的图象上．理由：∵反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，∴A（﹣2，4），∵A，B关于原点对称，∴B（2，﹣4），∵x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴点B在反比例函数y＝﹣的图象上；（2）证明：由题意，C（4，﹣2），D（﹣4，2），∵C，D关于原点对称，∴OC＝OD，∵A，B关于原点对称，∴OA＝OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∵CD＝＝4，AB＝＝4，∴AB＝CD，∴四边形ADBC是矩形；（3）解：如图，当四边形OBP1Q1是菱形时，P1（4，0）．当四边形OBQ2P2是菱形时，P2（2，0）．当四边形OP3BQ3是菱形时，P3（5，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．13．（2022春•沭阳县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为m，∵S△PAO＝．∴，∴m＝4，∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，∴B（6，10），∴k＝6×10＝60，∵点P在这个反比例函数的图象上，∴点P的横坐标为＝15，∴P（15，4）；（2）如图，点P在直线y＝4上运动，作点O关于直线y＝4的对称点O'，连接O'A，此时PO+PA的最小值即为AO'的长，在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，∴PO+PA的最小值为10；（3）当AP＝AB＝10时，如图，AG＝4，∴PG＝2，∴P（6﹣2，4），∴Q（6﹣2，14），当点P在G的右侧时，同理Q'（6+2，14），当BA＝BP时，如图，由勾股定理得PG＝8，∴P（﹣2，4），∵PQ＝10，∴Q（﹣2，﹣6），同理，当P在G的右侧时，Q'（14，﹣6），当PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线y＝5上，点P又在直线y＝4上，故不存在，综上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．【类型七反比例函数中等腰直角三角形的存在性】14．（2022•泰安二模）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，﹣2）、B两点．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．（2）点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．（3）点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（a，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，解得：a＝﹣4，∴A（﹣4，﹣2），将A（﹣4，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，解得：k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点B和点A关于原点对称，∴B（4，2）；（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于C，设P（m，），则C（m，），∵S△POC＝3，∴，解得：m＝2或2，∴P（2）或（2，4）；（3）存在，当∠F＝90°时，∴∠BFG+∠HFE＝90°，∵∠BFG+∠FBG＝90°，∴∠HFE＝∠FBG，又∵∠EHF＝∠FGB，∴△FBG≌△HFH（AAS），∴FG＝HE，BG＝HF，设FH＝m，则F（m，6﹣m），∴m（6﹣m）＝8，解得m＝2或m＝4（舍），∴F（2，4）；当点E在y轴负半轴时，如图，同理可得F（﹣4，﹣2），当∠B＝90°时，当点F在第一象限，设F（m，），则，∴m＝，∴F（，6）；当点F在第三象限时，设F（m，），则2﹣＝4，解得m＝﹣4，∴F（﹣4，﹣2），综上：F（2，4）或（﹣4，﹣2）或（，6）．15．（2022春•封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2．（1）求反比例函数的表达式．（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝3，∴B点坐标轴为3，∴3＝﹣，∴x＝﹣2，∴B（﹣2，3），∵O是线段AC的中点，∴C（2，0），∴CD＝2，∴D（2，2），∴k＝4，∴y＝；（2）S△OBD＝S梯形ACDB﹣S△BAO﹣S△OCD＝×（3+2）×4﹣×2×3﹣×2×2＝10﹣3﹣2＝5；（3）存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形，理由如下：设直线OB的解析式为y＝kx，∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴y＝﹣x，设Q（t，﹣t），①当∠PAQ＝90°时，AP＝AQ，∴Q点与O点重合，此时P（﹣2，2）；②当∠APQ＝90°时，AP＝PQ，∴t+2＝﹣t，解得t＝﹣，∴P（﹣2，）；③当∠PQA＝90°时，PQ＝AQ，∴t+2＝﹣t，解得t＝﹣，∴P（﹣2，）；综上所述：P点坐标为（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，）．16．（2022春•越城区期末）已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．（1）求k的值；（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴k＝2×3＝6；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：当m＝1，k＝6时，∴点B（1，n），反比例函数解析式为y＝，∴n＝6，∴点B（1，6），∵点A（3，2），点B（1，6），点C（﹣1，0），∴AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝2，∴AB＝AC，AB2+AC2＝40＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）如图，当∠ACB＝90°时，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∵点A（3，2），∴OE＝3，AE＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠AEC＝∠BFC，∴∠ACE+∠BCF＝90°＝∠ACE+∠CAE，∴∠BCF＝∠EAC，又∵∠AEC＝∠BFC＝90°，AC＝BC，∴△ACE≌△CFB（AAS），∴AE＝CF＝2，BF＝CE，设CE＝BF＝a，∴OF＝5+a，∴点B（5+a，a），∴（5+a）a＝6，∴a＝1，a＝﹣6（舍去），∴EC＝1