人教版高中数学 教案 学案综合汇编 第6章椭圆及其它

人教版高中数学教案+学案综合汇编

第6章椭圆及其它

第1课时

椭圆及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.

（二）能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的

能力.

（三）学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力.

二、教材分析

i.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.

（解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单

独列出加以比较.）

2.难点：椭圆的标准方程的推导.

（解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明.）

3.疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因.

（解决办法：分三种情况说明动点的轨迹.）

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.

四、教学过程

(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1:什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可

少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正.这样便于学生温故而知新，在已有知识基础

上去探求新知识.

问题2：当a〉0时，而行=aVf(x)=a?是同解方程吗？

当a〉0时f(x)=a?O-a)(Jf(x)+a)=0OJf(x)=a.

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹."

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹."

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神.

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时

教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2T3),当绳长大于F1

和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图.”有的同学

说：“人造卫星运行轨道”等……

图2-13

在此基础匕引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点Fl、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定

点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.

学生开始只强调主要几何特征——到两定点Fl、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从

两个方面加以强调：

⑴将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需

加限制条件：“在平面内”.

⑵这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|,则是线段

F1F2；若常数<|F1F2|,则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数

大于®F2|”.

（二）椭圆标准方程的推导

1.标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要

用坐标法先建立椭圆的方程.

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代

数方程；（4）化简方程等步骤.

⑴建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表

达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.

以两定点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图

2-14）.设|F1F2|=2C（C>0）,M（x,y）为椭圆上任意一点，则有F1（设,0）,F2（c,0）.

⑵点的集合

由定义不难得出椭圆集合为:

P={MIIMF1|+|MF2|=2a).

⑶代数方程

二|MFJ=J(x+c)2+y2,IMF2|=J(x-c)2+y2,

得方程J(x+c)2+y2+J(x-c)2+y2=2a.

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给

予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明.整理后，再平

方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义，下节课还要

讲.由2a〉2c可得a?-c?〉。，令a?-J=6?,则得方程3+[=1

ab

(a>b>0).

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略.

因此，方程目+4=19〉1：)〉0)即为所求椭圆的标准方程.它表

ab

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是Fl(-c,0)、F2(c,0).这里C2=a2-b2.

2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

(1)1+\=l(a〉b〉0)表示焦点在蚌由上的椭圆，焦点是F1(-c,

ab

0)、F2(C,0),这里c2=a2-b2；

22

⑵5+'=1(a〉b〉0)表示焦点在底由上的椭圆，焦点是耳(0，

ab

©、F2(0,c),这里c2=a2+b2,只须将⑴方程的x、y互换即可得到.

教师指出：在两种标准方程中，：a2>b2,.•.可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标

轴上.

（三）例题与练习

例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程.

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程.

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用Fl、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴，

线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.

V2a=10,2c=8.

；.a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.，b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

2222

■+多=1,即:+上=1

5232259

请大家再想一想，焦点Fl、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

线为珞由，轨迹方程是什么形式呢？1+（=1.

2J9

练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

a=4,C=Ji5,焦点在我由上.

由学生口答，方程为4+-=1.

16

练习2下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[]

xy—xy

c-彳+彳=1与不+尹=1;

22

D.3+%与=1;（m〉0）.

4+m2+m

由学生口答，答案为D.

（四）小结

1.定义：椭圆是平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.

2.标准方程：三•+]=l（a〉b〉0）I^W+M（a〉b〉0）.

abab

3.图形如图2-15、2-16.

4.焦点:Fl（-c,0）,F2（c,0）.Fl（0,-c）,F2（0,c）.

五、布置作业

1.如图2-17,在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，A1F1|=2,A2

Fl的距离最大，A2F11=14,求椭圆的标准方程.

2.求椭圆之+4=1上一点MK2.4,4）与焦点的距离.

10ZJ

图2-17

3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

（1）椭圆经过两点P（-2、管，0）,Q（O,J5）i

（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P（3,0）；

（3）焦点坐标是（-2代，0）和（2小，0）,并且经过点P（、5,

-V6）.

22

4.己知椭圆「+%=l（a〉b〉0）,FPF2是它的焦点，AB

A1.

ab

是过Fl的直线被椭圆截得的线段长，求AABF2的周长.

作业答案：

---1---

6428

3713

IM^J=y.

4.由椭圆定义易得，^ABF2的周长为4a.

六、板书设计

§2.8椭圆及其标准方程

（一）椭圆的概念（二）桶圆标准方程的推导（三）例题与赛习

问题11.标准方程的推导例题

问题2

问题3

定义练习1

2.标准方程的比较炼习2

（四）小结

第2课时

椭圆的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一

些实际应用.

（二）能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.

（三）学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，

这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等.

二、教材分析

i.重点：椭圆的几何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结.）

2.难点：椭圆离心率的概念的理解.

（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通

过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.）

3.疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系

的改变而改变.

（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.）

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？

2.椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书.

（-）几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

解析几何的基本问题之一.本节课就根据椭圆的标准方程。=1（a〉

b>0）来研究椭圆的几何性质.说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择

无关，即不随坐标系的改变而改变.

1.范围

引导学生从标准方程3+4=1得出不等式^-<1,

abab

即|x|〈a,iy|〈b,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里（图2T8）.注

意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点.

2.对称性

先请大家阅读课本椭圆的儿何性质2.

设问：为什么“把x换成-x,或把y换成-y?，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不

变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

图2-18

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，点

P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个

命题.

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，

那么它一定具有另一种对称.如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称.

事实上，设P(x,y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点Pl(x,-y)必在曲线上.又

因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲线上.因P(x,y)、P2(-x,

y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.

3.顶点

引导学生从椭圆的标准方程4+4=1分析它与x轴、y轴的交点.

ab

只须令x=0,得y=±b,点B1(O,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0,得

x=±a,点Al(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出：椭圆有四个顶点Al(-a,

0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教师还需指出：

⑴线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就

可以得到较正确的图形.

4.离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

椭圆的焦距与长轴的比e=£.

a

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义.

先分析椭圆的离心率e的取值范围:

Va>c>0,/.0<e<l.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(1)当e接近1时，c越接近a,从而b="二7越小，因此椭圆越扁；

⑵当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆；

⑶当e=0时;c=0,a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形就是圆了.

(三)应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1.

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描

点法画出它的图形.

本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成.后一部分由教师讲解，以引起学生重

视，步骤是：

(1)列表.将第+2=1变形为y=±2J25-Xa,根据y=+?J25-X、

2J16D5

在第一象限K5的范围内算出几个点的坐标(x,y)：

X012345

y43.93.73.22.40

⑵描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整

个椭圆(图2T9).要强调：利用对称性可以使计算量大大减少.

图2-19

例2点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线1：x=土的

C

距离的比是常数々a〉c〉0),求点M的轨迹.

a

本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统•定义做准备的，同时再一次使

学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设d是点M到直线1的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M

1

P=----=-----.

3-2V2cos9

11

|MN|=Pi+P2=3.272cos0+3+20cos8

=_____6_____=o

-9-8cos20一4

将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

设a2-c2",就可化成：W+W=l.

ab

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆.

由此例不难归纳出椭圆的第二定义.

(四)椭圆的第二定义

1.定义

平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

e=£(0<e<l)时，这个点M的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直

a

线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.

2.说明

⑴对于椭圆5+3=1，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x=匕.

abc

根据椭圆的对称性，相应于焦点F'(-c,0)的准线方程是x=-土.

C

⑵对于椭圆与+a=1,相应于焦点F(0,C)的准线方程是y='，

abc

相应于焦点F，(0,-c)的准线方程是y=--.

c

这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.

(五)小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同-曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，

但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性

质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格：

2222

xyyx

标准方程-j-H—y=l(a>b>口)—y+-j-=l(a>b>0)

abab

图象

范围

对称性

顶点

长轴

短轴

焦点

离心率

准线

五、布置作业

1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：

(l)25x2+4y2T00=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近

地点距地面266Km,远地点距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程.

3.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1：2,求点P的轨迹

方程，并说明轨迹是什么图形.

4.椭圆的中心在原点，一个顶点是(0,2),离心率e=,，求椭圆

的方程.

作业答案：

1.⑴2a=10,2b=4,2c=2仞，e==,焦点(0,士历)，顶

25

点(0,±5)、(±2,0),=士-y=

(2)2a=2,2b=1,2c=V3,e=y,焦点(士彳，0),顶点(±1,0)、

19

(0，士5)，士忑

2.选取坐标系‘后布产+嬴7=1

3.1+\=1轨迹是长半轴等于4,短半轴等于2、月的椭圆.

1612

4.顶点(0,2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：

x2y2x2y2

----F--=1或——+--=1.

16414

六、板书设计

§2.9捕到的几何性质

（一）提问（三）应用（四）椭圆的第二定义

1.例11.定义：

2.2.说明：

（二）几何性质例2

1.（五）小结

2.

3.

4・

第3课时

双曲线及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导.

（-）能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.

（三）学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方

程一个比较深刻的认识.

二、教材分析

i.重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.

（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线

的标准方程通过比较加深认识.）

2.难点：双曲线的标准方程的推导.

（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.）

3.疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？

（解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在

课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式.）

三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书）

平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.教师要强

调条件：（1）平面内；（2）到两定点Fl、F2的距离的和等于常数；（3）常数2a>|F1F2].

2.椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）

焦点在行由上的椭圆标准方程为-y+2=l（a〉b〉O）；焦点在蚌由

ab

上的椭圆标准方程为%+R=l（a〉b〉O）.

（二）双曲线的概念

把椭圆定义中的''距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

1.简单实验（边演示、边说明）

如图2-23,定点Fl、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过

套管，点M移动时-，1MF1HMF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由IMF2HMFl|是同一常

数，可以画出另一支.

M

N

图2-23

注意：常数要小于IF1F2,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.

2.设问

问题1：定点Fl、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能.强调“在平面内”.

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大?

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|>|MF2|；当?M在双曲线左支上时，|MF1|

<|MF2|.

问题3：点M与定点Fl、F2距离的差是否就是|MF1-|MF2|?

请学生回答，不一定，也可以是|MF21正确表示为||MF2|-|MF1|

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2]?

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时，轨迹是以Fl、F2为端点的两条射

线；当常数>|F1F2|时，无轨迹.

3.定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值是常数（小于IF1F21）的点的轨迹叫做双曲线.这

两个定点Fl、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.

（三）双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆

的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的

推导.

标准方程的推导：

⑴建系设点

取过焦点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系.

设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2的坐标分别是

(-C,0)、(c,0).又设点M与Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数.

⑵点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={MIIMF1-|MF2||=2a}={M|MFl-|MF21=±2a}.

⑶代数方程

2222

|MFJ=J(x+c)+y,|MF21=7(x-c)+y,

J(x+c)2+y2_j(x-c)2+y2=±2a.

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

(x+c)24-y2=4a2±4aJ(x-c)2-Fy2+(x-c)24-y2.

化简得：

2cos支2

X=1+------------x=1+------;

、since-cosatga-1

(,AA)<(B)(>

since2tga

y-+.y=+------

sina-cosatgce—1

x=l+|MP|cos支x=-1+|AP|CO945°

(°(y=|MP|sinaRy=".45。

两边再平方，整理得:

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)

由双曲线定义，2c>2a即c>a,所以c2-a2>0.

设c2-a2=b2(b>0),代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2.

即4-p-=i.

这就是双曲线的标准方程.

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

22

(1)-2--77=l(a>0,b〉0)表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是F(c,

ab

0)、F2(C,0),这里c2=a2+b5

22

-^7=l(a>0,b>0)表示焦点在蚌由上的双曲线，焦点是耳(0,

ab

-c)、F2(0,C),这里c?=a?+b2(只须将⑴方■程的X、y互换即可得到).

教师指出：

⑴双曲线标准方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b；

⑵如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y

轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.

⑶双曲线标准方程中a、b、c的关系是C2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.

(四)练习与例题

1.求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点Fl(-3,0)、F2(3,0),且2a=4；

本题由学生先练习再口答：=

2.证明：楠圆盘+[=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.

y

由学生演板完成.椭圆焦点0)、F2(4,0)；双曲线焦点F；

(40)、F2(4,0).

3.已知两点F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如

果把这里的数字6改为12,其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.

因此，所求方程是差-捺，即9-.=1•

因为2a=12,2c=10,且2a>2c.

所以动点无轨迹.

㈤小结

1.定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于1F1F2|)的点的轨迹.

2.标准方程:-y-^y=l（a〉0,b〉0）,--y-j"=l（a〉0,b〉0）.

abab

3.图形（见图2-25）：

4.焦点：Fl（~c,0）、F2（C,0）；Fl（0,一c）、F2（0,C）.

5.a>b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2.

五、布置作业

1.根据下列条件，求双曲线的标准方程:

⑴焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(-5,2)；

⑵经过点P(-3,26)和Q(6也，-7),焦点在y轴上.

2.已知上~=1表示双曲线，求k的取值范围.

1+k1-k

3.已知圆锥曲线的方程为inx2+ny2=m+n(mV0<m+n),求其焦点坐标.

作业答案：

椭圆双曲线抛物线

44=1g上I

a2b21

标准方程a2b2y2=2px(p>0)

(a>b>0)(a>0>b>0)

X1k

Wv

图形

-aWxWax〉a或x<-ax>0

范围

-b<y<by€RyeR

关于x轴、y轴对称关于x轴、y轴对称

对称性关于X轴对称

关于原点对称关于原点对称

(-a»0)(a»0)

顶点(-a»0)(a»0)(0，0)

(0,-b)(0，b)

离心率0<e=-<1e=>>le=l

aa

y=±3x

渐近线无无

a

2.由(1+k)(l-k)V0解得：kV-l或k>l

3.原方程可化为:=1

(m+n)/m(m+n)/n

m+n

V—<0,—,故Jl匕曲缭礁点在蚌由曲双螃，a2

mnn

1

.m+nm2-n

0bJ=--,---c--=7a2+b2=

mmn

••・焦点垃（0,

六、板书设计

§2.11双曲线及其标睢方程

（一）复习提问

1.

2.

（三）双曲线的标准方程（四）练习与例题

（二）双曲线的概念1.标睢方程的推导1.

1.简单实能

2.两种标准方程的比校2.

2.设问3.

（五）小结

3.定义

第4课时

双曲线的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的儿何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估

计双曲线的形状特征.

（-）能力训练点

在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.

（三）学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的

理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.

二、教材分析

1.重点：双曲线的几何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明.）

2.难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证.

（解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论

证这两条对角线即为双曲线的渐近线.）

3.疑点：双曲线的渐近线的证明.

（解决办法：通过详细讲解.）

三、活动设计

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结.

四、教学过程

（一）复习提问引入新课

1.椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

请一同学回答.应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的.

2.双曲线的两种标准方程是什么？

再请一同学回答.应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标

准方程为耳-4=1；中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

ab

y21

丁炉t

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.

（二）类比联想得出性质（性质1〜3）

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格（让学生回答，教师引导、启发、订正并板书）.<

见下页>

（三）问题之中导出渐近线（性质4）

在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

椭圆的形状，画出椭圆的简图都有很大作用.试问对双曲线

ab

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？

这个矩形对于估计和画出双曲线简图（图2-26）有什么指导意义？这些问题不要求学生回答,

只引起学生类比联想.

接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

请一同学回答，应为y=±2x,并画出两条对角线，进一步引导学

a

生从图观察得出结论：双曲线5-g=1的各支向外延伸时，与这两条渐

近线逐渐接近.

下面，我们来证明它:

椭圆双曲线

2222

xyxy

方程一+—=l(a>b>0)---=l(a>0,b>0)

a2b2a2b2

a、b、c关系c?=a®a>b>0)c5丑)2(a>0,b>0)

Ju

图形AJ

0F^/ai术

F

范围|x|<aJlylWb|x|>ayER

对称轴：x轴、y轴对称轴：x轴、y轴

对称性

对称中心：原点对称中心：原点

(-a»0),(a,0)(-a，0),(a,0)

(0.-b),(0,b)实轴为2a

顶点

长轴为2a虚轴为2b

短轴为2b

双曲线在第一象限的部分可写成:

y=-Vx2-a2（x>a）

a

图2-26

设M(x,y)是它上面的点，N(x,7)是直线y=上与M有相同

a

的横坐标的点，则y=^^.

a

y=-7x2-a2=-x-Jl-(-)<-x=y

aaV(xja

|MN|=y-y=—(x-A/X2-a2)=—

aa

(x-Vx2-a2)(x+Vx2-a2)

x+Vx2-a2

ab

x+Jx--a」

设|MQ|是点M到直线y=?x的距离，则有|MQ|〈|MN|.

a

当X逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说,

双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.

在其他象限内也可以证明类似的情况.

我们把两条直线丫=±Bx叫做双曲线的渐近线.

a

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方

程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字

母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字

母对调而得，所以，双曲线W-1=1的渐近线的方程是x=士与即y=

aba

a

±bx'

定义：直线y=士,x叫做双曲线-2-