2022年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项练习试题（含答案及详细解析）

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项练习

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、等腰直角三角形的直角边长为囱，则斜边长为（）

A.&B,2C.4D.8

2、下列各组数中，是勾股数的是（）

513

A.0.3,0.4,0.5B.6,—C.夜，&,2D.9,12,15

22

3、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图

1,图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形4?切、正方形

硒正方形/柄的面积分别为S、S、S.若正方形加G//的边长为3,则S+W+S的值是（）

A.20B.27C.25D.49

4、如图，以RtAABC（AC_LBC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S、&、S,若S

+$+£,=12,则S的值是（）

A.4B.5C.6D.7

5、如图，将长方形纸片力版沿/£折叠，使点〃恰好落在6C边上点尸处，若47=3,AD=5,则比的

长为（）

534

A.1B.-C.-D.-

323

6、以下列各组线段为边作三角形，不熊作出直角三角形的是（）

A.1,2,君B.6,8,10C.3,7,8D.0.3,0.4,0.5

7、如图，一圆柱高为8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁欲从点力爬到点6处吃食物，需要爬行的最短

路程（n取3）是（）

A.10cmB.12cmC.14cmD.4百cm

8、下列条件：®b2=c2-a2;②NC=Z4—N5；③©ZA:ZB:ZC=3:4:5,能判定

△ABC是直角三角形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

9、以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.8,15,17C.2,3,4D.1,3

10、如图，在RtZUSC中,NABC=90°,48=6,BC=3,9是的中线，过点C作CPLBD干点、

P,图中阴影部分的面积为（）

C

49

27一

18一

A.3-B.5-C.D.5

10

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺.引葭

赴岸，适与岸齐.问水深几何？"（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）其大意为：有一个水池，水面

是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇/昆它高出水面1尺（即6C=1尺）.如果把

这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端8恰好到达池边的水面〃处.问水的深度是多少？则水深施

为尺.

2、△力比的三条边长。、b、。满足c=8,+6|=0,则一直角三角形（填“是”或

“不是”）

3、如图，点尸是/加6的角平分线上一点，过点尸作PC〃的交如于点G过点。作口入勿于点〃

若N力如=60°,OC=2,则如=.

4、如图所示，等腰以△/6C中，/ACB=90°,AC=BC=3,〃点为然边上一点，£为46边上一动

点，将△力应沿着龙折叠，点力的对应点片落在△/!a'的边上，若49=2,则线段的长度为

5、定义：当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其

中a称为“特征角”，若入△/%是特征三角形，N4是特征角，BC=6,则的面积等于

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知双△/%中，AOBC,N4%=90°,6为4?边的中点，鱼D六EF,/DFE=90°,D是BC上一

个动点.如图1,当〃与C重合时，易证：Cd+DE=2DA

(1)当〃不与G6重合时，如图2,CD、DB、加有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证

明.

(2)当〃在8。的延长线上时，如图3,CD、DB、加'有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证

明.

2、如图在5x5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点4点都在格点上，按下列要求

画图.

图①图②图，③

(1)在图①中，4?为一边画“ABC,使点C在格点上，且“ABC是轴对称图形；

(2)在图②中，4?为一腰画等腰三角形，使点。在格点上；

(3)在图③中，为底边画等腰三角形，使点。在格点上.

3、在△46。中，AB=AC,点〃在物的延长线上，龙〃/C交欧的延长线于点反

(1)如图1,求证：DFDE；

(2)如图2,作△腌的高朋连结4反若/DEA二/FEA,求证：ZAEB=45°；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点5作阴，熊于点G,BG交AC干点、H,若语2,求4G的长.

4、如图所示的一块地，已知49=4米，米，俏90°,火比13米，叱12米，则这块地的面积为

多少？

5、△力%和△〃的都是以点8为顶点的等腰直角三角形，ZABC=ZDB^90°,△。班•可以点8为旋转

中心进行旋转.

(1)如图1,当边劭恰好在△/6C的8。边上时，连接AD,若陷1,A理2.求线段比1的长；

(2)如图2,当边物旋转至△［此外时，连接徽AD.CE,其中4?与以相交于点片求证：

CEVAD；

(3)如图3,'为〃1的中点，当边劭旋转至△45C内时，连接49、CE、FD,并在的延长线上取一

点G,连结曲，使龙=密求证：4FDA=LCGF.

---------参考答案-----------

一、单选题

1、C

【分析】

根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出即可.

【详解】

解：•.•一个等腰直角三角形的直角边长为四，

•••该直角三角形的斜边长是：购q可=4.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键.

2、D

【分析】

三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即

可.

【详解】

解：A、不是勾股数，因为0.3,0.4,0.5不是正整数，故此选项不符合题意；

B、不是勾股数，因为］3,葭13不是正整数，故此选项不符合题意；

C、不是勾股数，因为0不是正整数，故此选项不符合题意；

D、是勾股数，因为92+1展=152,故此选项符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大

的数的平方.

3、B

【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形力灰刀，四边形EFGH,四边形血WT是正方形，得出CF=DG

=KF,再根据S=(g〃G),S尸Gf,&=(KF-NR2,S+£+S=3M,即可求解.

【详解】

解：在危中，由勾股定理得：G+CT=G户,

•..八个直角三角形全等，四边形4灰刀，四边形镇G〃，四边形册《7是正方形，

/.CG=KG=FN,CQDG=KF,

.*.S=(CG^DG)2

=C6M+2CG•%

=Cd*C户位CG。DG

=GB+2CG、DG,

S=G#,

&=(gNF)

=K^+N”2KF・NF

=K户+K6-2DG・CG

:F4-2CG，DG,

•.•正方形厮(第的边长为3,

G户=9,

：.S+£+S=#+2CG*DG+Gf^+F(?-2CG*DG^3南=27,

故选：B.

【点^青】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根

据已知得出S+S+S=3G#=27是解题的关键.

4、C

【分析】

根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答

案.

【详解】

解：•.•由勾股定理得：A^+Bd=A®,

**•S+Sz-Sif

:S+S+S=12,

A25i=12,

A5=6,

故选：C.

【点睛】

题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形

的面积等于大图形的面积.

5、D

【分析】

由翻折可知：Hg4c'=5.DE=EF,设.EC=x,则〃£="=3w.在.RtAECF中,利用勾股定理构建方

程即可解决问题.

【详解】

解：•.•四边形的口是矩形，

:.AD=BC=5,AB=CD=3,

，N8=N5切=90°,

由翻折可知：AD=AF=5,DE=EF,没EC=x,则%'="=3f.

在心△力胸中，BF=4AF2-AB2=A/52-32=4.

:.CF=BC-BF=5Y=\,

在.RtAEFC中,E^=CE+C#,

：.(3-2=7+12,

故选：D.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键.

6、C

【分析】

先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可.

【详解】

解：A、,.F+22=5=（石『，

...以1,2,后为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

B、V62+82=36+64=100=102,

...以6,8,10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C、V32+72=9+49=58#=82,

...以3,7,8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

D、DO.32+0.4=0.09+0,16=0.25=0.52,

.•.以0.3,0.4,0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】

本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的

逆定理是：如果一个三角形的两边a、6的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角

形.

7、A

【分析】

先画出圆柱展开图形，最短路程是AB的长，AC是底面圆周长的一半，则AC=w,8c是高8a〃，根据

勾股定理计算.

【详解】

解：如图所示，AC=^r=2x3=6cm,

由勾股定理得：AB=ylAC2+BC-=>/62+82=10cm）

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆柱的平面展开一最短路径问题，将圆柱展开为矩形，利用勾股定理求对角线的长即为

最短路径的长.

8、C

【分析】

根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论.

【详解】

解：®b2=c2-a2^a2+b2=c2,是直角三角形，故①符合题意；

②•.•/♦+/历NCM80°,ZOZA-ZB,

：.ZA+ZB+ZA-ZB=18Q°,即N4=90°,

.•.△4%是直角三角形，故②符合题意；

③a:6:c=-」:一,

345

k,kk

设炉钎炉".，

...△4%不是直角三角形，故③不合题意;

④：ZA:ZB:ZC=3:4:5,

X180°=75°,故不是直角三角形；故④不合题意.

综上，符合题意的有①②，共2个，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的判定方法.①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三

角形；②如果一个三角形的三边a,b,c满足@2+夕=。2,那么这个三角形是直角三角形.

9、B

【分析】

根据勾股定理的逆定理：若三角形三边分别为a,b,c,满足々2+从=02,则该三角形是以c为斜边的

直角三角形，由此依次计算验证即可.

【详解】

解：A、42+52=41x6,,则长为4,5,6的线段不能组成直角三角形，不合题意；

B、82+152=289=172,则长为8,15,17的线段能组成直角三角形，符合题意；

C、22+32=13^42,则长为2,3,4的线段不能组成直角三角形，不合题意；

D、/+（及『=3=32,则长为1,五,3的线段不能组成直角三角形，不合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，掌握并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键.

10、C

【分析】

根据勾股定理求出1俏3石，由三角形中线的性质得出8力=］石，SASCD=-SM8C=|,从而求出用的

长，再运用勾股定理求出征的长，得勿，的长，进一步可求出图中阴影部分的面积.

【详解】

解：在心△?!勿中，/ABC=90°,AB=6,BC=3,

JAC7ABFC?==3右

又%Bc=gA8.8C=；x6x3=9

是的中线，

/.BD='&

2

19

:.—BD・PC=—

22

PC=—

在血△必。中，PC=—,BC=3,

5

BP=■BC?-PC?=卜_（W）2=1石

.•.尸。=皿一2尸=述一遗=述

2510

/•SATW-D=-DP・PC=-x—y/sx—\[5=—

32210510

故选：c

【点睛】

本题考查了勾股定理以及中线与三角形面积的关系，求出PC=W是解答本题的关键.

二、填空题

1、12

【分析】

设水池里水的深度是X尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】

设水池里水的深度是x尺，则DE=AC=x,BA=AD=x+\,

由题意得：AC2+CD2=AD2,

.,.X2+52=(X+1)2,

解得：x=12,

故答案为：12.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，由题意找出等量关系式是解题的关键.

2、不是

【分析】

根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出〃力的值，运用勾股定理逆定理验证即可.

【详解】

解：•••7^4+性-6|=0,

.,.a—4=0,b—6—O,

...a=4,。=6,

则42+6?=52W8?,

a2+h2力,

...△力比不是直角三角形，

故答案为：不是.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点,根据题意得出。力的

值是解本题的关键.

3、6

【分析】

作则=由等腰三角形的性质可得，OC=PC=2,在RtZiPCE中,利用勾股定理即可

求解.

【详解】

解：作如下图：

4

平分4408,PEL0B,PD1OA,

：.PD=PE,NA。尸=ZBOP=-NAOB=30°,

2

PC//OA,

：.ZDOP=NOPC=30°=4Poe,

OC=PC=2,ZPCE=4Poe+20PC=60°,

在RtAPCE中，PC=2,NPCE=60°,

/.ZCPE=30°

：.CE=-CP=\,

2

由勾股定理得，PE=>JPC2-CE2=&，

故答案为：丛.

【点

此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及含30。直角

三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.

4、百或

【分析】

分当点A在46上时和当点A在比上时两种情况讨论求解即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，当点A在16上时，

由折叠的性质可得A'£>=A£>=2,ZDAA^ZA,

'：ZACB=90°,AOB(=3,

：.CD=AOAD=1,N/=N比45°,

ZDAA=ZA=45°,

：.ZADC=ND4'A+NA=90°,

AC=yjAD2+CD2=6;

如图所示，当点4在6。上时,

由折叠的性质可得A力=4)=2,CD^AC-A!>\,

A'C=yjAD2-CD2=y/3，

，综上所述，4c=G或AC=6,

故答案为：6或旧.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够

熟练掌握相关知识进行求解.

5、9

【分析】

分N4=90°或NHW90°,分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题.

【详解】

解：如图，若N4=90°,

•••/△/比是特征三角形，//是特征角,

：.ZB=ZC=45°,

：.AC=AB=^BC=3^2,

:.S…2g3a=9；

如图,若N4W90°,

a'是特征三角形，//是特征角,

/.ZA=QQ°,NB=30°,

：.AB=2AC,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

E|JAC2+62=4AC2,

：.AC=±2yf3（负值舍去），

,♦SAAEC=5x2y/3x6

=66，

故答案为：9或6G.

【点^青】

本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键.

三、解答题

1、(1)C廿+D^=2D户；(2)5+物=2M,证明见解析

【分析】

(1)由已知得。/=2。产，连接5BE,证明AC"三ABEF得缁％再证明AB£史为直角三角形,

由勾股定理可得结论；

(2)连接6EBE,证明ACDFMM所得小以’,再证明ABDE为直角三角形，由勾股定理可得结论.

【详解】

解：⑴B+DE=2Df

证明："：DI^EF,/DFE=9C,

:.DF2+EF2=DE2

DE2=2DF2

连接CF,BE,如图

是等腰直角三角形，尸为斜边46的中点

/.CF=BF,CFVAB,即NCFB=90°

4FCB=NFBC=45°,Z.CFD+NDFB=90°

又NDFB+ZEFB=90。

：.ZCFD=ZEFB

在ACTO和MfE'中

CF=BF

-NCFD=NBFE

DF=EF

：.ACFD=SBFE

：.CD=BE,ZEBF=NFCB=45°

，ZDBF+NEBF=45°+45°=90°

DB2+BE2=DE2

,:CD=BE,DE2=2DF2

：.Cd+Da=2D户；

(2)4+D波=2DP

证明：连接CKBE

'：CF=BF,D户EF

又.：NDFC+/CF&/EF//CFaQ°

:./DFO/EFB

:.XDFCQXEFB

：.CD=BE,/DC产/EB内135°

，：NEBD=4EBF—/FBD=135"—45°=90°

在Rt丛DBE中,B队D打泥

•/笳:2DF

：.办则=2正

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，

学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

2、（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解.

【分析】

（1）先根据以46为边△/玄是轴对称图形，得出△力比为等腰三角形，18长为3,画以4?为腰的等

腰直角三角形即可；

（2）先根据勾股定理求出力6的长，利用平移画出点C即可；

（3）先求出以46为底等腰直角三角形腰长/信行，利用平移作出点C即可.

【详解】

解：（1）•.•以儿?为边。是轴对称图形，

.•.△4&'为等腰三角形，长为3,

画以力6为直角边，点6为直角顶点△/阿如图

也可画以46为直角边，点/为直角顶点△力宛如图；

（2）根据勾股定理心质于'=M，

46为一腰画等腰三角形，另一腰为瓶，以点/为顶角顶点根据勾股定理构建横1竖3,或横3竖1；

点A向左1格再向下平移3格得G,连结AG,CB得等腰△/1比；,点4向右3格再向上平移1格得

G,连结ZC,BQ,得等腰△1弦，点4向右3格再向下平移1格得G,连结4G,BG,得等腰

△47G,

点8向右3格再向上平移1格得连结/a,Ba,得等腰点s向右3格再向下平移1格得

Q,连结4%BG,得等腰△45%点6向右1格再向上平移3格得£,连结4%BQ,得等腰

(3)4方为底边画等腰三角形，等腰直角三角形腰长为如根据勾股定理A52=AC2+BC2,

即而=M，解得加=石，根据勾股定理AC=^,横1竖2,或横2竖1得图形，

点/向右平移2格，再向下平移1格得点G,连结4G,BQ,得等腰三角形49G,点［向左平移1格,

再向下平移2格得点C,连结力G,BG,得等腰三角形片6c.

【点睛】

本题考查网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质，掌握网格作

图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质是解题关键.

3、（1）见详解；（2）见详解；（3）近

【分析】

（1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；

（2）根据三角形的内角和解答即可；

（3）过点。作CRUE于R,过点力作RT1CE于T,先证明△力6侬△。此再根据全等三角形的性质

解答即可.

【详解】

证明：(1)-：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

'：DE//AC,

:./ACB=/E,

：.AB=AE,

:.DFDE；

(2)令/的=%则N/^a,4FEW2a,

O是△颂的高，

:.EF工DB,

:./DF氏,

/.ZZ?=90o-ZZZfi^90°~2a,

•:/B+/DE计NA180°,

：.2NDEB+90°-2a=180°,

：.NDEB=45°+a,

:/AEB=/DEB-/DEA=45°+a-a=45°,

(3)如图3,过点。作少于R,过点作RTLCE于T,

图3

则/(»/，77?=/£7庐90°,

VZAEB=45°,

N必发NR?7M5°=/CRT,

:.R0与CE=4i