2021届新高考新课标108所数学（理）押题汇编05 三角函数及解三角形（解析版）

2021届新高考新课标108所名校数学(理)押题汇编

精选05三角函数与解三角形

一、单选题

1.(2021•安徽淮南市•高三一模(理))在平面直角坐标系xOy中，a为第四象限角，角a的终边与单位

圆。交于点若cos(a+?)=|,则与=

人4^-3„46+3△3也-4「4百±3

A.--------B.-----------C.----------D.----------

10101010

【答案】C

【分析】

根据a为第四象限角，再结合cos(a+V)=|,确定a+看的范围，进而确定sin(a+?),然后由

x=cosa=cosa+—求解.

06J6

【详解】

Va€44

717171、

/.(XH-----G

66)

3g

又cosa+—一＜---，

6752

所以a+3一71卦'

3

所以sin[a+74

5

717tTV兀.71.71

/.x=cosa=cosa+—cosa+—cos—+sma+—sin—.

066I6666

3比上」=坦

525210

故选：c

【点睛】

易错点点睛：本题容易忽视a+看的范围，而导致sin（a+?TT）出错.

6

2.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三二模（理））已知a为第二象限角，sina+cosa=旦贝!]cos2a=

3

()

D.1

A.-1c

39-V3

【答案】A

【详解】

.V3,.，2\7T..3兀7...1.、2

•<,sina+cosa=——「.(sina+cosa)=—,—+2k兀<a<---\-2k7t1+sinla=—sin2a=——

332433

cos22a=—7i+4女乃<2a<—+4ATTcos2a=,故选A.

923

3.(2021•河南新乡市•高三三模(理))若lgtana=l,log3tan^=2,贝！jtanQ-/7)=()

19111

A.——B.—CD.——

89918991

【答案】B

【分析】

根据指数与对数的关系得到tana.tan/?,再根据两角差的正切公式计算可得;

【详解】

解：因为313114=1,10831»«6=2

所以tana=10,tan尸=3?=9

tana-tan/3_10-91

所以tan(a-0)=

1+tanatan(31+10?991

故选：B

5.(〃7]44

4.（2021•江西上饶市•高三一模（理））已知a,夕均为锐角,cos(a+0=-——，sin+—=-

13I3J5

01]cosa--

I3)

33336333-63

A.—B.----C.D.—或一

6565656565

【答案】C

【分析】

(a+/7)=和cos[〃+q)=-(,再把拆成(a+/?)_(/7+?),利用两角

先根据已知求出sin

差的余弦公式求值.

【详解】

冗715乃

a,。为锐角，a+£e（0,兀）,（3+—&

3'6

二sin(a+尸)>0,cos^/?+y^e

。司'

5sin(a+p)=j|

「cos(a+B)

13

又71+4•.•cosp+?7t上一］［舍去）

353

、

71、

coscos(«+/?)-(/?+y

a—3J

7

5312463

=cos(e+0)cosf/?+y1+sin(cz+/?)sin,+g=一——X+__x_—__

v5)13513565

故选：C

【点睛】

利用三角公式求三角函数值的关键:

（1）角的范围的判断;

⑵根据条件进行合理的拆角，如尸=（a+⑶—a,2a=（a+⑶+（a—0等.

5.（2021•安徽高三一模（理））在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=csinB,则tanA的

最大值为（）

543

A.1B.-c.一D.-

432

【答案】C

【分析】

由正弦定理得sinA=sinCsin5,可得sin5cosC+cos3sinC=sinBsinC,进而L+

tanCtanB

tanA—___________

利用基本不等式可得tan3tanCN4,化简可得\,则可求出最值.

tanBtanC

【详解】

在zkAfiC中，由。=由115及正弦定理得：sinA=sinCsinB.

sin（+C）=sinBsinC,

即sin8cosC+cosBsinC=sinBsinC,

两边除以sinBsinC可得」一+」一=1-

tanCtanB

1>2]-------------,B|JtanBtanC>4,当且仅当tan8=tanC=2等号成立，

VtanBtanC

.-tanB+tanC

则nltanA=—tan（3+C）=-------------------

1-tanBtanC

tanBtanC_1

tanBtanC-11—1

tanBtanC

4

则当tan8tanC=4时，tanA取得最大值为一.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，解题的关键是利用已知条件得出」一+」一=1,利用基本不等式求出

tanCtanB

tanBtanC>4.

6.（2021•安徽安庆市•高三一模（理））为了得到函数g（x）=sin2x-V^cos2x的图象，只需将

/（x）=2sin12x-£j的图象（）

A.向右平移J个单位B.向左平移?个单位

66

C.向右平移专个单位D.向左平移5个单位

【答案】C

【分析】

jr|/7C\TC

将8（犬）的解析式化为8（工）=25皿2%一；）=25时2A：----,可得答案.

3I\6

【详解】

n

g(x)=2sin(2x-y)=2sin2

~6

所以可以由〃x)=2sin向右平移专个单位,

故选：C

7.(2021•安徽六安市•高三一模(理))将函数〃x)=2sin［2x+?J的图象向左平移:个单位长度，再

把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则下面叙述正确的

是()

A.g(x)的周期为乃B.8(尤)图象的一条对称轴是％=?

c.g(x)图象的一个对称中心为［彳,0)D,g(x)在上单调递减

【答案】D

【分析】

先由图象变换得出函数y=g(x)的解析式，根据余弦函数的周期、对称轴、对称中心、单调性进行判断.

【详解】

将函数/(x)=2sin(2x+?)的图象向左平移:个单位长度，得到

y=2sin匕+2x+1J=2cos［2x+wJ的图象，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不

变)，得到函数g(x)=2cos(x+?)

对于A项，g(x)的周期为牛=2%,故A错误；

(兀\71TT

对于B项，因为g-=2cos-=0^±2,所以尤=一不是对称轴，故B错误；

324

对于C项，由四+2=2+br,ZeZ解得&=』eZ,贝/兰,。］不是对称中心，故C错误；

442214)

兀57r77rTC兀

对于D项，令X=x+1W,函数y=cosX在［0,句上单调递减，则y=g(x)在—上

IJL乙14UJ

单调递减，故D正确;

故选：D

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于将余弦型函数的性质转化为余弦函数的性质进行处理，将未知的问题利用

己知的知识进行求解.

8.(2021•广西梧州市•高三其他模拟(理))已知函数/(x)=cos2x+sinx,则下列说法错误的是()

JT

A.f(x)的一条对称轴为xB.f(x)在上是单调递减函数

9

C.f(x)的对称中心为D./(x)的最大值为‘

I2/8

【答案】C

【分析】

根据正弦函数与余弦函数的图象与性质逐项检验即可求解.

【详解】

由己知得，对于选项4,/(乃一x)=cos(2万-2x)+sin(万一x)=/(x),正确;

对于选项B,々f=sinx

1\9

1

2+

又2则-)_-

/(x)=-2sinx+sinx+1,y=-2/+/+1=-247_8

_

上是减函数,

JI71

所以/(x)在上是减函数，正确;

对于选项C,,f(x)+.f(乃一x)=cos2x+sinx+cos(2»—2x)+sin(;r—x)=2(cos2x+sinx)，0,错

误;

对于选项。，令/usinx(/G[—1,1]),

、2

所以/(x)=-2sin2x+sinx+1=-2r+f+l=-2(f-；9

+-.

78

19

所以当「=:时，y=-^正确•

4omax

故选：C.

【点睛】

易错点睛：本题考查三角函数图象与性质，涉及三角函数的单调性和值域以及周期性，易错点为忽略

-l<sinx<l,从而导致错解.

9.(2021•广西崇左市•高三二模(理))将函数/(x)=gsin"+?J+23〉0)的图像向右平移？个单

位长度后与原函数图像重合，则实数。的最小值是()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】

rr1\7T\7T27r

由题意可知土是/(xhqsins+丁+23>0)的周期的倍数，即2=屋，上次eZ,从而可求得答

32(6)3co

案

【详解】

解：因为函数/(x)=；sin(0x+?)+2(o>O)的图像向右平移3个单位长度后与原函数图像重合，

所以卫是/(x)=1sin(0x+f]+2(cy>0)的周期的倍数，

32V6；

设三=k祖,keZ,

3CD

所以3=64,Z£Z,

因为刃>0,所以当左=1时，/=6最小，

故选：C

10.(2021•黑龙江大庆市•高三一模(理))已知①>0,函数/(x)=(COSGX^in(1-s)在(*3

上单调递增，则。的取值范围是()

A.[2,6]B.(2,6)C.2,-yD.

【答案】C

【分析】

把函数化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数的增区间得出①的不等关系，可求得其范围.

【详解】

由己知/(x)=；costyx-争in(〃-(yx)

1V3..5万.5^5万、

--coscox----sincox=sincoxcos——+coscoxs\n——=sin(69x+——)，

22666

ITTTT\

又/(©在|万上单调递增，

_.71715%

Z.KTC<一CD~\-------

6

所以,；3(kwZ,解得6人一44口44人一2,

45%，。,乃3

—。+——<2%乃+一

1262

25

山64一404女一一得后(一，又co>W,因此左=1,

33

所以2<。<此.

3

故选：C.

11.(2021•黑龙江大庆市•高三一模(理))已知△A3C的内角A3,C的对边分别为。力,c,且。=2,6=3,

B=~,则sin(A+—^)=()

33

.3V2-V3口3-273「3-V6n3+V6

A.-------B.------C.-----I).-----

6666

【答案】A

【分析】

由正弦定理求得sinA=迫，得到COSA=45,结合两角和的正弦公式，即可求解.

33

【详解】

71

在△ABC中，a=2,b=3,B=—,

3

由正弦定理，一=上，可得sinA=""=Y3,

sinAsinBh3

因为a<〃，所以A<3，所以cosA=J1—sin2A=逅,

又由sin(A+等)=-gsinA+£cosA1百百指3五一G

=———xx------11---xx-——--=---------

2323

故选：A.

12.(2021•河南新乡市•高三三模(理))已知函数/(x)=4sin(2x-e1+l的定义域是［0,问，值域为

［-1,5］,则加的最大值是()

71271715兀

A.-B.—C.-D.—

3366

【答案】B

【分析】

TC717万

利用正弦函数的性质可得一42加一一＜—,从而可得结果.

266

【详解】

:函数/(x)=4sin+］的定义域是［0,〃?］,

又/(x)值域为［-1,5］，

一5」

根据正弦函数性质及sin

66

2乃

**•—〈机〈—,

•••加的最大值是个

故选：B

【点睛】

关键点睛：把2x-9整体看待，转化为正弦函数的性质问题是解题的关键.

13.(2021•河南高三一模(理))为了得到函数g(x)=sin2x的图象，需将函数/3=$1喂-2%)的

图象()

A.向左平移刍个单位长度B,向右平移三TT个单位长度

612

C.向左平移5二兀个单位长度，D.向右平移5名兀个单位长度

1212

【答案】D

【分析】

根据诱导公式将函数/(x)=sin仔-化为/(x)=sin(2(x+1^)),再根据三角函数的图象变换规律

可得答案.

【详解】

因为函数/(x)=sin(e-2x)=sin7t-(71M.仆57、.(^,5乃八

——2xJ—sin(2xH—--sin[2(x+[2)J.

所以将/(x)=sin(2(x+旨)的图象向右平移;彳可得函数g(x)=sin2x的图象.

故选：D

14.(2021•河南新乡市•高三一模(理))已知函数/(x)=cos(2x+0)(—的图象向右平移三个

单位长度后，与函数g(x)=sin2x的图象重合，则/(x)的单调递减区间为()

,71,5乃71.71

A.k兀+—,k兀+(keZ)B.k兀一一，4)+一(keZ)

_3~6_63_

.71.2万71兀

C.K7V-\——，攵乃+(keZ)D.k7T-，匕r+(keZ)

6.7

【答案】C

【分析】

由题意利用三角函数图象的变换规律求出平移之后的解析式，令其等于sin2x,利用诱导公式以及三角函

数的周期性求出夕的值，即可得f(x)的解析式，再利用余弦函数的单调减区间即可求解.

【详解】

函数f(x)=cos(2x+(p)[-nw。4万)的图象向右平移看个单位长度后

可得y=cos2+cos^2x--+^J,

因为所得的图象与g(x)=sin2x的图象重合,

所以cos^2x--+^J=sin2x=cos^2x--J,

jrjr

可得：----\-(p=----卜2k7r(keZ),

62

jr

所以"二一可+2%»(%GZ),

jr

因为一所以E=O,°=_§,

所以/(x)=cos(2x—q],

TT

令2%%<2x~—<2k兀+冗(kGZ),

712乃

解得kjiH—«xWk/rH-----(kGZ)»

63

7T27T

即/(x)的单调递减区间为kn+-,kTt+—(&WZ),

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是平移之后的图象与g(x)=sin2x图象重合，需要将两个解析式化为同名

的，求出/(x)再利用整体代入的方法求单调区间.

15.(2021•江西高三其他模拟(理))在△MC中，内角A、B、C所对的边分别为“.〃、C,若角A、C、

3成等差数列，角C的角平分线交AB于点。，且CD=5a=3b,则c的值为()

A.3B.-C.D.26

23

【答案】C

【分析】

JT

由等差数列得8=§,然后在△BCD和△OC4中分别应用余弦定理，联立后可解得a,。,c.

【详解】

因为CO是N4CB平分线，所以处=+=0=3,BD=»c,AD^-c,

DAACb44

n

角A、C、3成等差数列，所以A+3=2C,而A+8+C=%,所以C=一，

3

在△BCD中.BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD■即

—c~=cr+3—2ax\[3cos-=cr+3-3a，

166

△DC4中中，DA2=CD2+CA2-2CD-C4cosZDCA，即」/=3+/-2屉cos§=3+/-3匕,

166

164=4

由3万+3=J_，2,解得

16

a-3b4近

亍

故选：C.

【点睛】

TT

方法点睛：本题考查余弦定理解三角形，解题方法是由等基数列得出c="，由角平分线得

ZACD=ZBCD=^r，同时由解平分线定理得空=3,然后在两个三角形中应用余弦定理求解.

6AD

16.(2021•江西高三其他模拟(理))已知函数〃x)=sin®x+a)(0>O,[d<]]的部分图象如图所示，则

57r7C

c./(x)在区间—-,一"上是增函数

12o

D.将y=sin2x的图象向右平移？个单位长度可以得到/(x)的图象

【答案】C

【分析】

5"

T>—

69I?

先将0,—y-代入可求出°=三由，可得q<3<,。可求得。=2得出

35万

-T<——

146

/(%)解析式，即可依次判断各个选项正误.

【详解】

将代入，则〃°)=sin9=¥,''I司<]71

(D——

3

即“X)sinCDX+—

I3

57r7t62

则CD------1—=k兀,keZ、解得co——k—,keZ，

6355

e5)2乃5乃

T>———>——

由图可得.6即|。6912

又口〉0,则可得yv0<二，..co=2,

%<红3至〈旦

146Aco6

・tJ(%)=sin[2x+(J,

•.•/f-1=sinf2x-+-1=^^±l,则〃x)的图象不关于直线x=£对称，故A错误;

V6jV63J26

17J=sin[2x?+m]=gH0,〃x)的图象不关于点(jo卜j称，故B错误:

54

•/XGg时，2x+fe-1,0,可得/(x)单调递增，故C正确;

7T632

将y=sin2x的图象向右平移？个单位长度可以得到y=sin2(x-][=sin2x-1]w/(x),故D错

误.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：根据三角函数『(尤)=Asin®x+e)部分图象求解析式的方法：

(1)根据图象的最值可求出A；

(2)求出函数的周期，利用T=—求出

co

(3)取点代入函数可求得。.

17.(2021•江西高三其他模拟(理))若函数y=sin[2(yx+?j的图象向右平移已个单位后与函数

y=cos2<yx的图象重合，则。的值可能为()

11

A.—1B.—2C.--D.--

24

【答案】C

【分析】

写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得力的表达式，比较可得.

【详解】

函数y=sin(2(yx+。)的图象向右平移?个单位后得图象的解析式为

.八/71、71.(八CD—\|,__.,,

y=sin2co{x——-)+—=sin2a)x-----4，它与y=cos2<yx相同，

_63」I3)

则一色一-7T-2k7r+—,a>--6k--,k&Z,只有C满足.

322

故选：C.

18.(2021•陕西汉中市•高三一模(理))设x=6是函数/(x)=3cosx+sinx的一个极值点，则36=(

11

A.-3B.——C.-D.3

33

【答案】C

【分析】

利用导数判断极值点，弦化切求解即可.

【详解】

解：；由已知可得r(e)=-3sine+cos6=0,

八1

tan。=一.

3

故选：C.

TT

19.(2021•宁夏吴忠市•高三一模(理))已知函数/(x)=sin〃x(O<0<4)的图像关于直线》=—对称,

3

7

将函数“X)的图像向右平移!个单位得到函数g(x)的图像，则g(x)在0,仁上的值域为()

2lo

V2」72j_

C.-V，-2D.V51

【答案】A

【分析】

33万

由对称性求得ty,由平移求得g(x)的表达式，再求出'的范围，结合正弦函数性质得值域.

24

【详解】

TT

•：函数/(%)=sin的的图像关于直线x=：对称,

C07V.兀171r\A—r，日3

——=k7i+—,keZ,又0<。<4,可得69二一,

322

八7万3"，33万71

,/XG0,--,-----<—x-----<----

184246

故选：A.

20.(2021•陕西渭南市•高三一模(理))我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由

兀

四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果内部小正方形的内切圆面积为:，

外部大正方形的外接圆半径为述，直角三角形中较大的锐角为a,那么tan：=()

22

【答案】D

【分析】

先求出大正方形与小正方形的边长，利用勾股定理求出直角三角形的直角边，再求a的正弦值与余弦值,

然后根据商的关系与二倍角公式可得答案.

【详解】

兀1

因为小正方形的内切圆面积为一，所以内切圆半径为彳，小正方形的边长为1:

42

C历

因为大正方形的外接圆半径为土，所以大正方形的对角线长为5近，其边长为5,

2

设直角三角形短的直角边为x,则长的直角边为x+1.

由勾股定理得£+(*+1)2=25,解得x=3,

43

所以sina=—,cosa=一,

.a八.aa

sin—2sin—cos—

a222

aa

2cos—cos2“—

22

4

sina51

cosa+1一却"2,

5

故选：D.

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的直角边，从而求出a的正弦值与余弦值，再

根据三角函数恒等变换解答.

二、填空题

21.(2021•江西高三其他模拟(理))已知tan(e-?)=2,则cos］。—?卜n6=.

【答案】逑

10

【分析】

由两角差的正切公式求出tan8=-3,再用三角恒等变换求出

cosf^-—sine=Y^cos8sine+也sin?8.利用弦化切公式化为^^tan'1：anJ，代入

14；2221tan-6+l)

tan8=—3即可求出结果.

【详解】

7Ttan0-\

解：由两角差的正切公式可得tan（6-一）=2,得tan0=-3,

41+tan6

(广

cos0——sin6=—cos0sin(9+—sin?。

I4/22

cossin+sin28、V2(tan6+tan?6、

sin2^+cos20)2tan26^+1)

-3+外372

9+110

故答案为：迪

10

22.（2021•安徽蚌埠市•高三二模（理））在AAHC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若

acosC+2^3sinC-/?-c=0，且。=2,则zkASC内切圆半径的最大值为

【答案】立

3

【分析】

由已知可得acosC+&sinC—〃-c=0根据正弦定理化简求得4=?,由余弦定理可得b+c的取值范

围，根据S4A8c=g（a+b+c）R=g8csin4,化简计算可求得结果.

【详解】

•「。©0§。+26$111。一〃一£=0,且。=2,

**•acosC+\[3asinC-ft-c=0,

sinAcosC+>/3sinAsinC-sinB-sinC=0,

/.sinAcosC+百sinAsinC=sin8+sinC=sin(A+C)+sinC\

化简得：V3sinAsinC=cosAsinC+sinC，sinCwO,

sinA-^2

/.73sinA-cosA=bBP~2

/\兀乃5）、7171.71

又Ae(O,/r),；.A—工€，•二A——=—,A=—

O663

由余弦定理=

.-.(/?+C)2-4=3Z?c,又等J,

/、23(》+c『

二伍+c)—4W14~-,:.Q<b+c<4'

又匕+c>a=2,:,2<b+c<4,

ii/7

设△ABC内切圆半径为R,则So8c=5(a+b+c)H=20csinA,(2+〃+c)R=5•反，

即空郃+小虫叵咨”.

22+b+c61763

-，R“max3

故答案为：22..

3

【点睛】

思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角"，二是利用余弦定理实现“角化边“；利

用二角形面积公式“ABC=g(a+0+c)A=:6csinA,即可将问题得解.

23.(2021•广西玉林市•高三其他模拟(理))函数/(》)=5皿(5-0｝。>0)的图象向右平移仁个单位

长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象的一条对称轴是直线x=-g,则。的最小值为

【答案】|

【分析】

由图象平移可得g(x),利用整体对应的方式可得一?0一?=]+&解得。后，结合。>0可得结果.

【详解】

：g(x)=/xq)=sin[dxq)—?，乂x=_?是g(x)的对称轴，

7T7T17CIT7T式./._\5./.、

•••O)----+解得：(0=----3k(keZ),

33322

<y>0，，当左=一1时，a）m-n=；.

故答案为：—

2

【点睛】

方法点睛：本题考查根据三角函数的性质求解解析式的问题，解决此类问题的常用方法是结合五点作图法,

利用整体对应的方式来构造方程.

24.（2021•广西梧州市•高三其他模拟（理））在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

「sinA-sinCb—c,-

且-----------=----,b=3,则AAABC的周长的最大值是___________.

smB+sinCa

【答案】9

【分析】

利用正弦定理把已知等式角化边，然后经过适当变形后可得（a+c）2-9=3ac,利用基本不等式可得

,所以（a+c）2-9w3x（等），解不等式可求得a+c46,最后可得AABC周长的最

大值.

【详解】

对已知等式进行角化边可得：a2+c2-b2=ac，

因为。=3,所以〃+c2—9=ac，即（a+c）2—9=3ac,

因为a>0，c>0,所以ac«（等），

/\2

所以（a+c）2—943x史£,即“+C46,当且仅当a=c=3时，（a+c）““，=6,

\2?

所以（。+匕+。）“心=9,即△ABC的周长的最大值为9.

故答案为：9.

【点睛】

关键点睛：解题关键是由基本不等式得到acW（誓），进而建立起关于a+c的不等式，从而求出a+c

的范围，进而得解.

25.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三二模（理））设“，b,c分别为A4BC内角A,B,。的对

边.已知之二亘=二叵±,则立£31的取值范围为.

cosBcosCac

【答案】卜"0川(0,2)

【分析】

把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cosC,即C角，从而得B

JT

角的范围，注意8H一，由余弦定理可得结论.

2

【详解】

因为2a二6b=史c，所以(2Q-G/?)COSC=\/3c-cosB(cosBcosCwO),

cosBcosC'

fi)cosC=V3sinCeosB,

CP2sinAcosC=\/3sin(C+B)=73sinA,又sinA>0,所以cosC

则C=,因为cosBwO,所以BV}

1-Cl~+C2—ci~+c〜—b~(rr八।i/八

而-----------=2cosB,故-----------GI-A/3,0)U(0,2).

acac')

故答案为：(-V3,O)U(O,2).

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos6不能等于0.

27r

26.(2021•江西上饶市•高三其他模