高考数学一轮复习讲义-函数的单调性课件-人教大纲版

§2.3函数的单调性根底知识自主学习要点梳理1.函数的单调性〔1〕单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

第一页，编辑于星期五：七点五十二分。定义当x1<x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是__________f〔x1〕<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的第二页，编辑于星期五：七点五十二分。(2)单调区间的定义假设函数f(x)在区间D上是________或________，那么称函数f〔x〕在这一区间上具有〔严格的〕单调性，________叫做f〔x〕的单调区间.增函数减函数区间D第三页，编辑于星期五：七点五十二分。2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f〔x〕≤Mf〔x0〕=Mf〔x〕≥Mf〔x0〕=M第四页，编辑于星期五：七点五十二分。根底自测1.以下函数中，在区间〔0，2〕上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出在〔0，2〕上都是减函数.B第五页，编辑于星期五：七点五十二分。2.函数y=f(x)是定义在R上的增函数,那么f(x)=0的根〔〕A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析∵f〔x〕在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,假设x1<x2,那么f(x1)<f(x2),反之亦成立.故假设存在f(x0)=0,那么x0只有一个.假设对任意x∈R都有f(x)≠0,那么f(x)=0无根.C第六页，编辑于星期五：七点五十二分。3.f(x)为R上的减函数，那么满足的实数x的取值范围是〔〕A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.〔-∞,-1)∪(1,+∞)解析由条件：不等式等价于解得-1<x<1,且x≠0.C第七页，编辑于星期五：七点五十二分。4.函数y=(2k+1)x+b在〔-∞，+∞〕上是减函数，那么()A.B.C.D.解析使y=(2k+1)x+b在〔-∞，+∞〕上是减函数，那么2k+1<0，即D第八页，编辑于星期五：七点五十二分。5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为______.解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f〔x〕为增函数.①③第九页，编辑于星期五：七点五十二分。题型分类深度剖析题型一函数单调性的判断判断以下函数的单调性，并证明.先判断单调性，再用单调性的定义证明.〔1〕采用通分进行变形，〔2〕采用因式分解进行变形，〔3〕采用分子有理化的方式进行变形.思维启迪第十页，编辑于星期五：七点五十二分。解〔1〕函数下面采用定义证明:任取x1、x2∈〔-1，+∞〕，且-1<x1<x2，那么有x1-x2<0，∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).第十一页，编辑于星期五：七点五十二分。故在〔-1，+∞〕上为减函数.〔2〕函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞〕上为减函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,那么f(x1)-f(x2)==(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即有f(x1)>f(x2).第十二页，编辑于星期五：七点五十二分。故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞〕上是减函数.〔3〕函数f(x)=在［-1，+∞〕上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈［-1,+∞〕且-1≤x1<x2，那么有x1-x2<0，第十三页，编辑于星期五：七点五十二分。∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).故函数f(x)=在［-1,+∞〕上为增函数.对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义〔根本步骤为取点、作差或作商、变形、判断〕求解.探究提高第十四页，编辑于星期五：七点五十二分。知能迁移1函数证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.〔1〕用函数单调性的定义.〔2〕用导数法.证明任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1<x2,那么x2-x1>0,思维启迪第十五页，编辑于星期五：七点五十二分。又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在〔-1,+∞〕上为增函数.第十六页，编辑于星期五：七点五十二分。题型二复合函数的单调性【例2】函数f(x)=log2(x2-2x-3)，那么使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.〔-3,-1〕先求得函数的定义域，然后再结合二次函数、对数函数的单调性进行考虑.解析由x2-2x-3>0，得x<-1或x>3,结合二次函数的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数，所以在区间〔-∞，-1〕上是减函数，由此可得D项符合.思维启迪D第十七页，编辑于星期五：七点五十二分。〔1〕复合函数是指由假设干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减〞，即f(u)与g(x)有相同的单调性，那么f[g(x)]必为增函数，假设具有不同的单调性，那么f[g(x)]必为减函数.〔2〕讨论复合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成假设干个常见的根本函数并判断其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.探究提高第十八页，编辑于星期五：七点五十二分。知能迁移2函数y=的递减区间为 〔〕A.(1,+∞)B.C.D.解析作出t=2x2-3x+1的示意图如以以下图，∵0<<1,∴递减.要使递减,t应该大于0且递增,故x∈(1,+∞).A第十九页，编辑于星期五：七点五十二分。题型三抽象函数的单调性与最值【例3】函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f〔x〕+f〔y〕=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=〔1〕求证：f〔x〕在R上是减函数；〔2〕求f〔x〕在［-3，3］上的最大值和最小值.问题〔1〕对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f〔x〕为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(2)用函数的单调性即可求最值.思维启迪第二十页，编辑于星期五：七点五十二分。〔1〕证明方法一∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),∴令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2,那么x1-x2>0,f〔x1〕-f〔x2〕=f〔x1〕+f(-x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此f(x)在R上是减函数.第二十一页，编辑于星期五：七点五十二分。方法二设x1>x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0.而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为减函数.(2)解∵f(x)在R上是减函数,∴f(x)在［-3,3］上也是减函数,∴f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为-2.第二十二页，编辑于星期五：七点五十二分。对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如或x1=x2+x1-x2等.探究提高第二十三页，编辑于星期五：七点五十二分。设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足下面两个条件:①对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0,试判断函数y=f(x)在(0,+∞)上的单调性.知能迁移3第二十四页，编辑于星期五：七点五十二分。解设x1>x2>0,那么又∵当x>1时，f(x)<0，而∴即f(x1)-f(x2)<0,∴f〔x1〕<f(x2)，∴函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递减.第二十五页，编辑于星期五：七点五十二分。题型四函数单调性与不等式【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.〔1〕求证：f(x)是R上的增函数；〔2〕假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.问题〔1〕是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义.问题〔2〕将函数不等式中抽象的函数符号“f〞运用单调性“去掉〞，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.思维启迪第二十六页，编辑于星期五：七点五十二分。〔1〕证明设x1,x2∈R，且x1<x2,那么x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f〔x2〕>f(x1).即f(x)是R上的增函数.解题示范［2分］［5分］［6分］第二十七页，编辑于星期五：七点五十二分。〔2〕解∵f〔4〕=f〔2+2〕=f〔2〕+f〔2〕-1=5，∴f〔2〕=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2<2,解得-1<m<,故解集为 f(x)在定义域上〔或某一单调区间上〕具有单调性，那么f(x1)<f(x2)f(x1)-f(x2)<0,假设函数是增函数,那么f(x1)<f(x2)x1<x2,函数不等式〔或方程〕的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式〔或方程〕求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.探究提高［8分］［10分］［12分］第二十八页，编辑于星期五：七点五十二分。知能迁移4定义在区间〔0，+∞〕上的函数f(x)满足=f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.〔1〕求f(1)的值；〔2〕判断f(x〕的单调性；〔3〕假设f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解〔1〕令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.第二十九页，编辑于星期五：七点五十二分。〔2〕任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,那么由于当x>1时，f(x)<0,所以即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.〔3〕由=f(x1)-f(x2)得=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间〔0,+∞〕上是单调递减函数，由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.第三十页，编辑于星期五：七点五十二分。1.根据函数的单调性的定义，证明〔判定〕函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是〔1〕设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；〔2〕作差f〔x1〕-f〔x2〕，然后变形；〔3〕判定f〔x1〕-f〔x2〕的符号；〔4〕根据定义作出结论.方法与技巧思想方法感悟提高第三十一页，编辑于星期五：七点五十二分。2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等根本初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性对于复合函数y=f[g(x)],假设t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,假设t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),那么y=f[g(x)]为增函数;假设t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,那么y=f[g(x)]为减函数.简称为:同增异减.第三十二页，编辑于星期五：七点五十二分。1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.2.两函数f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,那么f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.失误与防范第三十三页，编辑于星期五：七点五十二分。一、选择题1.假设函数y=ax与在(0,+∞)上都是减函数，那么y=ax2+bx在〔0，+∞〕上是〔〕A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析∵y=ax与在(0,+∞)上都是减函数，∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程∴y=ax2+bx在〔0，+∞〕上为减函数.定时检测B第三十四页，编辑于星期五：七点五十二分。2.函数〔a>0且a≠1〕是R上

的减函数，那么a的取值范围是〔〕A.〔0，1〕B.C.D.解析据单调性定义，f〔x〕为减函数应满足：B第三十五页，编辑于星期五：七点五十二分。3.以下四个函数中,在(0,1)上为增函数的是〔〕A.y=sinxB.y=-log2xC.D.解析∵y=sinx在上是增函数，∴y=sinx在〔0，1〕上是增函数.A第三十六页，编辑于星期五：七点五十二分。4.(2021·天津理，8)函数假设f(2-a2)>f(a)，那么实数a的取值范围是〔〕A.〔-∞,-1〕∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)解析由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.C第三十七页，编辑于星期五：七点五十二分。5.假设函数f(x)=x3(x∈R)，那么函数y=f(-x)在其定义域上是〔〕A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数解析f(x)=x3(x∈R)，那么函数y=f(-x)=-x3(x∈R)显然在其定义域内是单调递减的奇函数.B第三十八页，编辑于星期五：七点五十二分。6.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是〔〕A.B.C.D.解析函数f(x)的定义域是(-1,4)，u(x)=-x2+3x+4的减区间为∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为D第三十九页，编辑于星期五：七点五十二分。二、填空题7.y=f(x)是定义在〔-2，2〕上的增函数，假设f(m-1)<f(1-2m)，那么m的取值范围是.解析依题意，原不等式等价于第四十页，编辑于星期五：七点五十二分。8.定义域为D的函数f(x)，对任意x∈D，存在正数K，都有|f(x)|≤K成立，那么称函数f(x)是D上的“有界函数〞.以下函数:①f(x)=2sinx;②f(x)=③f(x)=1-2x;④其中是“有界函数〞的是_______.〔写出所有满足要求的函数的序号〕第四十一页，编辑于星期五：七点五十二分。解析①中|f〔x〕|=|2sinx|≤2,②中|f〔x〕|≤1;④中当x=0时，f(x)=0，总之，|f(x)|≤③中f(x)<1,∴|f〔x〕|→+∞,故填①②④.答案①②④第四十二页，编辑于星期五：七点五十二分。9.函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，当x1,x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有给出以下命题：①f〔3〕=0；②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；③函数y=f(x)在［-9，-6］上为增函数；④函数y=f(x)在［-9，9］上有四个零点.其中所有正确命题的序号为___________〔把所有正确命题的序号都填上〕····第四十三页，编辑于星