福建省福清市海口镇高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4

福建省福清市海口镇高中数学第三章三角恒等变换3.1两角差的余弦公式教案新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容源自福建省福清市海口镇高中数学新人教A版必修4第三章《三角恒等变换》的3.1节《两角差的余弦公式》。该章节主要介绍两角差的余弦公式的概念、推导过程及其应用。学生需要掌握以下几个方面的内容：

1.两角差的余弦公式的定义与表达式；

2.两角差的余弦公式的推导过程；

3.两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数求值、证明等题目。

在本节课中，教师需要通过讲解、示范、练习等方式，帮助学生理解并掌握两角差的余弦公式，提高他们在实际问题中的应用能力。同时，教师还需关注学生的学习情况，针对不同学生的掌握程度进行有针对性的辅导，确保教学效果的达成。二、核心素养目标本节课的核心素养目标为：

1.逻辑推理：通过推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理能力，使他们能够理解并运用公式解决实际问题。

2.数学建模：培养学生运用两角差的余弦公式解决三角函数求值、证明等问题的能力，提高他们的数学建模素养。

3.直观想象：通过图形演示和实际例子，帮助学生建立直观的数学想象，加深对两角差的余弦公式的理解。

4.数学运算：训练学生运用两角差的余弦公式进行数学运算，提高他们的数学运算能力。

5.数据分析：培养学生分析三角函数问题，运用两角差的余弦公式进行数据处理和分析的能力。三、教学难点与重点1.教学重点：

（1）两角差的余弦公式的定义与表达式：本节课的核心内容是两角差的余弦公式，学生需要掌握公式的定义和表达式。公式如下：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（2）两角差的余弦公式的推导过程：学生需要理解并掌握两角差的余弦公式的推导过程，推导过程如下：

以直角三角形ABC为例，设∠A=α，∠B=β，则∠C=α-β。根据余弦定理，有：

cosC=cos(α-β)=(AB²+BC²-AC²)/(2AB·BC)

同时，根据正弦定理，有：

sinC=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

将cosC和sinC的表达式相加，得到：

cos(α-β)+sin(α-β)=(AB²+BC²-AC²)/(2AB·BC)+(AB·sinβ-BC·cosβ)/(AB·BC)

化简上式，得到两角差的余弦公式：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（3）两角差的余弦公式的应用：学生需要能够运用两角差的余弦公式解决三角函数求值、证明等题目。

2.教学难点：

（1）两角差的余弦公式的推导过程：学生可能对推导过程中使用的直角三角形和三角函数的概念理解不深刻，导致难以理解推导过程。

（2）两角差的余弦公式的应用：学生可能对如何运用两角差的余弦公式解决实际问题感到困惑，特别是在解决复杂题目时，难以找到解题切入点。

（3）理解并掌握两角差的余弦公式中的符号“α-β”：学生可能对两个角差的概念理解不清晰，导致在书写和理解公式时出现错误。

针对以上难点，教师在教学过程中应采取以下措施：

1.通过图形演示和实际例子，帮助学生建立直观的数学想象，加深对两角差的余弦公式的理解。

2.分步骤讲解两角差的余弦公式的推导过程，引导学生跟随步骤，理解每一步的逻辑推理。

3.提供丰富的练习题目，引导学生运用两角差的余弦公式解决实际问题，巩固所学知识。

4.强调两角差的余弦公式中的符号“α-β”，让学生明确表示两个角差时应使用该符号。

5.在教学过程中关注学生的学习情况，针对不同学生的掌握程度进行有针对性的辅导。四、教学方法与手段教学方法：

1.引导探究法：教师通过提出问题，引导学生主动探究两角差的余弦公式的推导过程，激发学生的思考和探索能力。

2.案例教学法：教师通过提供具体的例题，让学生运用两角差的余弦公式解决问题，培养学生的实际应用能力。

3.小组合作法：教师组织学生进行小组讨论和合作，促进学生之间的交流和合作，提高他们的团队协作能力。

教学手段：

1.多媒体演示：教师利用多媒体设备，通过动画演示和图形展示，直观地呈现两角差的余弦公式的推导过程，增强学生的直观想象力。

2.教学软件辅助：教师运用教学软件，设计互动性和趣味性的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。

3.在线学习平台：教师利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和学习任务，方便学生进行自主学习和巩固知识。

4.练习与评价系统：教师使用练习与评价系统，发布练习题目，及时了解学生的学习情况，给予针对性的反馈和指导。五、教学流程1.导入新课（用时：5分钟）

教师通过提出一个问题：“如何求解cos(30°-45°)的值？”引导学生思考和回忆起之前学过的知识，激发学生对两角差的余弦公式的兴趣。然后，教师简要介绍本节课的教学目标和内容，引导学生进入新课的学习。

2.新课讲授（用时：20分钟）

（1）教师首先讲解两角差的余弦公式的定义与表达式，明确公式中各个符号的含义和用法。举例说明公式在不同角度情况下的应用，如cos(α-β)、cos(α+β)等。

（2）接着，教师通过图形演示和实际例子，引导学生理解和掌握两角差的余弦公式的推导过程。以直角三角形ABC为例，设∠A=α，∠B=β，则∠C=α-β。根据余弦定理和正弦定理，推导出两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

（3）最后，教师讲解两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数求值、证明等题目。举例说明如何运用公式解决实际问题，如求解cos(30°-45°)的值。

3.实践活动（用时：10分钟）

（1）教师布置一道练习题目，要求学生运用两角差的余弦公式求解。例如：求解cos(60°-30°)的值。

（2）学生独立完成练习题目，教师巡回指导，及时解答学生的问题并提供帮助。

（3）教师选取几位学生的解答进行点评和讲解，指出其中的错误和不足之处，并给予正确的解答和解释。

4.学生小组讨论（用时：10分钟）

（1）教师提出一个问题，要求学生小组讨论并回答：“两角差的余弦公式在实际问题中的应用有哪些？”

（2）学生分组讨论，分享各自的想法和例子，进行交流和合作。

（3）各小组派代表进行回答，教师对各组的回答进行点评和讲解，指出其中的优点和不足之处，并进行总结和归纳。

5.总结回顾（用时：5分钟）

教师对本节课的学习内容进行总结回顾，强调两角差的余弦公式的定义、推导过程和应用。提醒学生注意公式中各个符号的含义和用法，以及如何在实际问题中运用公式。鼓励学生在课后进行自主学习，巩固所学知识。

总用时：40分钟六、学生学习效果1.知识掌握：学生能够理解并掌握两角差的余弦公式的定义与表达式，知道如何运用该公式解决三角函数求值、证明等实际问题。

2.能力提升：学生通过实践活动和小组讨论，运用两角差的余弦公式解决实际问题，提高了他们的数学运算能力和问题解决能力。

3.思维发展：学生通过推导两角差的余弦公式，培养了逻辑推理和数学建模的思维能力，能够运用数学知识分析和解决实际问题。

4.自主学习：学生在课后能够自主学习，通过在线学习平台和练习与评价系统，进一步巩固所学知识，提高自主学习的能力。

5.合作交流：学生在小组讨论中能够积极发表自己的想法和例子，与同伴进行交流和合作，提高了团队协作和沟通交流的能力。

6.学习兴趣：通过导入新课、实践活动和总结回顾等环节，激发学生的学习兴趣，使他们更加主动地参与数学学习。七、作业布置与反馈1.作业布置：

(1)请学生运用两角差的余弦公式解决以下三角函数求值问题：

-cos(30°-45°)

-sin(60°-30°)

-cos(π/3-π/6)

(2)请学生运用两角差的余弦公式证明以下三角等式：

-cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

-sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

(3)请学生选择一个实际问题，运用两角差的余弦公式进行解决，并将解题过程和答案写下来。

2.作业反馈：

(1)教师应及时批改学生的作业，并对每个学生的作业给出具体的反馈。

(2)在批改作业时，教师应关注学生的掌握情况，指出学生在解答过程中存在的问题，如公式使用错误、计算错误等。

(3)对于学生作业中的正确解答，教师应给予肯定和鼓励，以增强学生的学习信心。

(4)对于学生作业中的错误解答，教师应指出错误所在，并给出正确的解答方法和思路。

(5)教师还可以通过作业反馈，了解学生的学习困难和学习需求，为后续的教学提供参考和调整。

(6)教师应鼓励学生通过作业反馈，主动发现和纠正自己的错误，提高自我学习和改进的能力。八、板书设计1.两角差的余弦公式：

①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

②cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

③sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

2.推导过程：

①以直角三角形ABC为例，设∠A=α，∠B=β，则∠C=α-β。

②根据余弦定理，有：cosC=(AB²+BC²-AC²)/(2AB·BC)

③根据正弦定理，有：sinC=sinαcosβ-cosαsinβ

④化简得到两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3.应用示例：

①求解cos(30°-45°)的值。

②证明cos(α-