人教版八年级数学下册知识点《一次函数》

八下数学第十九章《一次函数》【函数的有关概念】(1)常量与变量在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。(2)函数与函数值x与yx的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，@初中生家长那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。点拨对于函数的理解应分以下几个方面：(1)函数首先指在一个变化过程中；(2)只能有两个变量；(3)每一个x对应唯一的一个yy值不必对应唯一的xy=x2中，y是xx对应唯一的yy可以对应不同的x的值。【函数自变量的取值范围】取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。(1)当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数(即全体实数。(2)当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数。(3)当函数的解析式是开平方的无理数时，自变量取值是使被开方的式子为非负的实数。(4)当函数解析式中自变量出现零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数。当函数解析式是上述情况的组合时，自变量的取值范围是其公共部分。【经典例题】中考)A.x≥1且x≠3B.x≥1=自变量x的取值范围是(D.x>1且x≠3)C.x≠3解析：根据题意，得x-1≥0，且x-3≠0，解得x≥1且x≠3答案：A【函数的解析式】像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法这种式子叫做函数的解析式。【函数的图像】(1)函数图像的定义标那么坐标平面内由这些点组成的图形，@初中生家长就是这个函数的图像。(2)描点法画函数图像的一般步骤第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；——标，描出表格中数值对应的各点；——起来。【经典例题】中考用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图像是()面的高度逐渐上升，但杯子上方逐渐变粗，杯子里水面的高度上升得越来越慢，曲线变得越来越平缓.B和D图像中杯子里水面的高度逐渐变小，不符合题意；而A图像中杯子里水面的高度是均匀变化的，@初中生家长也不符合题意。答案：C【函数图像上的点与其解析式之间的关系】(1)函数图像上的任一点的横坐标与纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值；反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图像上。(2)判断点P(x，y)是否在函数图像上的方法：将点P的坐标(x，y)代入函数解析式，若满足函数解析式，则这个点就在函数图像上，否则不在函数图像上。【经典例题】中考在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是()A.y=-x+3C.y=2xB.y=5/xD.y=-2x+x-7解析：由题意易排除。把x=0分别代入选项ACD对应的解析式中，若使解析式的左右两边相等，则该解析式的图像经过原点.只有y=2x符合题意，故选C答案：C【函数的表示方法】方法定义优点不足把自变量x的一系列值和函数y的对只能列出部分自变量与函数的对应值，难以看出自变量与函数之间的对应规律能明显地呈现出自变量与对应值的函数值列表法应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法用含有自变量的代简明扼要，规范准确，数式表示函数的方便于分析推导函数性解析式法有些函数关系，不能用解析式表示法叫做解析式法质用图像表示函数关所画的图像是近似的、局部的，从图像上观察的结果也是近似的现函数的一些性质图像法系的方法叫做图像法【正比例函数的定义】一般地，形如y=kx(k是常数，的函数，叫做正比例函数，@初中生家长其中k叫做比例系数.例如y=-0.1x，都是正比例函数。点拨(1)正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数，②自变量x的次数是1(2)y=kx(k≠0)的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。(3)求正比例函数解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx，将图像上的点的坐标代入解析式，求出k即可。【经典例题】中考如果正比例函数y=kx的图像经过点(1，-2)，那么k的值等于。解析：把x=1，代入y=kx，得-2=，即k=2【正比例函数的图像与性质】正比例函数y=kx(kk≠0)的图像是一条经过原点与点(1k)@简单初中生我们称它为直线y=kx，其图像和性质如下表：y=kxk＞0k＜0图像(1)直线经过第一、第三象限；(1)直线经过第二、第四象限；(2)y随x的增大而增大(2)y随x的增大而减小(3)自变量x的取值范围是全体实数；性质(4)正比例函数中│k│y=kx越靠近yx│k│y=kx越靠近x与x轴正半轴的夹角越小【经典例题】中考yPy是正比例函数y=-1/2x图像上的两点，111222下列判断中，正确的是()A.y＞y2＞y2B.y＜y2当x＜x时，y＜yD.当x＜x时，y1211212解析：∵y=-1/2x，k=-1/2<0y随x的增大而减小，即当x＜x时，y>y故1212选D答案：D【一次函数的定义】y=kx+b(kb是常数k≠0)b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。【一次函数的图像及性质】一次函数y=kx+b(k≠0)的图像也是一条直线，@初中生家长我们称它为直线y=kx+b，其图像与性质如下表：k＞0k＜0y=kx+bb＞0b＜0b＞0b＜0图像图像经过第一、图像经过第一、图像经过第一、图像经过第二、二、三象限；三、四象限；二、四象限；三、四象限；性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小自变量x的取值范围是全体实数；点拨直线y=kx+b(≠0)与y轴交于点(0b)y轴交于点(0b)x轴交于点(-b/k，0)。其中b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，截距不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标。因此，截距可正，可负，也可为0。【经典例题】中考若一次函数y=kx+1(k为常数，k≠0)的图像经过第一、二、三象限，则k的取值范围是。yy随x的增大而增大，所以k>0。答案：k>0【一次函数图像的画法】选取满足函数解析式y=x+b的两点y)y1122数y=kx+b的图像。一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以由直线=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)。一次函数解析式与一次函数图像的关系：【待定系数法】(1)待定系数法的定义的方法，叫做待定系数法。如正比例函数y=kx中的k，一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数。(2)用待定系数法求函数解析式的步骤①设含有待定系数的解析式看是正比例函数，还是一次函数；②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程组，求出待定系数的值；④将求出的待定系数代入所设的解析式，得所求的解析式。【经典例题】中考根据下表中一次函数的自变量x与函数yp的值为()xy3010PA.1C.3D.-3x=1y=kx+b(k≠0)和-2k+b=3k+b=0b=1x=0y=-x+1y=-x+1，得p=1.答案：A【从函数的角度看解方程(组)与不等式】(1)一次函数与一元一次方程因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，@初中生家长求自变量x的值。点拨y=ax+bx轴交点横坐标的值。(2)一次函数与一元一次不等式因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围。点拨从图像上看kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围；kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围。(3)一次函数与二元一次方程(组)由含有未知数x和y个一次函数，于是也对应两条直线。从数”相等，以及这个函数值是多少。从形”@初中生家长相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解。【经典例题】中考y=kx+b(k>0)与x轴的交点为(-20)x的不等式kx+b<0的解集是。y=kx+b过(-20)kx+b<0时，答案：【一次函数的实际应用】题时，一定要注意自变量的取值范围。一次函数的应用题，主要有：(1)利用一次函数的性质，如增减性等来解决生活中的优化问题等。(2)利用一次函数的图像寻求实际问题的变化规律解题.(3)利用两个一次函数的图像来解决方案选择问题，也可以把函数问题转化成不等式或方程问题加以解决.(4)与方程或不等式(组结合解决实际问题。利用函数图像解决实际问题时，@初中生家长大家要仔细分析图像中各点的意义，尤其是图像与图像或坐标轴的交点，要善于从图像中获取有用信息。【经典例题】中考某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x(单位：台)1020553050单位：万元/台)60(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(2)求该机器的生产数量；(3)市场调查发现，这种机器每月销售量z(台与售价a(万元/台之间满足如图所25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润。注：利润=售价成本)解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，10k+b=6020k+b=55k=-1/2b=65根据题意，得，解得∴y与x之间的函数关系式为y=-1/2x+65(10≤x≤70)(2)设该机器的生产数量为x台，根据题意，得x(-1/2x+65)=2000，化简整理，得x-13