专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单+知识导图+ 9个考点清单题型解读）2024-2025学年高一数学上学期期中考试（人教A版2019必修第一册）

第第页清单03等式性质与不等式的性质、基本不等式（9个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】作差法比较大小作差法的依据：①；②；③步骤：(1)作差；(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）【清单02】不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数【清单03】重要不等式一般地，，有，当且仅当时，等号成立.【清单04】基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）【考点题型一】比较两个代数式的大小【解题方法】作差法，作商法【例1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小.【答案】【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法得到，进而即可比较.【详解】由，又a、b为实数，，，则，所以.【变式1-1】（23-24高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小.【答案】【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】通过差比较法证得两者的大小关系.【详解】，，因为，所以，即.【例1-2】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则（填入“＞”或“＜”）．【答案】【知识点】作商法比较代数式的大小【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.【详解】∵，即.又，.故答案为：>.【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江鹤岗）设，比较与的大小【答案】【知识点】作商法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】，，，.【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）【解题方法】基本不等式【例2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（

）A．最小值0 B．最大值2C．最大值 D．不能确定【答案】C【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解.【详解】由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，故有最大值，故C正确，BD错误；令，解得或，又，所以取不到函数值0，故A错误.故选：C.【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值．【答案】【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值【分析】利用基本不等式可求函数的最大值或将原函数变形为二次函数求最值，根据二次函数性质可求出最大值.【详解】法1：因为，故，故，当且仅当x=1时等号成立，故的最大值为4.法2：根据题意知，根据二次函数性质函数图象开口向下，因为，所以当时，取得最大值，即.【例2-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知正实数a，b满足，则的最大值为．【答案】【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据已知结合应用基本不等式得出乘积的最大值.【详解】因为正实数a，b满足，则，当且仅当时，即时，等号成立，故ab的最大值为．故答案为：．【变式2-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且满足，则的最大值为.【答案】【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】利用基本不等式求积的最大值即可【详解】因，由基本不等式得，所以，当且仅当即，时等号成立，故答案为：【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）【解题方法】基本不等式【例3-1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为.【答案】1【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】由均值不等式求解即可.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：1【变式3-1】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得.【详解】，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故选：C【例3-2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得.【详解】由，得，由，得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为3.故选：A【变式3-2】（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为．【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件.【详解】因为且，所以，所以，当且仅当即时取等号，所以最小值为.故答案为：．【考点题型四】基本不等式（凑项（系数））【解题方法】拼凑项，化整体，利用基本不等式【例4-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为，此时等于.【答案】2111【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：；【变式4-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式的成立的条件.【详解】因为，则，可得，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为4.故选：A.【例4-2】（2023·广东·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为．【答案】【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意得，则，当且仅当时取等号，故的最小值为．故答案为：.【变式4-2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为．【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可.【详解】，当且仅当，即，即当时等号成立.故答案为：【考点题型五】基本不等式（常数代换法）【解题方法】将已知条件中的等式与目标式相乘【例5-1】（23-24高一上·河北保定）已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得.【详解】因为为正实数且，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为．【答案】【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论．【详解】正数，满足，，当且仅当即时取等号．故答案为：．【例5-2】（23-24高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值．【详解】由已知，所以，所以，当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值．故答案为：【变式5-2】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是．【答案】【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】因为x>0，，且，可得，所以(当且仅当时，等号成立)；所以的最小值为；故答案为：【考点题型六】基本不等式（消元法）【解题方法】带入消元【例6-1】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值.【详解】因为且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为，故选：A.【变式6-1】（23-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为.【答案】/0.75【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得.【详解】由正数x，实数y满足，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：【例6-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为．【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值.【详解】因为，且，所以，所以，因为，所以,所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【知识点】条件等式求最值【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】由为正实数，且，得，则，当且仅当，即时，取最小值9.故选：C.【考点题型七】基本不等式（二次与二次（或一次）商式）【解题方法】分离常数法【例7-1】（23-24高一·江苏·课后作业）（1）若，且，求的最小值；（2）若，求x2−2x+2【答案】（1）18；（2）-1.【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值【解析】（1）可将已知条件作适当变形，利用“1”的活用，将变形，用基本不等式求最小值（2）将式子变形成，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由，得，，当且仅当时取等号故当，取最小值18.（2）若，则当且仅当时取等号.即若，x2−2x+22x−2的最大值为【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【变式7-1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值；（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可；【详解】（1）∵，∴，当且仅当即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时；（2）令，将代入得：，∵，∴，当且仅当，即，即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【例7-2】（23-24高一上·天津和平·阶段练习）设.（1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；（2）若且，求的最大值及对应的的值.【答案】（1）；（2）最大值为，对应的的值为.【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【解析】（1）先讨论当的情况，当时，结合开口方向及根的判别式，即可求实数的取值范围；（2）将代入先化简，借助基本不等式即可求出最大值及对应的的值.【详解】解：（1）由已知，对于一切实数恒成立，当时，恒成立当时，只需，解得.故的取值范围是；（2）当时，，，当且仅当，即时取等号，故的最大值为，对应的的值为.【点睛】本题考查利用不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查基本不等式在求解最值问题中的应用，难度一般.【变式7-2】（23-24高一下·四川成都）已知.（1）解不等式；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）由得出，将不等式变形为，解此不等式，结合可得出原不等式的解集；（2）将函数的解析式化简为，利用基本不等式可求得函数的最小值.【详解】（1）由可得，由可得，即，解得或，由于，因此，不等式的解集为；（2）由可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时取等号，因此，函数的最小值为.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于中等题.【例7-3】（23-24高三上·江苏常州）求函数的最小值.【答案】最小值为2.【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】函数的定义域为，.，当且仅当，即时取到“”.所以当时，函数的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.【变式7-3】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，则的最大值为;【答案】【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值【分析】当时，，，然后利用基本不等式求最大值即可.【详解】当时，，，当且仅当即时等号成立.故答案为：.【考点题型八】在实际问题中判断使用基本不等式求最值【解题方法】基本不等式【例8-1】（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（

）A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定【答案】B【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用【分析】设两次购买猪肉的价格分别为，，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案.【详解】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，，第一种方案，均价为，第二种方案，均价为，其中，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，故，当且仅当时，等号成立，所以采用第二种方案划算.故选：B【变式8-1】（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为年．【答案】7【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.【详解】依题意，年平均利润为,由于，当且仅当，即时取等号，此时，所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大.故答案为：7.【例8-2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．（其中）(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．【答案】(1)采用方案二；理由见解析(2)24【知识点】作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）；方案二的总费用为（元），由，因为，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花费更少.（2）解：由（1）可知，令，则，所以，当时，即时，等号成立，又因为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，所以两种方案花费的差值最小为24元.【变式8-2】（23-24高二上·湖南永州·阶段练习）某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=）【答案】10年【知识点】基本（均值）不等式的应用【分析】设出未知数，得到关系式，利用基本不等式进行求解.【详解】设使用年时，汽车的年平均费用（万元）最少，依题意有：，当且仅当，即时取得最少值3.4，故汽车使用10年时平均费用最省.【考点题型八】不等式中的新定义题【例9-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1”(1)分别判断和时是否满足“性质1”;(2)先证明:若，且，则;并由此证明当时，对任意，总存在，使得.(3)求出所有满足“性质1”的实数t【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1.(2)证明见详解(3)【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立；（2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证；（3）结合（2）的结论可得解.【详解】（1）记，，假如，则当时，对任意，均有，不满足要求；假如，则当，时，对任意，均有，，若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求.（2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理.当时，，当时，不妨设，则，又，所以.所以若，且，则.下面证当时，对任意，总存在，使得，若，则取，此时，其中，，且，由引理可得，若，则取，此时，其中，，且，故由引理可得，综上，当时，对任意，总存在，使得.（3）当时，当时，可取，使得，理由如下：当时，取，则；当时，取，则，则，故，同理，可取，使得，此时，所以当时，对任意，总存在，使得.结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得.综上，所有满足性质1的实数.【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题.（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立；（3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性.【例9-2】（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．(1)当时，取．求的解集；(2)判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析【知识点】解含有参数的一元二次不等式、函数新定义、函数不等式恒成立问题【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式；（2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式.【详解】（1），时，，可化为，即，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或；当，即时，不等式的解集为或x>1.（2）若，，当时，恒成立，恒成立，则是与的分隔直线函数；若，，当时，恒成立，恒成立，则是与的分隔直线函数；综上所述，与的分隔直线函数解析式为.提升训练一、单选题1．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）对于任意实数a、b，均成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】基本不等式的恒成立问题【分析】由恒成立，利用基本不等式，分别讨论当，，时，实数k的取值范围.【详解】若；若，，因为，所以；若，，因为，所以，所以，即.故选：B．2．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论.【详解】由不等式的解集为，可知1和是方程的两个实数根，且，由韦达定理可得，即可得，所以.当且仅当时，即时等号成立；即可得.故选：D3．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（

）A．12 B． C．16 D．【答案】C【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解.【详解】因为，则，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.4．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求二次函数的值域或最值、一次函数的图像和性质【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解.【详解】，对均有成立，在上单调递增，，依题意有对均有成立，即在时恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围是．故选：B．5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（

）A．45 B．42 C．40 D．38【答案】A【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】由题意得，当且仅当，即时，等号成立．故选：A6．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围.【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意；时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立，则二次函数的图象开口向下且与轴无交点，从而，解得，所以，的取值范围为，故选：B.7．（25-26高一上·上海·课后作业）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用、解不含参数的一元二次不等式【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案.【详解】由，，可得，所以，当且仅当，即时等号成立．所以，解得或，所以实数的取值范围是．故选：C．8．（23-24高一下·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论【详解】当，即时，，恒成立；当时，，解之得，综上可得故选：D二、多选题9．（24-25高二上·河南驻马店·开学考试）若正数a,b满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可得出A正确，将等式整理变形可得，即B正确，由不等式性质计算可得C正确，利用基本不等式可判断D错误.【详解】由题可知：对于A，易知，当且仅当时，即时，等号成立；对于B，由可得，可得，同理可得，所以，所以；当且仅当时，等号成立，即B正确；对于C，由可得，又，所以，即，，可得，即可得，即C正确；对于D，由可得，即；因此，可得，当且仅当时，等号成立，即D错误；故选：ABC10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可．【详解】由，得，对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误；对于B，，当且仅当，即，B错误；对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，由选项A知，，，当且仅当，即时取等号，D正确．故选：CD三、填空题11．（24-25高三上·福建莆田·开学考试）若实数满足，则的最大值为.【答案】/【知识点】基本（均值）不等式的应用