专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题(原卷版+解析)

专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题【模型展示】特点等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1/2AC＝ABcos∠A；③如图3，如果CA＝CB，那么1/2AB＝ACcos∠A．图1 图2图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．结论等腰三角形的性质并能灵活应用【题型演练】一、单选题1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（）A．或 B．1或 C．或 D．或14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当，△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（

）A．8个 B．10个 C．12个 D．14个6．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为135°；③若是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或以上结论正确是（

）A．①③④ B．②④ C．①②③ D．②③④7．如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（）A．或 B． C．或 D．8．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：；若，则；当时，则为中点；当为等腰三角形时，．其中正确的有个．(

)A．个 B．个 C．个 D．个9．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x.下列说法正确的有几个（）（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；（2）＝；（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；（4）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．11．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________12．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当△PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．三、解答题14．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．15．如图，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．(1)=________cm；(2)出发0.5秒后，求的周长；(3)当t为何值时，为等腰三角形？(4)另有一动点Q，从点C出发，沿向终点A运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？16．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）．(1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？(2)当t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．(1)当t＝2时，CD＝；AD＝；(2)当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．(1)求和的值；(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．①若点在线段上，且的面积为10，求的值；②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．19．已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．(1)如图1，如果，求的值；(2)联结AO，如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；(3)当点E在边AC上时，联结，求线段OC的长．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边、（）的长分别是方程的两个根，是上的一动点（不与、重合）．(1)填空：_____，______．(2)若动点满足与相似，求直线的解析式．(3)若动点满足，且点为射线上一个动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．21．如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结，，，点D是的中点．(1)___________；点D的坐标为___________；(2)若点E在线段上，直线DE把矩形面积分成为2：1两部分，求点E坐标；(3)如图2．点P为线段上一动点（含线段端点），连接；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，当成为以为底的等腰三角形时，直接写出Q点的横坐标．22．如图，在直角坐标平面内有点，点分别为线段和射线上的动点，点以2个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，点以5个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，交于点．(1)求证：为定值；(2)若与相似，求的长；(3)若是等腰三角形，求的长．23．如图1，在等腰中，，点E，F分别为的中点，H为线段上一动点（不与点E，F重合），将线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，连接．(1)证明：；(2)如图2，连接交于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有；②若，当EH的长度为多少时，为等腰三角形？专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题【模型展示】特点等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1/2AC＝ABcos∠A；③如图3，如果CA＝CB，那么1/2AB＝ACcos∠A．图1 图2图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．结论等腰三角形的性质并能灵活应用【题型演练】一、单选题1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案．【详解】∵EF是AC的垂直平分线，∴点A与点C关于EF对称．连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，∴．∵，BC＝4，∴．∵MA＝MC，∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键．2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；【详解】解：∵是的中垂线，∴，∴为等腰三角形，故①正确；∵是等边三角形，∴，∵DE⊥AB，FG⊥DE∴，∴，∴△CFG为等边三角形，故②正确；∵，若△FDC为等腰三角形，则：△FDC为等边三角形，∵△CFG为等边三角形，∴△FDC不可能为等腰三角形，故③错误；综上正确的个数有2个；故选C．【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法．3．如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（）A．或 B．1或 C．或 D．或1【答案】B【分析】当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，可得△BPD为等边三角形，可得AP＝BP＝AB，当AP＝AD时，勾股定理求得AD即可求解．【详解】解：当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠B＝60°，∠BAD＝30°，BD＝BC＝1，∵AP＝DP，∴∠ADP＝∠BAD＝30°，∴∠BPD＝30°+30°＝60°，∴△BPD为等边三角形，∴BP＝DP，∴AP＝BP＝AB＝1；当AP＝AD时，∵∠ADB＝90°，AB＝2，∴AD＝，∴AP＝．当AD＝PD时，不合题意，综上，AP的值为1或．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°，故④错误．【详解】解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠BAD=180°-40°-∠ADB，∠CDE=180°-40°-∠ADB，∴∠BAD=∠CDE，故①正确；②∵D为BC中点，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=50°，∵∠C=40°，∴∠DEC=90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠BAD=30°，∴∠CDE=30°，∴∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，∴∠DAC=∠ADC，∴CD=AC，∵AB=AC，∴CD=AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD=CE；故③正确；④∵∠C=40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE=DE，∴∠DAE=∠ADE=40°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=60°，故④错误；综上分析可知，正确的有3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当，△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（

）A．8个 B．10个 C．12个 D．14个【答案】A【分析】分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察圆和垂直平分线与正方形边的交点个数即可．【详解】解：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴，∵EF＝2，∴，∴当时，点E，F在AC上，如图，分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察图象得：△PEF是等腰三角形时，P点最多有8个．故选∶A【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是准确画出图形．6．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为135°；③若是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或以上结论正确是（

）A．①③④ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④正确，即可求解．【详解】解：连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H，如图所示：∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，∴PH＝PC，∠PHD＝135°，∴△DPH≌△FPC（SAS），∴∠PHD＝∠PCF＝135°，∴∠ACB＋∠PCF＝180°，∴点B，点C，点F三点共线，故①正确；∵∠CPD＝∠CAD＋∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，∴∠ADP＝90°，则点P与点C重合，此时∠CPD不存在，故②错误；取AD的中点N，连接PN，如图所示：∵点N是AD的中点，点E是CD中点，∴AN＝DE＝DN＝2，∵∠ADC＝∠PDG＝90°，∴∠ADP＝∠GDE，又∵DP＝DG，∴△DPN≌△DGE（SAS），∴EG＝PN，∵点P是线段AC上一点，∴当NP⊥AC时，NP有最小值为，∴EG有最小值为，故③正确；∵AD＝CD＝4，∴，当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝，则△PCD是等腰三角形，当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形，∴，故④正确；综上分析可知，①③④正确，故A正确．故选：A．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】先根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长．【详解】解：如图所示：，且为等腰三角形，为等腰直角三角形，，轴，，为等腰直角三角形，，设，根据勾股定理，得，，①，代入直线，得，解得，，②，代入直线，得，此方程无解．综上所述：．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．8．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：；若，则；当时，则为中点；当为等腰三角形时，．其中正确的有个．(

)A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据三角形外角的性质即可得到；当时，；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．【详解】，，．，．由三角形内角和定理知：．故正确；，，由知：．．．，故正确；为中点，，，，，，，，故正确；，，，为等腰三角形，或，当时，，，，故不正确．故选：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．9．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x.下列说法正确的有几个（）（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；（2）＝；（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；（4）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】（1）由平行四边形的性质即可求值；（2）由平行线分线段成比例即可求解其比值；（3）点P在AD上运动时，由相似三角形的判定与性质可得EF与QG的比始终是1：3，且BQ＝CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；（4）以线段PQ为腰，则可能是PQ＝PG，也可能是PQ＝QG，所以分情况求解即可．【详解】解：（1）∵PD=x，BQ＝2DP，BC＝13，∴QC=BC－BQ=13－2x，∵AD∥BC，即PD∥QC，∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，∴x=13－2x，∴PD＝x＝，故（1）正确；（2）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BQ＝2DP，∴，∵EF∥BC，∴，∴，故（2）正确；（3）在△BCD中，∵EF∥BC，∴△DEF∽△DBC，∴，∵BC＝13，∴EF＝，又∵PD∥CG，∴，∴CG＝2PD.∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．作DN⊥BC，垂足为点N，过E作EM⊥BC于M，∴EM∥DN，DN=AB=12，∴△BEM∽△BDN，∴，∴EM＝8.∴S四边形EFGQ＝，故（3）正确；（4）作PH⊥BC，垂足为点H，则PH=AB=12，BH=AP=11－x，（i）当PQ＝PG时，QH＝GH＝QG＝，∴2x+＝11﹣x，解得x＝，（ii）当PQ＝GQ时，PQ＝，解得x＝2或x＝，综上，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或，故（4）正确，∴正确的结论有4个．故选：D．【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了平行线分线段成比例的性质、相似三角形的判定与性质、以及梯形的面积的求解、等腰三角形的性质、勾股定理、解方程等知识，能够利用所学知识熟练求解是解答的关键．二、填空题10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．【答案】8【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，的周长最短．故答案为：8【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．11．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________【答案】90°或108°【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可．【详解】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＝x，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，△ADG为等腰三角形时，存在三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA，即x+45°+x+45°+x＝180°，x＝45°，∴∠C＝90°，②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD，x＝45+x，x＝90°，∴∠C＝180°（不符合题意，舍去），③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，2x+45+x＝180，x＝54°，∴∠C＝108°，综上，∠C的度数为90°或108°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．12．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当△PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．【答案】或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．【答案】8【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据△ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解．【详解】解：如图，连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC的面积为12,∴，∴AD＝6，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AM=BM，∴BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，∴AD的长为BM＋MD的最小值，∴△BDM的周长最短为BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题14．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：当时，点与点重合，∴，即；当时，如下图所示：∴．∵，∴，解得：．综上：当为直角三角形时，或；（3）解：当时，如下图所示：∵，∴，即．当时，如下图所示：∴；当时，如下图所示：则，，在中，，即，解得：．综上：当为轴对称图形时，或或．【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．15．如图，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．(1)=________cm；(2)出发0.5秒后，求的周长；(3)当t为何值时，为等腰三角形？(4)另有一动点Q，从点C出发，沿向终点A运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？【答案】(1)4(2)()cm(3)或3或(4)2【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案．（2）根据路程=速度×时间求出、的长，再利用勾股定理求出的长，即可求解．（3）分三种情况进行讨论，①，②，③，根据等腰三角形的性质分别列出方程即可求解．（4）根据题意列出方程，解方程即可求解．（1）∵∠C=90°，=5cm，=3cm，∴(cm)，故答案为：4．（2）∵动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，∴s时，cm．∴cm∴在Rt△ACP中，由勾股定理，得(cm)（3）①当时，如图1，则，∵，∴，∴，∴∴，∴，解得；②当时，如图2，则，解得；③当时，如图3，作于点D，则cm，由勾股定理，得cm，∴cm，∴，解综上所述，当t=或3或时，为等腰三角形；（4）由题意，得，解得，即当时，直线把的周长分成相等的两部分．【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质及判定、三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的判定与性质进行分类讨论是解决本题的关键．16．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）．(1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？(2)当t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1），当时四边形是平行四边形，得，计算即可求出t；（2）分二种情况进行讨论，①当为直角时，可证得四边形为矩形，得，即，计算即求出t；②当为直角时，，得，计算即可求出t；（3）分三种情况进行讨论，①若，在中，，由，将各数据代入，可将t求出；②若，在中，，将各数据代入，可将t求出；③若，由得，将各数据代入，可将t求出．（1）解：如下图，∵，∴当时四边形是平行四边形，由题意可知：，，即，解得：，时，四边形BQDP是平行四边形；（2）解：如下图，作，为锐角，∴只能或者为直角，，，，t的范围为，①当为直角时，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，∴；②当为直角时，，∵，∴，∴∴，∴，综上所述，或时，以B、D、P为顶点的三角形是直角三角形；（3）解：如下图：由上图可知，，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若，在中，，由得，解得；②若，在中，，由得，即，此时，，所以此方程无解，∴，③若，由得得（不符合题意，舍去），综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．(1)当t＝2时，CD＝；AD＝；(2)当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．【答案】(1)(2)或或9秒．【分析】（1）先由勾股定理求解的长，再由速度乘以时间可得从而可得的长度；（2）分三种情况讨论：①当CD=BC时，CD=15，②当CD=BD时，③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，结合等腰三角形的性质可得答案．（1）解：Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，∴∵由题意可得：∴当t=2时，CD=4,DA=21.故答案为：（2）①当CD=BC时，CD=15，∴；②当CD=BD时，如图，∴∠C=∠DBC，∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，∴∠A=∠DBA，∴BD=AD，∴CD=AD=，∴；③当BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；则CF=DF，∴

∴∴CD=2CF=9×2=18，∴t=18÷2=9．综上所述，t=或或9秒时，△CBD是等腰三角形．故答案为：或或9秒．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．(1)求和的值；(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．①若点在线段上，且的面积为10，求的值；②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．（1）解：将点代入，∴，∵直线过点C，∴，解得；（2）解：①∵，∴直线解析式为，∴，直线与x轴交点A为，与y轴交点B，由题意可知P点的坐标为，∴，∴，解得；②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：∵A，，P，∴，当时，，解得或；当时，，解得（舍或（舍；当时，，解得；综上所述：的值为或或4．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．19．已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．(1)如图1，如果，求的值；(2)联结AO，如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；(3)当点E在边AC上时，联结，求线段OC的长．【答案】(1)0.09(2)或(3)【分析】（1）先证明，求出，再证明，利用面积比等于相似比的平方即可得解；（2）分当点E在线段上和当点E在线段的延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和线段的转化，得到，再利用，列比例式求解即可；（3）证明，，得到，设，，根据，求出，再代入到即可得解．（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴．（2）当点E在线段上，∵是以为腰的等腰三角形，∴，∵，设，由（1）得，，∴，∴，解得，；则的长是为；当点E在线段的延长线上时，如图2，∵是等腰三角形，由(1）可知：，综上所述：为或；（3）由（1）得，，∵，∴，∴A、B、O、E四点共圆，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，设，，∵，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），则的长是为．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过已知条件推出三角形相似，利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边、（）的长分别是方程的两个根，是上的一动点（不与、重合）．(1)填空：_____，______．(2)若动点满足与相似，求直线的解析式．(3)若动点满足，且点为射线上一个动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)；(2)(3)，，，【分析】（1）根据边、（）的长分别是方程的两个根，即可得到，；（2）分两种情况：和，由相似三角形的对应边成比例求得点的坐标，由待定系数法求得直线的解析式；（3）在没有指明等腰三角形的哪一边为腰时，需要分类讨论．根据是等腰三角形，分种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别根据等腰直角三角形的性质，求得点的坐标．（1）解：∵，∴，∴，，∵、（）的长分别是方程的两个根，∴，，故答案是：；．（2）解：若，则，即∴；若，可得（与题意不符，舍去）设直线解析式为，则，∴直线的解析式为：．（3）解：如图所示，当是等腰直角三角形时，点的坐标为，，，．理由如下：∵，，∴，又∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，根据是等腰三角形，分种情况讨论①当时，点的坐标为；②当，过作轴的垂线，垂足为，则，是等腰直角三角形，∴点的坐标为；③当时，，∴是等腰直角三角形，，∴，过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，，点的坐标为；④当时，，过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，，点坐标为，综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，，，．故答案是：，，，．【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当△PAD是等腰三角形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．21．如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结，，，点D是的中点．(1)___________；点D的坐标为___________；(2)若点E在线段上，直线DE把矩形面积分成为2：1两部分，求点E坐标；(3)如图2．点P为线段上一动点（