重难点03探究动态几何问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练(江苏专用)(原卷版+解析)

2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）重难点03探究动态几何问题【命题趋势】数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【满分技巧】1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为(1)动点类(点在线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点；(2)动直线类；(3)动图形问题。2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系。3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。A卷（真题过关卷）一、单选题1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A．2 B．2 C．22 D．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°，若EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E，F，设BE=x,OE2=y，则y关于xA． B． C． D．4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，点A的坐标为0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为m,3，则m的值为（

）A．433 B．2213 C．5．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AB<AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∼△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正确结论的序号是（

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④7．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）A．25 B．12 C．358．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中AB>CD，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把RtΔABC沿着AC翻折得到RtΔAEC，若tan∠AED=32，则线段A．63 B．73 C．32二、填空题9．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：10．（2022·江苏扬州·统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC=1211．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．12．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，点E在线段AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，13．（2021·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE=14．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C15．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．16．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，∠MON=30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A

三、解答题17．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙18．（2022·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．19．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：①ΔPDF的面积S=1②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．20．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．21．（2021·江苏连云港·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．22．（2020·江苏徐州·统考中考真题）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC．那么称点B为线段（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为_____cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点EAE>DE，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．23．（2020·江苏淮安·统考中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′【限时检测】B卷（模拟提升卷）一．选择题（共10小题）1．等边△ABC边长为4，D为BC上一动点（不与B、C重合），∠ADP＝60°，DP交AB于P，设BD＝y，BP＝x，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P沿折线CA﹣AB运动，到点B停止，动点Q沿BA﹣AC运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S，则S与t（0≤t≤4.5）对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．3．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣﹣﹣E﹣﹣﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是0.5cm/s，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为ycm2，y与x的对应关系如图②所示矩形ABCD的面积为（）A．18 B．12 C．20 D．164．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点P是AB边上一动点，过点P作PQ⊥AB，交边AC（或BC）于点Q．设AP＝x，△APQ的面积为y，如图②是y与x的函数关系的大致图象，则BC的长为（）A．2 B．4 C． D．5．如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（）A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或66．如图，已知直线l是线段AB的中垂线，l与AB相交于点C，点D是位于直线AB下方的l上的一动点（点D不与C重合），连接AD，BD．过点A作AE∥BD，过点B作BE⊥AE，AE与BE相交于点E．若AB＝6，设AD＝x，AE＝y，则y关于x的函数关系用图象可以大致表示为（）A． B． C． D．7．如图（1），在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图（2）所示，则边BC的长是（）A． B． C． D．68．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A． B． C． D．9．在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图象分析当x＝2022时，y的值为（）A．2 B．4 C．6 D．810．如图①，将长方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB＝2．将直线l沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．已知直线l在起始位置时的表达式为y＝x﹣4．设在平移过程中该直线被长方形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m关于t的函数图象如图②所示，则下列说法中：①点A的坐标为（1，0）；②长方形ABCD的面积是8；③a的值为2，正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题（共6小题）11．如图1，在等边△ABC中，D是BC中点，点P为AB边上一动点，设AP＝x，DP＝y，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么AB＝．12．如图1，E为矩形ABCD的边AD上任意一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，将点P运动的路程记为x，AP的长记为y，若y与x的对应函数关系如图2所示，点M是函数图象的最低点，则a﹣b的值是．13．如图①，点P为矩形ABCD边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A．设点P运动的路径长为x，△ABP的面积S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是．14．如图1，Rt△ABC绕点A逆时针旋转180°，在此过程中B、C的对应点依次为B'、C'，连接B'C，设旋转角为x°（0≤x≤180），y＝B'C2，y与x之间的函数关系图象如图2，当x＝150时，y的值为．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定长线段EF的端点E，F分别是边AC，BC上的动点，O是EF的中点，连接OB．设AE＝x，CF2＝y，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为（b，4）），当x＝a时，∠OBC最大，则a的值为．16．如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2，则BC的长为；当x＝6时，PQ的长为．三．解答题（共10小题）17．如图，抛物线经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．①当t为何值时，点N落在抛物线上；②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．19．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．21．已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．24．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°．如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BD？（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．25．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）重难点03探究动态几何问题【命题趋势】数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【满分技巧】1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为(1)动点类(点在线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点；(2)动直线类；(3)动图形问题。2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系。3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。A卷（真题过关卷）一、单选题1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（

）B．C． D．【答案】D【分析】由题意，先求出PA=t+1，PB=9−t，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．【详解】解：根据题意，∵AB=10，AC=BD=1，且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，则0≤t≤8，∴PA=t+1，∴PB=10−(t+1)=9−t，由PA的长为半径的扇形的弧长为：60π(t+1)∴用PA的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为t+1∴其底面的面积为π由PB的长为半径的扇形的弧长为：60π(9∴用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为9∴其底面的面积为π∴两者的面积和S=∴图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；故选：D．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A．2 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】连接CF、CG、AE，证ΔADE≅ΔCDGSAS可得AE=CG，当A、E、【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，∵∠ADC=∠EDG=90°∴∠ADE=∠CDG在ΔADE和Δ∵AD=CD∴Δ∴AE=CG∴DE+CF+CG=EF+CF+AE当EF+CF+AE=AC时，最小，AC=∴d1＋d2＋d3的最小值为22故选：C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°，若EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E，F，设BE=x,OE2=y，则y关于xA． B． C． D．【答案】C【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设BE=x，则EM=5−x，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∵BC＝4，∴AB＝8，AC＝43∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=1∴OM=1∴AM=A设BE=x,OE2=y∵OE∴y=x−5当0≤x<3时，3<y≤28,当3≤x≤8时，3≤y≤12．且图像是二次函数的一部分故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围．4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，点A的坐标为0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为m,3，则m的值为（

）A．433 B．2213 C．【答案】C【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC=m2+1=BC=AB，可得BD=BC2【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，∴AC=A在Rt△BCD中，BD=B在Rt△AOB中，OB=A∵OB＋BD＝OD＝m，∴m2化简变形得：3m4−22m2−25＝0，解得：m=533∴m=5故选：C．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．5．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ΔABC中，AB<AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∼△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正确结论的序号是（

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴△ADE≌△ABC，∴∠E=∠C，∵∠AFE=∠DFC，∴△AFE∼△DFC，故①正确；∵△ADE≌△ABC，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ADE=∠ABC，∴∠ADB=∠ADE，∴DA平分∠BDE，故②正确；∵△ADE≌△ABC，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵△AFE∼△DFC，∴∠CAE=∠CDF，∴∠CDF=∠BAD，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．6．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a∴AB=22a=2AD设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x=b2−a2b=a2，即GE=a2+∴GEDF∴GE=6DF；故③正确；∴OCOF∴OC=22OF；故④正确；∵∠FCO与∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．7．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）A．25 B．12 C．35【答案】D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴BC＝CD＝12BD＝72，AC⊥∴cosB＝BCAB＝725故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．8．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中AB>CD，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把RtΔABC沿着AC翻折得到RtΔAEC，若tan∠AED=32，则线段A．63 B．73 C．32【答案】B【分析】根据已知，易求得AC=23，延长CD交AE于F，可得AF=CF=2，则EF=1，再过点D作DG⊥EF，设DG=3x，则GE=2x，ED=7x【详解】解：如图∵∠B=90°，BC=3，AB=3∴∠BAC=30°，∴AC=23∵∠DCB=90°，∴CD//AB∴∠DCA=30°，延长CD交AE于F，∴AF=CF=2，则EF=1，过点D作DG⊥EF，设DG=3x，则GE=2x，ED=∴FG=1−2x，∴在Rt△FGD中，3FG=GD解得：x=∴ED=7故选B．【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．二、填空题9．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：【答案】不会【分析】设扭动后对角线的交点为O，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出△ABD为等边三角形，利用勾股定理算出AO=103，从而得到AC【详解】解：设扭动后对角线的交点为O，如下图：∵∠BAD=60°，根据正方形的性质得，得出扭动后的四边形四边相等为菱形，AD=AB=20cm，∴△ABD为等边三角形，∴BD=20cm，∴BO=1∴AO=A根据菱形的对角线的性质：AC=2AO=203∵34.64<36，∴AC不会断裂，故答案为：不会．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．10．（2022·江苏扬州·统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC=12【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得BD=DB′=12BB′和AD⊥BC，由第二次折叠得到AM=DM，【详解】解：∵已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D∴BD=DB′=∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点∴AM=DM，AN=ND，∴MN⊥AD，∴MN∥BC．∵AM=DM，∴MN是△ADC的中位线，∴MP=12D∵BC=12，BD+DC=CB∴MP+MN=1故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．11．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．【答案】10【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．【详解】解：连接PQ，AM，由图形变换可知：PQ＝AM，由勾股定理得：AM＝12∴PQ＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．12．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，点E在线段AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，【答案】2【分析】过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=AB=22，∠EFG=∠BAC=90°，EF=AE=1，再证明△FME∽△GFE，得EM=13，【详解】解：过点F作FM⊥AC于点M，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上，∴FG=AB=22，∠EFG=∠BAC=90°，EF=AE∴EG=12∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，∴△FME∽△GFE，∴EMEF∴EM=13EF=1∴AM=AE+EM=43∴AF=AM故答案是：23【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．13．（2021·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE=【答案】78或【分析】对△AEC′是以AE为腰的等腰三角形分类讨论，当AE=EC′时，设BE=x，可得到EC=4−x，再根据折叠可得到EC=EC′=4−x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当AE=AC′时，过A作AH垂直于EC′于点H，然后根据折叠可得到【详解】解：当AE=EC′时，设∵△ECF沿EF翻折得△EC∴EC=EC在Rt△ABE中由勾股定理可得：AE2=B解得：x=当AE=AC′时，如图所示，过A作AH垂直于∵AH⊥EC′，∴EH=C∵EF⊥AE，∴∠C′∵△ECF沿EF翻折得△EC∴∠C∴∠BEA=∠AEH，在△ABE和△AHE中∠B=∠AHE∠AEB=∠AEH∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE=HE，∴BE=HE=∴BE=∵EC=EC∴BE=1∴BE=1综上所述，BE=7故答案为：7【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．14．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C【答案】9【分析】过点C作CM//C′D′交B′C′于点M，证明ΔABB′∽ΔADD′求得C′D=【详解】解：过点C作CM//C′D′交B∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AB∴AB=AB′，AD=AD′,∴∠BAB′∴ΔAB∴B∵B∴D∴C=CD−D=AB−D=3−=∵∠A∴∠C∵B∴B∵AB=A∴∠AB∵AB′∴A∴∠A∴∠A在ΔABB′和∠BA∴ΔAB∴B∵CM//C∴△CME∽ΔD∴CM∴CE∴CE=故答案为：98【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．15．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．【答案】5【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a＋3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可．【详解】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B'C'＝a，SΔ过点A'作A'H⊥B'C'，则A'H为△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等边三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝A′∴A'H＝32∴SΔA′解得a＝﹣2（舍）或a＝2，当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的边长是5，故答案为5．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B'到达B之前是一个阶段，然后点C'到达C是一个阶段，最后B'到达C又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可．16．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，∠MON=30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A

【答案】2【分析】根据已知条件先求出A1B1【详解】∵A1B1⊥OM∴B∵O∴∠∴∠∵A∴∠∴△B1∴A∴ΔB∴A同理可得ΔB∴A【点睛】本题考查了直角三角形计算，等腰三角形性质等知识点，发现线段之间的规律是解题关键．三、解答题17．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得CDBD=2（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出S△CFB=S△CFR=【详解】（1）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∵AB=5，BD=9，DC=6，∴DE5∴DE=2；（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，∵∠DFA=∠A，∴四边形ABRF是等腰梯形，∴AB=FR，∵△FBC的面积等于12∴S△CFB∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半径，∴直线BC与⊙F相切．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．18．（2022·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．【答案】(1)2(2)6(3)5(4)7【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；（2）分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；（3）取BC的中点O，连接GO，从而求出OG=3，得出点G在以O为圆心，3为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；（4）由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.【详解】（1）解：由题意得，∠BEF=∠BED=90°，∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∠ABC=∴BF=BE（2）①当点E在BC上方时，如图一，过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，∴tan∠ABC=∴BC=AC∵在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，BE=3，tan∠DBE=∴DE=BE⋅tan∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，∴∠CEB=180°−∠DEB=90°．又∵在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3∴CE=B∴CD=CE+DE=32∵在△BCD中，S△BCD∴DH=CD⋅BE②当点E在BC下方时，如图二，在△BCE中，∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33∴CE=B∴CD=CE−DE=32过点D作DM⊥BC，垂足为M．在△BDC中，S△BDC∴DM=6综上，点D到直线BC的距离为6±1（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=1∴点G在以O为圆心，3为半径的圆上．当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，圆弧长为150360∴点G所经过的路径长为53（4）解：由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，如图四，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，BO=1∴OH=BO⋅sin∴GH=OG+OH=3即点G到直线AB的距离的最大值为73【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.19．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：①ΔPDF的面积S=1②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜2【分析】（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明△PEH≌△BPA，结合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得△AHE≌△FGD，进而即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=12EF，HG=2AD=8，EH+FG=AD=4，然后求出当点P与点D重合时，EF最大值=45，当点P与AD的中点重合时，EF最小值=【详解】（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴△PFG≌△CPD（AAS），∴FG=PD，∴ΔPDF的面积S=1②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH+∠BPA=90°，∴∠PEH=∠BPA，又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴△PEH≌△BPA（AAS），∴EH=PA，由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：△PFG≌△CPD，∴PG=CD，∴PD+GD=CD=EH+FG，∴FG+GD=EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，又∵∠AHE=∠FGD，∴△AHE≌△FGD，∴EA=FD；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，由（1）得：△AHE≌△FGD，∴∠HAE=∠GFD，∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∵点N是EF的中点，∴MN=12EF∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值=42当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值=HG=8，∴MN的取值范围是：4≤MN＜25【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．20．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．【答案】（1）2；（2）MN⊥BE;MN=12【分析】（1）由旋转的性质联想到连接AF、AC，证明ΔCAF∽ΔBAG即可求解；（2）由M、N分别是CF、BE的中点，联想到中位线，故想到连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH，则可证ΔBMC≌ΔHMF即可得到HF=BC=BA，再由四边形BEFC内角和为360°可得∠BAC=∠HFE，则可证明ΔBAE≌ΔHFE，即ΔBHE是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可求解；（3）Q、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又Q、N两点分别是BF、BE中点，所以想到取AB的中点O，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答．【详解】解：（1）连接AF、AC∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴AB=BC,AG=FG,∠BAD=∠GAE=∠CBA=∠AGF=90°∵AF、AC分别平分∠EAG,∠BAD∴∠BAC=∠GAF=45°∴∠BAC+∠CAG=∠GAF+∠CAG即∠BAG=∠CAF且ΔABC,ΔAGF都是等腰直角三角形∴∴ΔCAF∽ΔBAG∴（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH∵M是CF的中点∴CM=MF又∠CMB=∠FMH∴ΔCMB≌ΔFMH∴BC=HF,∠BCM=∠HFM在四边形BEFC中∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°又∠CBA=∠AEF=90°∴∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°−90°−90°=180°即∠HFM+∠EFC+∠ABE+∠AEB=180°即∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°∴∠HFE=∠BAE又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴BC=AB=FH,EA=EF∴ΔBAE≌ΔHFE∴BE=HE.∠BEA=∠HEF∵∠HEF+∠HEA=∠AEF=90°∴∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH∴三角形BEH是等腰直角三角形∵M、N分别是BH、BE的中点∴MN//HE,MN=∴∠MNB=∠HEB=90°,MN=∴MN⊥BE,MN=（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF在ΔABF中，O、Q分别是AB、BF的中点∴OQ=同理可得ON=∵AF=∴OQ=3所以QN扫过的面积是以O为圆心，32和3∴S=(3【点睛】本题考查旋转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动点问题，属于几何综合题，难度较大．解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线．21．（2021·江苏连云港·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3）323；（4）3【分析】（1）由ΔABC、ΔBEF是等边三角形，BA=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，可证ΔABE≌ΔCBF即可；（2）连接CF，ΔABC、ΔBEF是等边三角形，可证ΔABE≌ΔCBF，可得∠BCF=∠ABC，又点E在C处时，CF=AC，点E在A处时，点F与C重合．可得点F运动的路径的长=AC=3；（3）取BC中点H，连接HN，由ΔABC、ΔBMN是等边三角形，可证ΔDBM≌ΔHBN，可得NH⊥BC．又点M在C处时，HN=CD=332，点M在D处时，点N与H重合．可求点N（4）连接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的BC上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理CO2+BO2=BC2即，可求x=322，点G【详解】解:（1）∵ΔABC、ΔBEF是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE=1；（2）连接CF，∵ΔABC、ΔBEF是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴ΔABE≌ΔCBF，∴CF=AE，∠BCF=∠BAE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BCF=∠ABC，∴CF//AB，又点E在C处时，CF=AC，点E在A处时，点F与C重合．∴点F运动的路径的长=AC=3；（3）取BC中点H，连接HN，∴BH=1∴BH=1∵CD⊥AB，∴BD=1∴BH=BD，∵ΔABC、ΔBMN是等边三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴ΔDBM≌ΔHBN，∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又点M在C处时，HN=CD=332，点M在D处时，点N∴点N所经过的路径的长=CD=3（4）连接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的BC上运动，∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，由勾股定理CO2+B∴x=3点G所经过的路径长为BC长=14点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧BN上运动，点H所经过的路径长为BN的长度，∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动圆周的四分一，点H所经过的路径长为BN的长=14故答案为34π；【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．22．（2020·江苏徐州·统考中考真题）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC．那么称点B为线段（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为_____cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点EAE>DE，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【答案】（1）105−10；（2）见解析；（3）当PB=BC时，E、F恰好分别是AD、【分析】（1）由黄金比值直接计算即可；（2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论；（3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．【详解】（1）AB=5−12×20=（故答案为：105（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠D=90º，由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10，在Rt△CDE中，CE=ED∴EH=105在Rt△GHE中，G在Rt△GAE中，GE∴x2解得：x=105即BGAB∴G是AB的黄金分割点；（3）当PB=BC时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．理由：∵CF⊥BE，∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º，∴∠ABE=∠BCF，∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC，∴△BAE≌△CBF（ASA），∴AE=BF，设AE=BF=x，则AF=a-x，∵AD∥BC即AE∥PB，∴AEBP=AF∴x2解得：x=5a−a2即BF=AE=5a−a∴AEAD∴E、F分别是AD、AB的黄金分割点．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．23．（2020·江苏淮安·统考中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′【答案】（1）AM=BM；（2）169；（3）①152；②【分析】（1）先根据折叠的性质可得CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°，再根据平行线的判定可得AC//（2）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠A，再根据折叠的性质可得∠B=∠MCN，从而可得∠MCN=∠A，然后根据相似三角形的判定与性质可得BMBC（3）①先根据折叠的性质可得∠BCM=∠ACM=12∠ACB，从而可得∠BCM=∠ACM=∠A，再根据等腰三角形的定义可得AM=CM②先根据折叠的性质、线段的和差求出AB′，OB′的长，设B′【详解】（1）AM=BM，理由如下：由折叠的性质得：CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠BNM=90°∴AC∴MN是△ABC的中位线∴点M是AB的中点则AM=BM故答案为：AM=BM；（2）∵AC=BC=6∴∠B=∠A由折叠的性质得：∠B=∠MCN∴∠MCN=∠A，即∠MCB=∠A在△BCM和△BAC中，∠MCB=∠A∴△BCM∼△BAC∴BMBC解得BM=∴AM=AB−BM=10−∴AM（3）①由折叠的性质得：∠BCM=∠ACM=∵∠ACB=2∠A，即∠A=∴∠BCM=∠ACM=∠A∴AM=CM在△BCM和△BAC中，∠BCM=∠A∴△BCM∼△BAC∴BMBC解得BM=4∴AM=AB−BM=9−4=5∴CM=AM=5∴解得AC=15②如图，由折叠的性质可知，B′C=BC=6，A∴A∵点O是边AC的中点∴OA=∴O设B′P=x∵点P为线段OB∴0≤B′P≤OB′，其中当点P与点∴0≤x≤∵∠∴∠A′在△A′FP和∴△∴∵0≤x≤∴则310【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．【限时检测】B卷（模拟提升卷）一．选择题（共10小题）1．等边△ABC边长为4，D为BC上一动点（不与B、C重合），∠ADP＝60°，DP交AB于P，设BD＝y，BP＝x，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD＝60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BPD+∠APD＝∠C+∠CAP，∠APD＝60°，∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC＝BD：PC，∵正△ABC的边长为4，BP＝x，BD＝y，∴x：4＝y：（4﹣x），∴y＝﹣x2+x（0＜x＜4）．故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P沿折线CA﹣AB运动，到点B停止，动点Q沿BA﹣AC运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S，则S与t（0≤t≤4.5）对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分三种情况：当0≤t＜2时；当2≤t≤3.6时；当3.6＜t≤4.5时．根据相似三角形的性质和三角形的面积公式分别求得S与t的函数关系式，再由函数表达式确定函数图象便可．【解答】解：AB＝，当0≤t＜2时，如图，AP＝4﹣2t，AQ＝5﹣2.5t，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△A