第01讲相交线与平行线高频考点及2021中考真题链接(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

第01讲相交线与平行线高频考点及2021中考真题链接（原卷版）第一部分知识网络第二部分高频考点+针对训练高频考点1相交线典例1如图5-1，直线AB、CD相交于点O，若∠1︰∠2＝1︰4，则∠1＝______，∠3＝______．图5-1典例2如图，已知AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，则∠AOD＝_______度．CC28°EBDAO典例3如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE=4∶1，求∠EOF的度数．针对训练11.如图(1)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，则∠2＝____.2.如图(2)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，则∠COE＝_____.3.如图，AB⊥CD于点O，直线EF过O点，∠AOE＝65°，求∠DOF的度数.高频考点2点到直线的距离典例4如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直线(线段)的距离的线段有()

A．2条B.3条C.4条D.5条针对训练24.如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，CD＝4.8cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则点C到AB的距离是_____cm；点A到BC的距离是_____cm；点B到AC的距离是_____cm.高频考点3平行线的判定典例5如图，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证DC∥AB．331FEDCBA2典例6如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，AB和CD是否平行？为什么？针对训练35.如图，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求证：EF∥BC.高频考点4平行线的性质典例7如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．典例8如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．针对训练46．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝46°，那么∠2的度数是（）A．46° B．76° C．94° D．104°7．（2021秋•中原区校级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠2＝37°，则∠1＝（）A．52° B．53° C．54° D．63°8．（2021秋•太仓市期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．58° D．60°高频考点5平行线的性质和判定综合运用典例9如图所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数.针对训练59.如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求证：∠E＝∠3.高频考点6平移典例10如图，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.AABCA′针对训练610.如图所示，△DEF经过平移得到△ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是()

A.∠F，ACB.∠BOD，BA

C.∠F，BAD.∠BOD，AC11.如图所示，把∠AOB沿着MN的方向平移一定距离后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，∠DPN＝45°，则∠AOB＝____.12.如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是()高频考点7命题典例11命题“绝对值相等的两个数互为相反数”.

(1)将这命题改写成“如果…那么…的形式；

(2)写出这命题的题设和结论；

(3)判断该命题的真假.针对训练713.A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩.A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没有说错，但只有三个人得优，请问：得优的三个人是_________.第三部分能力提升训练1.如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.

(1)求∠EOB的度数；

(2)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由.2.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.(1)求证：∠B＝∠D；

(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；

(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数.第四部分2021中考真题链接1．(3分)(2021年杭州中考数学试卷；)(2021·杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ2．(3分)(2021年乐山中考数学试卷；)（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°3．(3分)(2021年杭州中考数学试卷；)(2021·杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ5．(3分)(2020年湖南省岳阳市市中考数学试卷；)（2020·湖南省岳阳市）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．(3分)(2021年湖北省荆州市中考数学试卷；)（2021荆州）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．① B．② C．③ D．④6．(3分)(2021年聊城中考数学试卷；)(2021·聊城)如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（）A．95° B．105° C．110° D．115°7．(4分)(2021年山东省泰安市中考数学试卷；)（2021•泰安）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）8．(4分)(2021年浙江台州中考数学试卷；)(2021·台州)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A.40° B.43° C.45° D.47°9．(3分)(2021年临沂市中考数学试卷；)(2021·临沂)如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°10．(3分)(2021年济宁中考数学试卷；)(2021·济宁)如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是（）A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′11．(3分)(2021年河南省中考数学试卷；)(2021·河南)如图，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120° 12．(3分)(2021年湖北省十堰市中考数学试卷；)（2021·十堰）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（）A．87° B．23° C．67° D．90°13．(3分)(2021年湖南省长沙市中考数学试卷；)（2021•长沙）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为 （）A．100° B．80° C．50° D．40°14．(3分)(2021年江苏省宿迁市中考数学试卷；)(2021·宿迁)如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°第第5题图15．(3分)(2021年四川省达州市中考数学试卷；)（2021·达州）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．80°16．(3分)(2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷；)(2021·乌兰察布市)如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°17．(5分)(2021年新疆生产建设兵团中考数学试卷；)（2021•新疆）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为 （）A．50° B．60° C．70° D．80°18．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考数学试卷；)（2021宜昌）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°19．(3分)(2021年东营中考数学试卷；)(2021·东营)如图，，于点F，若，则（）A. B. C. D.20．(3分)(2021年荆门市中考数学试卷；)(2021·荆门)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝()A．55°B．65°C．75°D．85°DDACB1221．(3分)(2021年浙江省金华市中考数学试卷；)（2021•金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补22．(3分)(2021年枣庄中考数学试卷；)(2021·枣庄)将把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（）A. B. C. D.23．(3分)(2021年包头中考数学试卷；)(2021·包头)如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°24．(4分)(2021年宜宾中考数学试卷；)(2021·宜宾)一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°25．(3分)(2021年湖北省襄阳市中考数学试卷；)（2021·湖北襄阳）如图，a∥b，AC⊥b，垂足为C，∠A＝40°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°第第3题图26．(3分)(2021年湖北中考数学试卷；)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°27．(3分)(2021年山东省菏泽市中考数学试卷；)（2021•菏泽）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°28．(3分)(2021年四川省泸州市中考数学试卷；)（2021•泸州）在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）二、填空题29．(2分)(2021年常州中考数学试卷；)(2021·常州)如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝°30．(2分)(2021年常州中考数学试卷；)(2021·常州)如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝°31．(3分)(2021年湖南省张家界市中考数学试卷；)（2021·湖南张家界）如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2＝64°，则∠3＝．32．(3分)(2021年长春中考数学试卷；)(2021·长春)将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为度．33．(3分)(2021年湖北省恩施州中考数学试卷；)(2021·恩施)如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝．34．(3分)(2021年广西柳州市中考数学试卷；)（2021·广西柳州）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是__________°．三、解答题35．(8分)(2021年武汉中考数学试卷；)(2021·武汉)如图，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．第01讲相交线与平行线高频考点及2021中考真题链接（解析版）第一部分知识网络第二部分高频考点+针对训练高频考点1相交线考点解读：两条直线相交形成了四个角，这四个角两两配对可以配成六对．从位置上来看：这六对角，其中有两对角的两边互为反向延长线，这样的两对角称为对顶角．还有四对角，每对角都有一条公共边，另一条边互为反向延长线，这四对角成为邻补角；从大小上来看：对顶角互补，邻补角互补．垂直是相交的一种特殊性质，当两直线相交，夹角等于90°时，这两条直线就互相垂直了，垂直的定义建立起角度大小与两直线平行之间的关系：∠AOC＝90°AB⊥CD．典例1如图5-1，直线AB、CD相交于点O，若∠1︰∠2＝1︰4，则∠1＝______，∠3＝______．图5-1思路引领：∠1与∠2是邻补角，所以∠1＋∠2＝180°.又因为∠1︰∠2＝1︰4，所以∠1＝36°，∠2＝144°.又因为∠3与∠2是对顶角，所以∠3＝∠2＝144°.答案：36°，144°．点睛：两直线相交得到了4个角，这四个角每两个之间的位置关系无非是对顶角和邻补角两种类型，大小关系无非是相等和互补两种类型．典例2如图，已知AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，则∠AOD＝_______度．CC28°EBDAO思路引领：由于OE⊥AB，所以∠EOB＝90°，又由于∠EOC＝28°，故∠AOD＝∠BOC＝62°．答案：62°．点睛：解这一类题，关键是把握基本图形的特征，熟悉有关的角的概念，从概念出发去寻求解题的途径.对有关角度的计算，主要依据角平分线的定义、垂直的定义、对顶角的性质，互余互补的性质等，要认真分析已知条件并结合图形进行计算．典例3如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE=4∶1，求∠EOF的度数．思路引领：由于∠AOD∶∠BOE＝4∶1，可设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°，由于OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠BOE＝2x°，所以∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝6x°，由∠AOB＝180°，可得方程求出x的值，本题要求的是∠EOF的度数，可先求∠COE的度数．解：设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°．∵OE平分∠BOD∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°，∵∠BOD＋∠AOD＝180°，∴4x＋2x＝180，解得x＝30°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∵∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠COE＝150°∵OF平分∠COE∴∠EOF＝∠COE＝75°点睛：两个角的度数之比，我们常常考虑利用参与设出这两个角度，然后列方程求出参数的值．针对训练11.如图(1)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，则∠2＝____.答案：50°2.如图(2)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，则∠COE＝_____.答案：125°3.如图，AB⊥CD于点O，直线EF过O点，∠AOE＝65°，求∠DOF的度数.解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°

∵∠AOE=65°，∴∠COE=25°

∵∠COE=∠DOF(对顶角相等)

∴∠DOF=25°点睛：要求一个角的度数，常考虑将这个角的度数转化成其它几个容易求度数的角的和、差、倍、分的形式．高频考点2点到直线的距离考点解读：点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间线段的长。点到直线的距离容易和两点之间的距离相混淆.当图形复杂不容易分析出是哪条线段时，准确掌握概念，抓住垂直这个关键点，认真分析图形是关键.典例4如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直线(线段)的距离的线段有()

A．2条B.3条C.4条D.5条思路引领：根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间线段的长，可得答案．解：AD是A到BC的距离，BD是B到AD的距离，DC是C到AD的距离，

故选：C．点睛：本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是垂线段的长度．针对训练24.如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，CD＝4.8cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则点C到AB的距离是_____cm；点A到BC的距离是_____cm；点B到AC的距离是_____cm.答案：4.8；6；8高频考点3平行线的判定考点解读：判断两直线平行目前有6种方法，方法1是利用平行的定义，但利用平行的定义只能定性的判断，不能定量的判断；方法2是利用“平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是讨论三条直线互相平行时用到的；方法3是利用同位角相等来证明两直线平行；方法4是利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”来证明的，使用时必然出现两个垂直；方法5是利用内错角相等来证明两直线平行的；方法6是利用同旁内角互补来证明两直线平行的．方法1、2、4的使用都有其局限性，因此证明两直线平行常用的方法是寻找角度之间的关系”.典例5如图，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证DC∥AB．331FEDCBA2思路引领：DEDE是∠ABC、∠ADC的角平分线∠ABC＝∠ADC∠2＝∠3∠1＝∠2∠1＝∠3证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线（已知）∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠ADC（角平分线的定义）∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠2＝∠3（等量代换）∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝∠3（等量代换）∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）点睛：判断两直线平行，首先考虑寻找一对相等的同位角、内错角或一对互补的同旁内角．典例6如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，AB和CD是否平行？为什么？思路引领：显然AB和CD是平行的，本题中∠3＝40°，如果能说明∠D＝40°，那么就能实现目标了，根据“CE平分∠BCD”可知∠BCD＝140°，∠4＝∠2＝70°，进一步可得到AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补可得到∠D＝40°答：AB∥CD理由：∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠4∵∠1＝∠2＝70°，∴∠4＝∠2＝70°，∴AD∥BC，∴∠D＋∠BCD＝180°∵∠BCD＝140°，∴∠D＝40°∵∠3＝40°，∴∠3＝∠D，∴AB∥CD点睛：要说明这两直线为什么平行，可通过寻找同位角、内错角或同旁内角来实现．针对训练35.如图，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求证：EF∥BC.证明：∵∠DAC=∠ACB(已知)

∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)

∵∠D+∠DFE=180°(已知)

∴AD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)

∴EF∥BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行)高频考点4平行线的性质考点解读：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。因此平行线性质最直接的运用是已知两直线平行可以推断出两对角相等或互补，平行线性质是证明不同顶点两个角相等的常用工具．典例7如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．思路引领：由于∠A与∠C不是同位角、内错角和同旁内角，要得出这两个角的关系，必须寻找到一个中间角，建立起两个角之间的联系．由于∠A和∠C都是∠B的同旁内角，由AB∥CD，BC∥AD可知，∠A和∠C都是∠B的补角，根据同角的补角可得∠A＝∠C．解：∠A＝∠C，∠B＝∠D．理由：∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A＝∠C（同角的补角相等）同理∠B＝∠D．点睛：两直线平行是证明两角相等的重要工具，平行线就类似一个“桥梁”，由已知两角关系（相等或互补），通过平行线，得到另外一对角度之间的关系．典例8如图5-7，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．思路引领：过点M作ME∥AB，由于AB∥CD，可证ME∥CD，容易证明∠BME＝∠ABM，∠DME＝∠MDC，即∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，同样道理：∠N＝∠ABN＋∠CDN，要寻找∠BMD与∠N的关系，我们只需寻找∠ABM＋∠CDM与∠ABN＋∠CDN的关系即可．答：∠M＝2∠N理由：先证明∠M＝∠ABM＋∠CDM，∠N＝∠ABN＋∠CDN∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN∴∠ABM＋∠CDM＝2∠CDN＋2∠ABN∴∠M＝2∠N点睛：同位角、内错角和同旁内角是研究两条平行线的重要工具，如果图中没有这三种角，可通过做辅助线，构造出这些角．针对训练46．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝46°，那么∠2的度数是（）A．46° B．76° C．94° D．104°解：如图，∵∠1＝46°，∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠1+∠CAD＝76°，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠BAD＝76°，∴∠2＝180°﹣∠CDE＝104°．故选：D．7．（2021秋•中原区校级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠2＝37°，则∠1＝（）A．52° B．53° C．54° D．63°解：如图，由题意得：∠E＝∠F＝45°，AB∥DC，∴∠ABF＝∠DCF，∵∠2＝37°，∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠2＝98°，∴∠DCF＝98°，∴∠1＝∠DCF﹣∠E＝53°，故选：B．8．（2021秋•太仓市期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．58° D．60°解：如图，过点B作BD∥a，∴∠ABD＝∠1＝22°，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．故选：A．高频考点5平行线的性质和判定综合运用考点解读：平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直线平行，进而再得出其他角之间的关系，或是由直线平行得到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直线平行.典例9如图所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数.思路引领：先根据∠1=∠2，易证a∥b，那么有∠3+∠4=180°，而∠3=60°，易求∠4．解：∵∠1=∠2=72°

∴a∥b(内错角相等，两直线平行)∴∠3+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∵∠3=60°∴∠4=120°点睛：本题考查了平行线的判定和性质．解题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．针对训练59.如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求证：∠E＝∠3.证明：∵CE平分∠DCB(已知)∴∠1=∠2(角平分线的定义)∵AB∥CD(已知)∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)∴∠1=∠3(等量代换)∵∠B+∠DAB=180°(已知)

∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)

∴∠E=∠1(两直线平行，内错角相等)

∴∠E=∠3(等量代换)高频考点6平移考点解读：决定平移的因素是平移的方向和平移的距离，平移不改变图形的形状和大小，平移前后的对应点的连线段以及对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，是解决平移问题的核心概念．典例9如图，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.AABCA′思路点睛：分别作出点A、点B、点C平移后的三个对应点，顺次连接这三个对应点即可得到平移后的三角形．答案：AABCA′B′C′点睛：把图形从一个位置平移到另一个位置时，画法一般是：①先确定平移的方向和距离；②按照平移的方向和距离把图形中的特殊点的对应点的位置确定出来；③连结对应点．针对训练610.如图所示，△DEF经过平移得到△ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是()

A.∠F，ACB.∠BOD，BA

C.∠F，BAD.∠BOD，AC答案：C11.如图所示，把∠AOB沿着MN的方向平移一定距离后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，∠DPN＝45°，则∠AOB＝____.答案：105°12.如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是()答案：D高频考点7命题考点解读：命题的组成：一般地，命题由题设和结论两部分组成.题设：是已知事项；结论：是由已知事项推出的事项.数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.典例10命题“绝对值相等的两个数互为相反数”.

(1)将这命题改写成“如果…那么…的形式；

(2)写出这命题的题设和结论；

(3)判断该命题的真假.解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；

(2)题设：两个数的绝对值相等，结论：这两个数互为相反数；

(3)绝对值相等的两个数可能互为相反数，也可能相等，所以该命题为假命题.针对训练713.A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩.A说：“如果我得优，那么B也得优.”B说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果我得优，那么E也得优.”大家都没有说错，但只有三个人得优，请问：得优的三个人是_________.答案：C、D、E第三部分能力提升训练1.如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.

(1)求∠EOB的度数；

(2)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由.解：(1)∵CB∥OA，∴∠C+∠COA=180°

∴∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°

∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF

∴∠FOB+∠EOF=(∠AOF+∠COF)=∠COA=40°∴∠EOB=40°(2)∠OBC:∠OFC的值不会发生变化

∵CB∥OA

∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠FOA

∵∠FOB=∠AOB

∴∠FOA=2∠AOB

∴∠OFC=2∠OBC

∴∠OBC:∠OFC=1:2(3)当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA.

∵CB∥OA，AB∥OC，∴∠OEC=∠AOE，∠OBA=∠COB

∵∠OEC=∠OBA，∴∠AOE=∠COB

∴∠AOE-∠BOE=∠COB-∠BOE

∴∠COE=∠AOB

∵∠COE=∠FOE，∠AOB=∠FOB

且∠AOC=80°

∴∠COE=∠FOE=∠AOB=∠FOB=20°

∴∠AOE=∠COB=60°

∴∠OEC=∠OBA=60°2.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.(1)求证：∠B＝∠D；

(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；

(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数.(1)证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°

∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°

∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°

∴∠B=∠D(2)证明：∵AD∥BC

∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE

∵∠AEB=2∠G，∴∠CBE=2∠G

∴∠EBG+∠CBG=2∠G

∴∠EBG=∠CBG=∠G

∴BG是∠EBC的平分线(3)解：∵DH是∠GDC的平分线

∴∠GDH=∠HDC，设∠GDH=∠HDC=α

∵AD∥BC，∴∠BCD=∠GDC=2α

设∠EBG=∠CBG=β

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°

∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°

∴66°+2β+2α=180°，∴α+β=57°

过点H作HP∥AB交AG于P，∴∠PHB+∠ABH=180°

∵AB∥CD，∴CD∥HP，∴∠DHP=∠HDC=α

∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°

即α+∠BHD+66°+β=180°，∴∠BHD=57°第四部分2021中考真题链接1．(3分)(2021年杭州中考数学试卷；)(2021·杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ答案：C解析：本题考查了垂线段最短，由PQ⊥l，得到PT≥PQ，因此本题选C．2．(3分)(2021年乐山中考数学试卷；)（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°答案：C解析：本题考查了对顶角和三角形外角的性质，如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，因此本题选C．3．(3分)(2021年杭州中考数学试卷；)(2021·杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ答案：C解析：本题考查了垂线段最短，由PQ⊥l，得到PT≥PQ，因此本题选C4．(3分)(2020年湖南省岳阳市市中考数学试卷；)（2020·湖南省岳阳市）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（）A．45° B．60° C．75° D．105°答案：C解析：本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键.根据平行线的性质可得∠1+ABC=180°，进而可求出∠1．由题意知，∠ABC=45°+60°=105°，∵，∴∠1+∠ABC=180°,∴∠1=180°—∠ABC=180°—105°=75°,因此本题选C.6．(3分)(2021年湖北省荆州市中考数学试卷；)（2021荆州）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．① B．② C．③ D．④答案：B解析：此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据垂直的定义得到∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），∴a⊥c（垂直的定义），①～④步中数学依据错误的是②，故选：B．6．(3分)(2021年聊城中考数学试卷；)(2021·聊城)如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（）A．95° B．105° C．110° D．115°答案：B解析：本题考查了平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝130°，∴∠ECD＝∠DCB－∠BCE＝130°－55°＝75°，∵EF∥CD∴∠ECD＋∠CEF＝180°∴∠CEF＝180°－75°＝105°，因此本题选B．7．(4分)(2021年山东省泰安市中考数学试卷；)（2021•泰安）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°答案：D解析：本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题．解：如图，∵三角尺的直角被直线m平分，∴∠6＝∠7＝45°，∴∠4＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°，∵m∥n，∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，故选项A、B、C正确，因此本题选D．8．(4分)(2021年浙江台州中考数学试卷；)(2021·台州)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A.40° B.43° C.45° D.47°答案：B解析：本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∴，∴，∴.因此本题选B．9．(3分)(2021年临沂市中考数学试卷；)(2021·临沂)如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°答案：B解析：由两直线平行，内错角相等得到∠ECD＝40°,由角平分线的定义得到∠BCD＝20°,最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，∴∠ECD＝∠AEC＝40°,∵CB平分∠DCE，∴∠BCD＝∠DCE＝20°,∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD＝20°,故选：B．10．(3分)(2021年济宁中考数学试卷；)(2021·济宁)如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是（）A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′答案：C解析：本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．∵AB∥CD，∠B＝72°28′，∴∠C＝∠B＝72°28′，∵BC∥DE，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝107°32′，因此本题选C．11．(3分)(2021年河南省中考数学试卷；)(2021·河南)如图，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120° 答案：D解析：本题考查了平行线的性质，邻补角定义，两直线平行，同位角相等；互为邻补角的两个角和为180°，因此本题选D.12．(3分)(2021年湖北省十堰市中考数学试卷；)（2021·十堰）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（）A．87° B．23° C．67° D．90°答案：A解析：本题考查了两直线平行，内错角相等，由平行线的性质可知∠C＝∠1＝55°，结合外角的性质即可求得∠3的度数．因此本题选A．13．(3分)(2021年湖南省长沙市中考数学试卷；)（2021•长沙）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为 （）A．100° B．80° C．50° D．40°答案：A解析：本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．本题解答时，先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF的度数．∵AB∥CD，∴∠CHG＝∠AGE＝100°，∴∠DHF＝∠CHG＝100°．故选：A．14．(3分)(2021年江苏省宿迁市中考数学试卷；)(2021·宿迁)如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°第第5题图答案：B解析：本题考查了三角形的内角和定理、角平分线定义及平行线的性质．∵∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝40°．∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°．因此本题选B．15．(3分)(2021年四川省达州市中考数学试卷；)（2021·达州）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．80°答案：B解析：本题考查了两直线平行，同旁内角互补，由∠ABM＝40°，∠ABM＝∠OBC，可知∠OBC＝40°，从而求得∠ABC的度数；由CD∥AB，可知∠ABC+∠BCD＝180°，求得∠BCD的度数，进一步求得∠DCN的度数．因此本题选B．16．(3分)(2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷；)(2021·乌兰察布市)如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°答案：B解析：本题考查了平行线的性质，如图，由题意得，∠2＝60°，由平角的定义可得∠5＝70°，再根据平行线的性质即可求解，因此本题选B．17．(5分)(2021年新疆生产建设兵团中考数学试卷；)（2021•新疆）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为 （）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：C解析：本题主要考查了平行线的性质的运用，解答本题时，先根据平行线的性质，得出∠DAB的度数，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠2＝180°﹣∠DAB﹣∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°．故选：C．分值：518．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考数学试卷；)（2021宜昌）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°答案：A解析：本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．解：如图，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故选：A．19．(3分)(2021年东营中考数学试卷；)(2021·东营)如图，，于点F，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：本题考查了平行线的性质.过点E作GE∥AB．利用平行线的性质得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定义∠EFD＝90°，进而得出∠GEF＝90°，根据角的和差得到∠BEG＝60°，再根据平行线的性质求解即可．如图，过点E作GE∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠GEF+∠EFD＝180°，∵EF⊥CD，∴∠EFD＝90°，∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°，∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°，∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°，∵GE∥AB，∴∠ABE＝∠BEG＝60°，因此本题选D．20．(3分)(2021年荆门市中考数学试卷；)(2021·荆门)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝()A．55°B．65°C．75°D．85°DDACB12答案：C解析：如图，过点E作EF∥AB，则∠BEF＝∠1＝30°．∵△HEG是等腰直角三角形，∴∠HEG＝45°．∴∠GEF＝180°－(∠HEG＋∠BEF)＝105°．∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝180°－∠GEF＝75°．故选C．DDACB12EGFH21．(3分)(2021年浙江省金华市中考数学试卷；)（2021•金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补答案：C解析：本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故选：C．22．(3分)(2021年枣庄中考数学试卷；)(2021·枣庄)将把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（）A. B. C. D.答案：A解析：本题考查了两直线平行同位角相等及三角形的外角．因为//,得到．因为,所以因此本题选A．23．(3分)(2021年包头中考数学试卷；)(2021·包头)如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°答案：B解析：本题考查了平行线的性质．如图标注．∵l1∥l2，∴∠1+∠3＝180°．∵∠3＝50°，∴∠1＝130°．∵∠1+∠2+∠3＝240°，∴∠2＝60°．∴∠5＝180°-∠2-∠3＝180°-60°-50°＝70°．∵l1∥l2，∴∠4＝∠5＝70°，因此本题选B．24．(4分)(2021年宜宾中考数学试卷；)(2021·宜宾)一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°答案：B解析：本题考查了平行线的性质，过直角顶点作直尺边缘的平行线，得到∠3与∠4，则∠3=∠1=55°，∴∠4=90°-55°=35°，∴∠2=∠4=35°,故选B。25．(3分)(2021年湖北省襄阳市中考数学试卷；)（2021·湖北襄阳）如图，a∥b，AC⊥b，垂足为C，∠A＝40°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°第第3题图答案：C解析：本题考查了直角三角形及平行线的性质，∵AC⊥b