专题22相似三角形(原卷版+解析)

专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直角三角形的应用相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。特征：对应角相等，对应边成比例。比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．比例线段的性质(1)基本性质：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)ad＝bc；(2)合比性质：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)；(3)等比性质：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．【考点总结】二、相似三角形相似三角形定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE).技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求eq\f(BE,EC)的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq\f(BP,CP)＝eq\f(BD,EC).【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝eq\f(1,4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，求证：AB·DF＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：eq\f(DC,AE)＝eq\f(CF,AD).4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC).9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,AC).【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB).【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF.12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在中，，，，，则的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（）A． B． C． D．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（）A．30 B．25 C．22．5 D．20【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90m，EC＝45m，CD＝60m，则这条河的宽AB等于()A．120m B．67.5m C．40m D．30m【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知，，则与的周长之比为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A． B． C． D．4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（

）A． B．C． D．5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（

）A．： B．： C．： D．；二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）三、解答题8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（

）A．7 B．8 C．9 D．103．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（

）A． B． C． D．4．如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m．6．如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．三、解答题7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的长．8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应(1)求证：．(2)若，求的值．专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直角三角形的应用相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。特征：对应角相等，对应边成比例。比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．比例线段的性质(1)基本性质：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)ad＝bc；(2)合比性质：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)；(3)等比性质：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．【考点总结】二、相似三角形相似三角形定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE).参考答案1．(1)证明：∵ED∥BC，∴∠ADE＝∠ABC.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(BD,BC).即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴eq\f(S△ADE,S△BDE)＝eq\f(\f(1,2)·DE·h△ADE,\f(1,2)·DE·h△BDE)＝eq\f(h△ADE,h△BDE)＝eq\f(3,2).∴eq\f(h△ADE,h△ABC)＝eq\f(3,5).∵△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(h△ADE,h△ABC)＝eq\f(3,5).∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DB,DA)，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC.∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴eq\f(DB,AD)＝eq\f(DF,AF).∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC).∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE).技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求eq\f(BE,EC)的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq\f(BP,CP)＝eq\f(BD,EC).【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝eq\f(1,4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴DF∥AE，且DF＝eq\f(1,2)AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD.又∵∠EBP为公共角，∴△BEP∽△BFD.∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(BP,BD).∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE.∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴eq\f(PQ,QD)＝eq\f(AP,DF).设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.∴PQQD＝APDF＝32.∴BPPQQD＝532.2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.在△ADF和△GDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAF＝∠G，,∠ADF＝∠CDG，,DF＝CD，))∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵BFAF＝32，∴ABAF＝52.∵AB∥CG，∴∠CGE＝∠BAE，∠BCE＝∠ABE.∴△ABE∽△GCE.∴eq\f(BE,EC)＝eq\f(AB,CG)＝eq\f(AB,AF)＝eq\f(5,2).3．证明：如图，过点C作CF∥AB交DP于点F，∴∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠PBD.∴△PCF∽△PBD.∴eq\f(BP,CP)＝eq\f(BD,CF).∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.∴eq\f(BP,CP)＝eq\f(BD,EC).4．证明：(方法一)如图①，过点C作CF∥AB，交DE于点F，(第4题①)∴∠FCD＝∠B.又∵∠D为公共角，∴△CDF∽△BDE.∴eq\f(CF,BE)＝eq\f(CD,BD).∵点M为AC边的中点，∴AM＝CM.∵CF∥AB，∴∠A＝∠MCF.又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.∵AE＝eq\f(1,4)AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE.∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3).∵eq\f(CF,BE)＝eq\f(CD,BD)，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(1,3)，即BD＝3CD.又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C作CF∥DE，交AB于点F，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AM,AC).又∵点M为AC边的中点，∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF.又∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(BF,EF)＝2.又∵CF∥DE，∴eq\f(BF,FE)＝eq\f(BC,CD)＝2.∴BC＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∴∠AEF＝∠B.又∵∠A为公共角，∴△AEF∽△ABC.∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC).由AE＝eq\f(1,4)AB，知eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC)＝eq\f(1,4)，∴EF＝eq\f(1,4)BC，AF＝eq\f(1,4)AC.由EF∥CD，易证得△EFM∽△DCM，∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(MF,MC).又∵AM＝MC，∴MF＝eq\f(1,2)MC，∴EF＝eq\f(1,2)CD.∴BC＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，∴∠F＝∠D，∠FAE＝∠B.∴△AEF∽△BED.∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(AF,BD).∵AE＝eq\f(1,4)AB，∴AE＝eq\f(1,3)BE.∴AF＝eq\f(1,3)BD.由AF∥CD，易证得△AFM∽△CDM.又∵AM＝MC，∴AF＝CD.∴CD＝eq\f(1,3)BD.∴BC＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，求证：AB·DF＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：eq\f(DC,AE)＝eq\f(CF,AD).4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC).9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,AC).【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB).【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF.12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(BD,CM).又∵CM∥AD，∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.∴△ADE∽△CME.∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,CM).∵D为AB的中点，∴BD＝AD.∴eq\f(BD,CM)＝eq\f(AD,CM).∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(AE,EC).即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(CE,DG)，eq\f(AB,BC)＝eq\f(AD,DG).∵AD＝CE，∴eq\f(CE,DG)＝eq\f(AD,DG).∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,DF).即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E.∴△FCD∽△DAE.∴eq\f(DC,AE)＝eq\f(CF,AD).4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴eq\f(AM,MD)＝eq\f(ME,AM).即AM2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴eq\f(BP,CN)＝eq\f(BM,CP).即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得eq\f(DE,BD)＝eq\f(EF,DE).即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴eq\f(DG,DE)＝eq\f(DE,DF).即DE2＝DG·DF.∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(PE,BE).即AE·BE＝PE·DE.又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(CE,BE).即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.∴△BDF∽△BAE.∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(BF,BE).∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,AB).∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC).9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得eq\f(AM,AN)＝eq\f(AB,AD)，∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC，∴eq\f(AM,AN)＝eq\f(AB,BC).∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC.∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,AC).10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AD).即AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC.∴AE·AB＝AF·AC.∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB).11．证明：连接PC，如图所示．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.∴BP＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC.∴eq\f(CP,PE)＝eq\f(PF,CP)，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA，∵EP是AD的垂直平分线，∴PA＝PD.∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA.∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PA).即PA2＝PB·PC.∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE//AB，∴∴的值为．故答案为A．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在中，，，，，则的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可【详解】∵，∴，即，∴，∴．故选C．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC，A、若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；B、若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；

D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；

故选：B．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（）A．30 B．25 C．22．5 D．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90m，EC＝45m，CD＝60m，则这条河的宽AB等于()A．120m B．67.5m C．40m D．30m【答案】A【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△DCE,∴.∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，∴故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，△ABC与△DEF的相似比为：1∶2△ABC与△DEF的面积比为：1∶4故选C．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x＝2：5,解得x＝20.故选:A.相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知，，则与的周长之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴，即与的周长比为1：3．故选：D．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】利用相似三角形的判定方法可得∽，∽，∽，可求解．【详解】解：，，∽，，又，∽，，，∽，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE为△ABC的中位线，那么DE∥BC，DE：BC=1：2．∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的周长之比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4，即．故选：B．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；，，∽，故选项B不符合题意；，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；即，，∽，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（

）A．： B．： C．： D．；【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】∽，和是它们的对应角平分线，，，两三角形的相似比为：，则与的面积比是：：．故选：【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴，，又∵，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，∴，解得，，即建筑物CD的高是5m，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明与相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵EF∥CD，∴EF∥AB，∴，△DEF∽△DAB，∴，∵AB=AD=CD，∴，，∴选项A、B、D正确；选项C错误；故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10，DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9．【详解】解：三角形是正三角形，，，，，即，，，，，，，；故选：．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明，从而求出的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先过点A作轴于点C，过