专题02最值问题探究(原卷版+解析)

专题02最值问题探究知识回放知识回放“二次函数”最值当a>0，x=时二次函数有最小值，最小值；当a<0，x=时二次函数有最大值，最大值“两定一动”型形如PA+kPB，k=1时如图，两定点A、B在直线l（动点P所在直线）的同侧，PA+PB最小值为A’B的长度；形如PA+kPB，0<k<1时如图，定点A、B其中点B在直线l（动点P所在直线）上，PA+kPB最小值为AD的长度；其中，k=sin∠PBD两动两定型两定点A、B在河流两岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值为A’B+PQ的长P、Q是∠AOB内部定点，R，S为角两边的动点，四边形PRSQ周长的最小值为P’Q’+PQ的长度一定两动型P是∠AOB内部定点，R，Q为角两边的动点，三角形PQR周长的最小值为P’P’’的长度与圆相关P为圆O外一点，A为圆O上一动点，PA的最小值为PA’，最大值为PA’’真题解析真题解析典例1.（2022•四川泸州中考真题）如图，在中，，，，半径为1的圆在内平移（圆可以与该三角形的边相切），则点到圆上的点的距离的最大值为________．典例2.（2022•内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为_____．典例3.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；

典例4.（2022•广西桂林中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．典例5.（2022•广西贺州中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．

典例6.（2022•黑龙江大庆中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．真题演练真题演练1.（2022•江苏徐州中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．2.（2022•浙江舟山中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（

）A． B．2 C． D．13.（2022•山东滨州中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为________．4.（2022•宁夏中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．(1)求反比例函数的表达式；(2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．

5.（2022•湖南湘西州中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．186.（2022•湖南娄底中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．76.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．

8.（2022•辽宁阜新中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？9.（2022•广西梧州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．专题02最值问题探究知识回放知识回放“二次函数”最值当a>0，x=时二次函数有最小值，最小值；当a<0，x=时二次函数有最大值，最大值“两定一动”型形如PA+kPB，k=1时如图，两定点A、B在直线l（动点P所在直线）的同侧，PA+PB最小值为A’B的长度；形如PA+kPB，0<k<1时如图，定点A、B其中点B在直线l（动点P所在直线）上，PA+kPB最小值为AD的长度；其中，k=sin∠PBD两动两定型两定点A、B在河流两岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值为A’B+PQ的长P、Q是∠AOB内部定点，R，S为角两边的动点，四边形PRSQ周长的最小值为P’Q’+PQ的长度一定两动型P是∠AOB内部定点，R，Q为角两边的动点，三角形PQR周长的最小值为P’P’’的长度与圆相关P为圆O外一点，A为圆O上一动点，PA的最小值为PA’，最大值为PA’’真题解析真题解析典例1.（2022•四川泸州中考真题）如图，在中，，，，半径为1的圆在内平移（圆可以与该三角形的边相切），则点到圆上的点的距离的最大值为________．【答案】．【解析】如图所示，当圆与AB、BC相切时，AM最长设切点分别为D、F，连接OB，∵，，∴，∴∴∵圆的半径为1∴∴∴∴∴∴点到圆上的点的距离的最大值为．典例2.（2022•内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为_____．【答案】4【解析】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．典例3.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把点和代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：设，直线AC的解析式为，由（1）可得：，∴，解得：，∴直线AC的解析式为，∴，∴，∵DH∥y轴，∴，∴，∵，∴当时，的值最大，∴典例4.（2022•广西桂林中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)；(2)6【解析】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．（2）将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵B，Q，共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，∵C（0，4），，∴，∵B（4，0），∴＝＝5，∴，∴CP+PQ+BQ最小值为6．典例5.（2022•广西贺州中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．【答案】．【解析】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH为等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四边形ADKF为矩形，∴DK=AF=4，FK=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周长最小为．故答案为：典例6.（2022•黑龙江大庆中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把代入，得，解得，，所以反比例函数解析式是；（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：解和得，和，，和，，作点B关于y轴的对称点B’，连接AB’，交y轴于点P，当点A、P、B’在一条直线上时，线段AB’的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，△ABP的周长=，．真题演练真题演练1.（2022•江苏徐州中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．【答案】(1)理由见解析；(2)①k=1，b=2；②点P的坐标为(0,-2)．【解析】解：（1）点E在这个反比例函数的图像上．理由如下：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，设点A的坐标为，点C关于直线AD的对称点为点E，，AD平分CE，连接CE交AD于H，如图所示：，轴于D，轴，，，，，在Rt中，，，为边AD上的中线，即AH=DH，，，，点在这个反比例函数的图像上；（2）①四边形ACDE为正方形，，垂直平分，，设点的坐标为，，，，（负值舍去），，，把，代入得，；②延长交轴于，如图所示：，，点与点关于轴对称，，则点即为符合条件的点，由①知，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，即，故当最大时，点的坐标为．2.（2022•浙江舟山中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】B．【解析】解：把代入得：∴∵的最大值为9∴，且当时，有最大值，此时解得∴直线解析式为把代入得故选：B．3.（2022•山东滨州中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为________．【答案】【解析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，四边形ANEF是平行四边形，，当N、E、C三点共线时，最小，四边形ABCD是矩形，，，，四边形EFMD是平行四边形，，，，，，，，，即，，由勾股定理得，，，，的最小值为，故答案为：．4.（2022•宁夏中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．(1)求反比例函数的表达式；(2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．【答案】(1)；(2)【解析】解：（1）如图，过点A作轴于点F，∴，又∵，∽，∴，∵，，，，，，．点在反比例函数的图象上，．反比例函数的表达式为：．（2）由题意可知，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为：．设点的横坐标为，则，，，的面积为：．，时，面积取最大值，最大值为，将代入，得∴点D的坐标为．5.（2022•湖南湘西州中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【解析】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．6.（2022•湖南娄底中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．【答案】．【解析】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，菱形的边长为2，，中，PQ+QC的最小值为故答案为：7.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．【答案】．【解析】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=故答案为：．8.（2022•辽宁阜新中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如