专题11乘法公式(原卷版+解析)

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题11乘法公式考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．312．（2分）（2022春•埇桥区校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．13．（2分）（2022春•碑林区校级期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲，将A、B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8，则正方形A、B的面积之和为（）A．8 B．9 C．10 D．124．（2分）（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．40435．（2分）（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（）①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④6．（2分）（2022•南京模拟）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．127．（2分）（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．20 B．±20 C．10 D．±108．（2分）（2021秋•凉山州期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（）A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．3329．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．202410．（2分）（2021秋•井研县期末）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•仪征市期末）计算20222﹣2020×2024的结果是．12．（2分）（2022春•文登区期末）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为．13．（2分）（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝．14．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．15．（2分）（2022春•海安市校级月考）若（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022，则（2021﹣A）2+（A﹣2020）2＝．16．（2分）（2022春•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝．17．（2分）（2022春•新华区月考）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a＞b）．（1）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲纸片张．（2）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+nab+12b2，则n可能的整数值有个．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．19．（2分）（2021秋•黔江区期末）4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是．20．（2分）（2022春•宁阳县期末）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（4分）（2022春•南京期中）计算：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）22．（6分）（2022春•榆阳区期末）如图，某地有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间边长为（a+b）米的空白正方形地块将修建一个凉亭．（1）求绿化部分的总面积（用含有a、b的代数式表示）；（2）若a＝2，b＝5，求出此时绿化部分的总面积．23．（8分）（2022春•永丰县期末）如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）用图1可以验证的乘法公式是；（2）如果图1中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求（a+b）2的值；（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．24．（8分）（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．25．（8分）（2022春•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．26．（8分）（2022春•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含m，n的代数式分别表示S1，S2；（2）若m﹣n＝10，mn＝20，求S1+S2的值；（3）若S1+S2＝30，求图3中阴影部分的面积S3．27．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？28．（10分）（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b的代数式表示）2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题11乘法公式考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路引导】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解．【完整解答】解：设ID＝y，DJ＝z，∵两个阴影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，∵阴影部分面积和为60，∴y2+z2＝60，将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28．故选：A．2．（2分）（2022春•埇桥区校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1【思路引导】用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部分面积．【完整解答】解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，把a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故选：C．3．（2分）（2022春•碑林区校级期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲，将A、B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8，则正方形A、B的面积之和为（）A．8 B．9 C．10 D．12【思路引导】设出大小正方形得边长a、b，用a和b表示出阴影部分的面积，找出相应关系，即可求解．【完整解答】解：设大小正方形边长分别为a、b，S阴1＝（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，S阴2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8，得：ab＝4．∴a2+b2﹣2×4＝1，∴a2+b2＝9．故选：B．4．（2分）（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【思路引导】利用完全平方公式变形即可．【完整解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）＝4+2×2021＝4046．故选：A．5．（2分）（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（）①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④【思路引导】①对数的讨论，利用小学知识可解决；②利用完全平方公式，整理得到两个数的平方相等，则两数相等或者互为相反数；③重新整理，得到完全平方公式，即得结论；④两两组合，相等两数差为0，然后因式分解，即得结论．【完整解答】①因为x、y为整数时，2x+6y＝2（x+3y）是偶数，而199是奇数，它们不可能相等；故①错误．②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4，a4+b4﹣2a2b2＝0，（a2﹣b2）2＝0，∴a2﹣b2＝0，∴a2＝b2，∵a≠b，∴a＝﹣b，即a、b互为相反数；故②正确．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c，（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0，a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0，（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0，（a+c﹣2b）2＝0，∴a+c﹣2b＝0，∴2b＝a+c；故③正确．④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0，y2﹣xz﹣z2+xy＝0，∴（x+y+z）（x﹣y）＝0，（x+y+z）（y﹣z）＝0．∴x+y+z＝0或x﹣y＝0，y﹣z＝0，∴x＝y＝z或x+y+z＝0，故④错误．综上所述，四种说法中正确的有②③，故选：B．6．（2分）（2022•南京模拟）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路引导】设BC＝a，CG＝b，建立关于a，b的关系，最后求面积．【完整解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．7．（2分）（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．20 B．±20 C．10 D．±10【思路引导】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知2kx为二倍底数乘积，进而可得到答案．【完整解答】解：∵4x2+2kx+25＝（2x±5）2，∴2kx＝±2×2x•5＝±20x，∴k＝±10，故选：D．8．（2分）（2021秋•凉山州期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（）A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332【思路引导】把因数2写成3﹣1后，利用平方差公式依次计算即可得出结果．【完整解答】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332，故选：D．9．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【思路引导】根据“智慧数”的定义，对每个选项进行判断，即可得出答案．【完整解答】解：∵2021＝2021×1＝（1011+1010）（1011﹣1010）＝10112﹣10102，∴2021是智慧数，∴选项A不符合题意；∵2022不能写成两个正整数的平方差，∴2022不是智慧数，∴选项B符合题意；∵2023＝2023×1＝（1012+1011）（1012﹣1011）＝10122﹣10112，∴2023是智慧数，∴选项C不符合题意；∵2024＝1012×2＝（507+505）（507﹣505）＝5072﹣5052，∴2024是智慧数，∴选项D不符合题意；故选：B．10．（2分）（2021秋•井研县期末）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）【思路引导】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．【完整解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•仪征市期末）计算20222﹣2020×2024的结果是4．【思路引导】运用平方差公式进行简便运算．【完整解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4．故答案为：4．12．（2分）（2022春•文登区期末）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为2．【思路引导】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，进而得到a+b＝5，a﹣b＝，求出b即可．【完整解答】解：设矩形的长为a，宽为b，则有（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，所以a+b＝5，a﹣b＝，所以b＝2，即矩形的AB为2，故答案为：2．13．（2分）（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5．【思路引导】由长方形的周长16，面积为15.75，确定a+b＝8，ab＝15.75，通过观察图形分别用含有a和b的式子表示出阴影部分的面积S1、S2、S3，然后整理化简S1+S2+S3，通过完全平方公式计算出a2+b2，从而求出值．【完整解答】解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．∴（a+b）2＝64，a2+2ab+b2＝64，a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，∵S1＝（6﹣b）2，S3＝（6﹣a）2，S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76＝32.5﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．14．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为13．【思路引导】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．【完整解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，得：2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．15．（2分）（2022春•海安市校级月考）若（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022，则（2021﹣A）2+（A﹣2020）2＝4045．【思路引导】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案．【完整解答】解：设x＝2021﹣A，y＝2020﹣A，∴x﹣y＝2021﹣A﹣2020+A＝1，∵（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022，∴xy＝2022，∴原式＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2022＝4045，故答案为：4045．16．（2分）（2022春•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝﹣2或0．【思路引导】（1）由规律可得（x﹣1）•（xn﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝xn﹣1，再根据数值，可得其答案；（2）可由（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，求出x的值，再代入x2023﹣1得其值．【完整解答】解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，故答案为x50﹣1；（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，当x＝﹣1时，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，∴x2023﹣1＝﹣2或0，故答案为﹣2或0．17．（2分）（2022春•新华区月考）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a＞b）．（1）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲纸片4张．（2）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+nab+12b2，则n可能的整数值有3个．【思路引导】（1）通过拼成的正方形面积求解．（2）通过分解第三项求确定n．【完整解答】解：（1）大正方形的面积为；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∴需要甲纸片4张，乙纸片4张，丙1张，故答案为：4．（2）∵12b2＝b•12b＝2b•6b＝3b•4b，∴n＝1+12＝13或n＝2+6＝8或n＝3+4＝7．故答案为：3．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【思路引导】本题是平方差公式的应用，把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+的形式，然后再利用平方差公式计算（516•2﹣1）+＝．【完整解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（532﹣1）+，＝．19．（2分）（2021秋•黔江区期末）4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．【思路引导】设这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q＝±4x；如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2＝2•2x2，所以Q＝4x4；如果该式只有4x2项或1，它也是完全平方式，所以Q＝﹣1或﹣4x2．【完整解答】解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2；4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；4x2+1﹣1＝（±2x）2；4x2+1﹣4x2＝（±1）2．∴加上的单项式可以是±4x、4x4、﹣4x2、﹣1中任意一个．故答案为±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．20．（2分）（2022春•宁阳县期末）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为15．【思路引导】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．【完整解答】解：由题意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，则（a+b）6的第三项的系数为：15．故答案为：15．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（4分）（2022春•南京期中）计算：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）【思路引导】（1）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．【完整解答】解：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝x2+6x+9﹣（x2﹣9）＝6x+18；（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）＝（x+2y）2﹣1＝x2+4y2+4xy﹣1．22．（6分）（2022春•榆阳区期末）如图，某地有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间边长为（a+b）米的空白正方形地块将修建一个凉亭．（1）求绿化部分的总面积（用含有a、b的代数式表示）；（2）若a＝2，b＝5，求出此时绿化部分的总面积．【思路引导】（1）求出长方形地块的面积和正方形凉亭的面积，再相见得出答案；（2）把a＝2，b＝5代入（1）的式子计算即可．【完整解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（a+4b）（a+3b）＝（a2+7ab+12b2）（平方米），正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米），则绿化面积S＝（a2+7ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5ab+11b2）（平方米）；（2）∵a＝2，b＝5，∴绿化总面积S＝5ab+11b2＝5×2×5+11×52＝325（平方米）．23．（8分）（2022春•永丰县期末）如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）用图1可以验证的乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果图1中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求（a+b）2的值；（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）利用面积相等求解；（2）代入完全平方公式求解；（3）代入公式，整体求解．【完整解答】解：（1）正方形面积整体计算是：（a+b）2，分割计算是：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝57+2×12＝81；（3）设AC＝m，BC＝n，则m+n＝8，m2+n2＝28，∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝64﹣28＝36，所以阴影部分得面积为：0.5mn＝9．24．（8分）（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【思路引导】（1）利用完全平方公式的变形求解；（2）利用完全平方公式的变形，结合引入新参数简化计算；（3）理解题意，转化问题，再利用完全平方公式的变形求解．【完整解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，则a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案为：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，则：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，所以阴影部分的面积和为500平方米．25．（8分）（2022春•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝17．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）根据完全平方公式得出2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），整体代入求值即可；（2）根据完全平方公式将（4﹣x）2+（5﹣x）2转化为[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），再整体代入求值即可；（3）设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝6，m2+n2＝18，求出0.5mn即可．【完整解答】解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24，∴xy＝12，（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；故答案为：17．（3）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝6，∴m+n＝6，又∵S1+S2＝18，∴m2+n2＝18，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴62＝18+2mn，∴mn＝9，∴S阴影部分＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5，答：阴影部分的面积为4.5．26．（8分）（2022春•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含m，n的代数式分别表示S1，S2；（2）若m﹣n＝10，mn＝20，求S1+S2的值；（3）若S1+S2＝30，求图3中阴影部分的面积S3．【思路引导】（1）S1可以看作两个正方形的面积差，即S1＝m2﹣n2，S2是长为2n﹣m，高为n的长方形的面积，即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）将S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn，变形为（m﹣n）2+mn，再代入计算即可；（3）由S1+S2＝30，可得到m2+n2﹣mn＝30，由图3看得出S3＝（